2.6.5. Обеспечение требуемой точности измерений

Многократное измерение одной и той же величины посто­янного размера позволяет обеспечить требуемую точность. Поскольку ширина доверительного интервала зависит от ко­личества экспериментальных данных, постольку, увеличивая п, можно добиться выполнения наперед заданного условия

Упрощенный алгоритм обработки экспериментальных данных в этом случае показан на рис. 39.

Пример 18. В табл. 12 приведены 10 независимых числовых значе­ний результата измерения линейного размера (в сантиметрах). Определить его длину, если с вероятностью 0,95 точность измерения должна быть не ниже 2 = 2 см.

Решение. 1. Используя вспомогательные вычисления, сведенные в табл. 12, получим

2. Больше чем на 3 S_l = 7,5 от среднего арифметического не отли­чается ни одно из числовых значении результата измерения. Таким об­разом, следует признать, что ошибок нет.

Рис. 39. Обеспечение требуемой точности при многократном измерении

Таблица 12

i	li			i	li
1	392	0	0	6	396	4	16
2	391	-1	1	7	389	-3	9
3	395	3	9	8	389	-3	9
4	392	0	0	9	393	1	1
5	389	-3	9	10	394	2	4

3. Допустим, есть основание полагать, что результат измерения подчиняется нормальному закону распределения вероятности.

4. Стандартное отклонение среднего арифметического

5. При п = 10 и Р = 0,95 по графику на рис. 38 находим t = 2,3.3 (2,26 по таблице "Значение t-критерия Стьюдента").

6. Так как

то необходимо увеличить количество экспериментальных данных.

7. Пусть l₁₁ = 390. Тогда

= 391,8; S_l = 2,48.

8. Для проверки нормальности закона распределения вероятности результата измерения используем составной критерий. При п = 11 и лю­бой вероятности в табл.11

d_min<d=0,8526<d_max

и ни одно из числовых значений l_i не отличается от 391,8 больше, чем на 2,5S_l=6,2. Таким образом, результаты проверки не противо­речат гипотезе о том, что результат измерения подчиняется нормаль­ному закону распределения вероятности.

9. Стандартное отклонение среднего арифметического при n=11

10. При n = 11 и Р = 0,95 t = 2,2 (по таблице 2,23). Так как

то необходимо еще больше увеличить количество экспериментальных данных.

11. Результаты последующих действии приведены в табл. 13.

Таблица 13

n	ln		Sl		t	ε
12	392	391,8	2,37	0,68	2,2	1,5
13	391	391,8	2,29	0,63	2,2	1,4
14	395	392	2,35	0,63	2,15	1,35
15	391	391,9	2,28	0,59	2,15	1,27
16	393	392	2,22	0,56	2,15	1,2
17	391	391,9	2,23	0,54	2,1	1,13
18	394	392	2,16	0,51	2,1	1,07
19	392	392	2,15	0,49	2,1	1,04
20	392	392	2,14	0,48	2,1	1,01
21	391	392	2,13	0,47	2,1	0,98

Таким образом, потребовалось получить 21 числовое значение результата измерения для того, чтобы с вероятностью 0,95 установить, что 391см ≤ l ≤ 393 см. Трудоемкость подобной работы требует автома­тизации измерений и обработки экспериментальных данных.

На практике беспредельно повышать таким способом точ­ность измерения не удается, так как рано или поздно опре­деляющим становится не рассеяние отсчета и, следовательно, показания средства измерений, а недостаток информации (выражающийся, например, в незнании точного значения поправок и т.п.). Накапливать экспериментальные данные и уменьшать за счет этого стандартное отклонение среднего арифметического значения показания имеет смысл лишь до тех пор, пока по критерию (10) им нельзя пренебречь по сравнению с аналогом среднего квадратического отклонения, учитывающим дефицит информации (рис. 40). Точность многократного измерения, следовательно, ограничивается дефицитом информации.

Пример 19. При каком количестве экспериментальных данных в примере 14 можно получить максимально возможную точность из­мерения?

Решение. 1. Для достижения максимальной точности количество экспериментальных данных нужно увеличивать до тех пор, когда по критерию (10) можно будет пренебречь по сравнению с. Из усло­вия

где = 2,0 мм;= 2,6 мм, получим, чтонужно уменьшить не ме­нее, чем в 2,3 раза.

2. Накопление экспериментальных данных позволит перейти к сред­нему арифметическому значению показания. Для того, чтобы его стан­дартное отклонение

оказалось не менее, чем в 2,3 раза меньше , нужно получитьn > 2,3² = 5

Рис. 40. Обработка экспериментальных данных при дефиците информации

независимых отсчетов (не считая ошибок).

3. Для достижения еще большей точности нужно провести ис­следования, направленные на уточнение температурной поправки, и уменьшить .