8. Теоретико-множественный смысл сложения, вычитания.

Сумма натуральных чисел а и b представляет собой число элементов в объединении конечных непересекающихся множеств А и В таких, что а= n(A) + n(B).

Взаимосвязь сложения целых неотрицательных чисел и объединения множеств позволяет истолковать с теоретико-множественных позиций известные свойства сложения. Так коммунитативность сложения связана с тем, что для любых множеств А и В выполняется равенство А принадлежит В = В принадлежит А.

Теоретико-множественный смысл разности. Разность натуральных чисел a и b представляет собой число элементов в дополнении множества В множества А, если а= n(A), b=n(B) и В принадлежит А: a – b = n(A) – n(B) = n( A\B), если В принадлежит А. Чтобы узнать, на сколько одно число меньше или больше другого, надо из большого числа вычесть меньшее.

Теорема пусть А – конечное множество и В – его собственное подмножество. Тогда множество А\В тоже конечно, причем выполняется равенство n(A\B) =n(A) – n(B). Доказательство: так как по условию В – собственное подмножество множество А, то с помощью кругов Эйлера их можно представить так, как на рисунке 112. Разность А\В на этом рисунке заштрихована. Видим, что множества В и А\В не пересекаются и их объединение равно А. Потому число элементов в множестве А можно найти по формуле n(A\B) = n(A) – n(B). (Рисунок из учебника 112).

9. Теоретико-множественный умножения и деления целых неотрицательных чисел.

Если a, b – целые неотрицательные числа, то произведением ab называется число, удовлетворяющее следующим условиям:

1)    ab = а + а + а + …+ а, если b > 1   b слагаемых

2)  ab = а, если b = 1;

3)  ab = 0, если b = 0.

Рассмотрим коммутативность с точки зрения теоретико-множественного подхода, т.е. ab =ba.

Пусть  n(A )= a, n(B) = b. Тогда по определению произведения ab = n() . Но множества  =  равномощны: каждой паре (а;b) из множества   можно поставить в соответствие единственную пару (b;a) из множества , и наоборот.Следовательно, n() = n(). Значит ab = ba.

Ассоциативность (ab)c = a(bc) вытекает из того, что множества () = ) равномощны, а значит n(()) = n()).

Дистрибутивность рассматривают относительно сложения и вычитания. Рассмотрим относительно сложения: (a + b)c = ac + bc.

По определению произведения имеем (a + b)c = n((). Но , поэтому  n(() = n(, а значит и (a + b)c = ac + bc.

Объясним, почему 32 = 6?Решение. Используя первое определение, произведение 32 можно записать в виде суммы 3 + 3. Возьмем различные множества К и С такие, что n(K) = n(C) = 3. Допустим К = {1, 2, 3}, C = { 4, 5, 6}. По определению нам нужно найти количество элементов в объединении КС. Т.к. КС = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, то n(КС) = 6. Значит 32 = 6.

Теоретико-множественный смысл частного.

10. Теоретико-множественный смысл арифметических операций в множестве z свойств.

11. Аксиоматический метод в математике. Требования к системе аксиом.

12. Система аксиом Пеано. Аксиоматические определение натурального числа.

В качестве основного понятия при аксиоматическом построении арифметики натуральных чисел взято отношение «непосредственно следовать за», заданное на непустом множестве N. Суть отношения «непосредственно следовать за» раскрывается в следующих аксиомах. Аксиома 1. В множестве N существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества. Будем называть его единицей и обозначать символом 1.

Аксиома 2. Для каждого элемента а из N существует единственный элемент а*, непосредственно следующий за а.

Аксиома 3. Для каждого элемента а из N существует не более одного элемента , за которым непосредственно следует а.

Аксиома 4. Всякое подмножество М множества N совпадает N, если обладает свойствами: 1) 1 содержится в М. 2) из того, что а содержится в М, следует, что и а* содержится М. сформулированные аксиомы часто называют аксиомами Пеано.

Множество N, для элементов которого установлено отношение «непосредственно следовать за», удовлетворяющее аксиомам 1-4, называется множеством натуральных чисел, а его элементы – натуральные числа.

Если натуральное число b непосредственно следует за натуральным числом а, то число а называется непосредственно предшествующим ( или предшествующим) числу b. Теорема 1. Единица не имеет предшествующего натурального числа истинность данного утверждения вытекает сразу из аксиомы 1.

Теорема 2. Каждое натуральное число а, отличное от 1, имеет предшествующее число b, такое, что b*=a.

13. Сложение натуральных чисел в аксиоматической теории. Законы сложения.

    Сложение Чтобы определить сумму двух натуральных чисел, нам надо доказать корректность хорошо известного рекурсивного определения сложения (уравнения (1) ниже), то есть существование и единственность функции, удовлетворяющей этим уравнениям. Эти факты сформулированы здесь как задачи.

 Существует функция f из натуральных чисел в натуральные числа такая, что

f(0) = 3,

f(n') = f (n)'.

Для любого m существует функция f из натуральных чисел в натуральные числа такая, что

f(0) = m,

f(n') = f(n)'.

Существует функция g из w ґ w в w такая, что

g(m, 0) = m,

g(m, n') = g(m, n).

 Такая функция g единственна.

Определение 1 (Сумма). Для этой функции g число g(m, n) называется суммой m и n и обозначается m + n .

Так, для любых натуральных чисел m и n:

m + 0 = m, m + n'= (m + n)'.

(1)

Корректность определения сложения была выведена из аксиом Пеано Лазло Кальмаром в 1929 году.

1.9 2 + 2 = 4.

1.10 n'= n + 1. 

1.11 (k + m) + n = k + (m + n). ^* 

1.12 0 + n = n. 

1.13 m'+ n = m + n'. 

1.14 m + n = n + m. ^* 

1.15 Если k + m = k + n, то m = n. ^*