27. Доказательство математических утверждений. Структура доказательства. Непрямое доказательство.

Математическое доказательство — цепочка логических умозаключений, показывающая, что при каком-то наборе аксиом и правил вывода верно некоторое утверждение. В зависимости от контекста, может иметься в виду доказательство в рамках некоторой формальной системы (построенная по специальным правилам последовательность утверждений, записанная на формальном языке) или текст на естественном языке, по которому при необходимости можно восстановить формальное доказательство. Необходимость формального доказательства утверждений — одна из основных характерных черт математики как дедуктивной отрасли знаний, соответственно, понятие доказательства играет центральную роль в предмете математики^[⇨], а наличие доказательств и их корректность определяют статус любых математических результатов.

Доказательство — это логическая операция обоснования истинности утверждения с помощью фактов и связанных с ним суждений. С помощью совокупности логических приёмов истинность какого-либо суждения обосновывается исходя из других истинных суждений.

Основу доказательства составляют следующие положения:

1. Тезис — утверждение, истинность которого надо доказать

2. Аргументы и факты — это те истинные суждения, которыми пользуются при доказательстве тезиса

3. Демонстрация (форма доказательства) — способ обоснованной логической связи между утверждаемым тезисом и аргументами

Прямое доказательство идет от рассмотрения аргументов к доказательству утверждаемого тезиса, то есть истинность доказательства непосредственно обосновывается аргументами. Широко используется прямое доказательство в статистических отчетах, в различного рода документах, в постановлениях.

Непрямое (косвенное) доказательство — это доказательство, в котором истинность выдвинутого тезиса обосновывается путём доказательства ложности утверждаемого антитезиса. Оно применяется тогда, когда нет аргументов для прямого доказательства. Антитезис может быть выражен в одной из двух форм:

1. Если тезис обозначить буквой а , то его отрицание (а) будет антитезисом, то есть противоречащим тезису суждением;

2. Антитезисом для тезиса а в суждении а...в...с служат суждения в и с .

В зависимости от этого различия в структуре антитезиса косвенные доказательства делятся на два вида – апагогическое (доказательство от «противного») иразделительное доказательство (методом исключения). Первое осуществляется путем установления ложности противоречащего тезису суждения. Этот метод часто используется в математике. Во втором антитезис является одним из членов разделительного суждения, в котором должны быть обязательно перечислены все возможные альтернативы, например: Преступление совершил либо А, либо Б, либо С. Доказано, что не совершали преступление ни А, ни Б. Следовательно преступление совершил С. Истинность тезиса устанавливается путем последовательного доказательства ложности всех членов разделительного суждения кроме одного.

28. Доказательство утверждений методом математической индукции.

Математическая индукция — метод математического доказательства, используется чтобы доказать истинность некоторого утверждения для всех натуральных чисел. Для этого сначала проверяется истинность утверждения с номером 1 — база (базис) индукции, а затем доказывается, что, если верно утверждение с номером n, то верно и следующее утверждение с номером n + 1 — шаг индукции, или индукционный переход.

Доказательство по индукции наглядно может быть представлено в виде так называемого принципа домино. Пусть какое угодно число косточек домино выставлено в ряд таким образом, что каждая косточка, падая, обязательно опрокидывает следующую за ней косточку (в этом заключается индукционный переход). Тогда, если мы толкнём первую косточку (это база индукции), то все косточки в ряду упадут.

Полная индукция – это такой метод доказательства, при котором истинность утверждения следует из истинности его во всех частных случаях. Задача. Доказать, что каждое составное число, большее 4, но меньшее 20, представимо в виде суммы двух простых чисел. Решение: вспомним определение простого и составного числа. Простым называется такое натуральное число, которое делится только на 1 и на себя. Числа 2,13,5,17 – простые. Числа, которые имеют более двух делителей, называются составными. Число 1 не является ни простым, ни составным. В данной задаче рассматривается множество чисел, которые больше 4, но меньше 20. Составными в нем будут числа: 6,8,9,10,12,14,15,16,18. Каждое из них можно представить в виде суммы двух простых чисел: 6=3+3; 8=5+3; 9=7+2 и т.д. Так как данное утверждение истинно во всех частных случаях, то оно доказано.