Наименьший элемент

Определение 4 (Наименьший элемент). Элемент n множества A натуральных чисел называется его наименьшим элементом, если для любого элемента m из A n Ј m.

Любое множество натуральных чисел имеет не более одного наименьшего элемента. Для любого множества A натуральных чисел если 0 О A, то 0 является наименьшим элементом A. Для любого множества A натуральных чисел если 1 О A, то A имеет наименьший элемент.  Любое непустое множество натуральных чисел имеет единственный наименьший элемент.

14. Умножение натуральных чисел в аксиоматической теории. Законы умножения.

15. Свойства множества натуральных чисел.

1. Беспредельность.  Обеспечивается. Мощностью множества.  2. Непрерывность.  Обеспечивается. 1. Построением множества. 2. Начертаниями чисел.  Построение множества.  Множество строится на основе двух характеристик натуральных чисел:  - числами мы обозначаем количество  - числами мы обозначаем порядок расположения в ряд.  1 – количеством. 1 – на первом месте.  1 + 1 = 2 количеством. 2 – на втором месте.  2 +1 = 3 – количеством 3 – на третьем месте и т. д.  3. Структурность.  Обеспечивается. Решением континуума проблемы (гипотезы)  Следствием решения континуума проблемы (гипотезы) натуральный ряд чисел разделился на дискретные множества различной плотности множеств. Но все дискретные множества равномощны мощности первого множества.  4. Сходимость.  Обеспечивается. Методологией анализа беспредельных и неопределенных множеств с определением вероятности равной единице.  Методологией предусматривается: 1. Решение континуума проблемы (гипотезы).  2. Определение вероятности равной единице из соотношения множеств.  5. Функциональность.  Обеспечивается. Начертаниями чисел. Программами информационного поля.  Начертания чисел показывают процессы развития на начальных стадиях космогонии. Программы информационного поля показывают процессы развития от начальной точки до любых беспредельных размерностей Вселенной как непрерывная связь разума и материи.  - (1 – 9) – служебная программа информационного поля.  - (10 – 98) – программа формообразования материальных тел.  - (99 – 64 девятки) – структуры информационного поля.  - (64 девятки – до бесконечности) – структуры гармонии.  6. Информативность.  Обеспечивается. Построением множества натурального ряда чисел.  Натуральный ряд чисел строится с учетом двух характеристик чисел:  - Числами обозначаем количество.  - Числами обозначаем порядок расположения в ряд.  Множество натурального ряда чисел содержит информацию о количестве элементов множества и их упорядоченного расположения во множестве. Вследствие чего, - количество информации есть количество элементов множества.

16. Вычитание и деление в аксиоматической теории. Основные свойства.

Вычитанием натуральных чисел а и b называется операция, удовлетворяющая условию: а-b=с тогда и только тогда, когда b+c=a.

Число а-b называется разностью чисел а и b, число а – уменьшаемое, а число b – вычитаемым.

Теорема. Разность натуральных чисел а-b существует тогда и только тогда когда b меньше а. Доказательство. Пусть разность а-b существует. Тогда, по определению разности, найдется такое натуральное число с, что b+c=а, а это значит, что b меньше а. если же b меньше а, то, по определению отношения меньше, существует такое натуральное число с, что b+c=а. тогда по определению разности, с = а-b, т.е. разность а-b существует.

Для того чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть это число из одного слагаемого суммы и к полученному результату прибавить другое слагаемое.

Для того чтобы вычесть из числа сумму чисел, достаточно вычесть из этого числа последовательно каждое слагаемое одно за другим.

Делением натуральных чисел а и b называется операция, удовлетворяющая условию: a:b=c тогда и только тогда, когда b*c=a.

Теорема. Если а и b делятся на число с, то существует такое натуральное число х= а:с, что а=сх. Аналогично существует такое натуральное число у= b:с, что b=су. Но тогда а + b= сх +су х с ( х+у). это значит, что а+b делится на с, причем частное, получаемое при делении суммы а+b на число с, равно х+у, т.е. а:с+b:с.

Доказанную теорему можно сформулировать в виде правила: Для того чтобы разделить сумму на число, достаточно разделить на это число каждое слагаемое и полученное результаты сложить.

Теорема если натуральные числа а и b делятся на число с и а больше b, то разность а – b делится на с, причем частное, получаемое при делении разности на число с, равно разности частных, получаемых при делении а на с и b на с, т.е. (а-b) : с = а:с – b:с. Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказательству предыдущей теоремы. Эту теоремы можно сформулировать в виде правила деления разности на число: для того, чтобы разделить разность на число, достаточно разделить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого частного вычесть второе.

Для того чтобы разделить произведение на число, достаточно разделить на это число один из множителей и полученный результат умножить на второй множитель.