2.7. Многократное измерение с неравноточными значениями отсчета

При многократном измерении с неравноточными значе­ниями отсчета, подчиняющимися нормальному закону рас­пределения вероятности, функцию правдоподобия можно представить в виде

если все значения отсчета, полученные, например, с помощью разных средств измерений, являются независимыми. Для оценки среднего значения результата измерения удобнее пе­рейти к логарифму функции правдоподобия

ln L=

где С от не зависит. Решая приуравнение

получим

Это так называемое среднее взвешенное, в числителе кото­рого отдельные значения результата измерения суммируют­ся с "весами", обратно пропорциональными их дисперсиям. Тем самым более точным значениям придается больший вес. Наличием суммы в знаменателе обеспечивается то, что в выражении

сумма всех весов

где нормированный вес каждого отдельного результата измерения

Математическое ожидание среднего взвешенного

Таким образом, среднее взвешенное является несмещенной оценкой среднего значения результата измерения.

Дисперсия среднего взвешенного

Пример 20. Измерения образцовой меры длины, выполненные приборами разной точности, дали результаты, приведенные в табл. 14.

Таблица 14

Порядковый номер измерения	Отклонения от номинального размера в мкм
	Вертикальный оптиметр	Машина типа Цейс	Машина типа Сип	Миниметр с ценой деления 1 мкм
1	11,3	10,8	9,8	10,4
2	-	11,1	10,7	11,2
3	-	10,9	-	10,1
4	-	-	-	9,9

Известно, что результат измерения вертикальным оптиметром подчиняется нормальному закону распределения вероятности со стан­дартным отклонением 0,4 мкм; при измерении машиной типа Цейсс — соответственно, 0,8 мкм; машиной типа Сип — 0,7 мкм; минимет­ром с ценой деления 1 мкм — 0,5 мкм. Каково отклонение размера от номинального значения?

Решение. Заменяя дисперсии в выражении для среднего взвешен­ного их оценками, имеем:

Подстановка известных значений S_i и измеренных отклонении , дает:

Стандартное отклонение

Поскольку все , подчиняются нормальному закону распределения вероятности, то нормальному закону подчиняется и их сумма. Поэ­тому с вероятностью Р = 0,95 - 2S < < + 2S. Окончательно имеем:

2.8. Обработка результатов нескольких серий измерений

Иногда многократное измерение одной и той же вели­чины постоянного размера производится в несколько эта­пов, разными людьми, в различных условиях, в разных мес­тах и в разное время. Результат такого измерения опреде­ляется несколькими сериями полученных значений, кото­рые в силу различных обстоятельств могут отличаться по своим статистическим характеристикам. Серии называются однородными, если состоят из значений, подчиняющихся одному и тому же закону распределения вероятности. В противном случае серии считаются неоднороднъми.

Проверка однородности является обязательной при выборе способа совместной обработки результатов несколь­ких серий измерений. Организуется она обычно на уровне эмпирических моментов: сравниваются между собой сред­ние арифметические и оценки дисперсий в каждой серии.

Различие между средними арифметическими ив двух разных сериях может быть случайным со средним значением, равным нулю, и дисперсией

Если экспериментальные данные в каждой серии подчиня­ются нормальному закону распределения вероятности, то при большом их числе (n_1,11 > 40 ... 50) нормальному зако­ну подчиняются и средние арифметические и, и их раз­ностьG = -. При небольшом количестве экспериментальных данных в каждой серии средние арифметическиеиподчиняются закону распределения вероятности Стьюдента, но их разность прип₁ + п₁₁ > 40 . . . 50 можно считать, что уже подчиняется нормальному закону. Поэ­тому, задавшись доверительной вероятностью Р и опреде­лив по верхней кривой на рис. 22 соответствующее ей значе­ние t, находят доверительные границы ± tS_G, за преде­лами которых не может оказаться разность -, если она случайная и подчиняется нормальному закону распре­деления вероятности (см. рис. 41). При несоблюдении этого условия нужно искать причину расхождения между -и в экспериментальные данные соответствующей

Рис. 41. Проверка значимости различия между средними арифметическими в двух сериях

серии вносить дополнительную поправку. Иногда большой массив экспериментальных данных (см. рис. 42) искусственно раз­бивают на две или большее количество серий для Обнару­жения посредством такой проверки прогрессирующего влия­ния какого-нибудь фактора.

Рис. 42 Разделение массива экспериментальных данных на две серии с целью обнаружения прогрессирующего действия влияющего фактора

Помимо выяснения значимости расхождения между средними арифметическими, проверка однородности се­рий включает сравнение оценок их дисперсий. Серии с нез­начимым различием оценок дисперсий называются равнорассеянными, с существенным различием — неравнорассеянными. Значимость различия оценок дисперсий в двух се­риях, результаты измерения в которых подчиняются нормальному закону распределения вероятности, проверяется в порядке, приведенном на рис. 43, где первоначальные операции совпадают с показанными на рис. 41 и поэтому при проверке однородности серий выполняются один раз.

В процессе вычислений образуется отношение ψ (пси), вероят­ность значений которого, больших единицы, если это число случайное, подчиняется распределению Р.А. Фишера. Поэто­му, выбрав значение интегральной функции распределения вероятности Р.А. Фишера равным вероятности Р, с которой принимается решение, можно проверить, больше или меньше ее аргумента ψ_о вычисленное значение ψ. Если ψ < ψ_о, то различие оценок дисперсий в сериях можно признать случай­ным и с выбранной вероятностью Р считать, что гипотеза о равнорассеянности серий не противоречит результатам ее проверки по критерию Р.А. Фишера. В противном случае эта гипотеза должна быть отвергнута. Значения аргумента интегральной функции распределения вероятности Р.А. Фи­шера приведены в табл.15.

Равнорассеянные серии с незначимым различием между сре­дними арифметическими считаются однородными. Если входя­щие в них экспериментальные данные получены в одних и тех же условиях, это говорит о сходимости измерений, если в разных - о воспроизводимости. Под сходимостью понимается качество измерений, отражающее близость друг к

другу результатов измерений, выполненных в оди­наковых условиях, под воспроизводимостью - в разных (в различных местах, в разное время, различными мето­дами и средствами). Если серии неоднородны (неравнорассеянные, или различие между средними арифметическими не может быть признано незначимым), об измерениях го­ворят, что они не сходятся (или не воспроизводятся).

Ценность измерительной информации вызывает стремле­ние использовать экспериментальный материал, содержа­щийся во всех сериях изменений. Экспериментальные дан­ные, входящие в однородные серии, можно рассматривать и обрабатывать как единый массив. Для сокращения вычис­лений при этом целесообразно использовать полученные ра­нее результаты:

где N=n₁+n_ІІ

Таблица 15

nІІ	P	nІ
		2	3	4	5	6	7	9	13	16	21	25	51	∞
2	0,90 0,95	39,9 161	49,5 200	53,6 216	55,8 225	57,2 230	58,2 234	59,4 239	60,7 244	61,2 246	61,7 248	62,0 249	62,7 252	63,3 254
3	0,90 0,95 0,99	8,53 18,5 98,5	9,00 19,0 99,0	9,16 19,2 99,2	9,24 19,2 99,2	9,29 19,3 99,3	9,33 19,3 99,3	9,37 19,4 99,4	9,41 19,4 99,4	9,42 19,4 99,4	9,44 19,4 99,4	9,45 19,5 99,5	9,47 19,5 99,5	9,49 19,5 99,5
4	0,90 0,95 0,99	5,54 10,1 34,1	5,46 9,55 30,8	5,39 9,28 29,5	5,34 9,28 28,7	5,31 9,10 28,2	5,28 8,94 27,9	5,25 8,85 27,5	5,22 8,74 27,1	5,20 8,70 26,9	5,18 8,66 26,7	5,18 8,64 26,6	5,15 8,58 26,4	5,13 8,53 26,1
5	0,90 0,95 0,99	4,54 7,71 21,1	4,32 6,94 18,0	4,19 6,59 16,7	4,11 6,39 16,0	4,05 6,26 15,5	4,01 6,16 15,2	3,95 6,04 14,8	3,90 5,91 14,4	3,87 5,86 14,2	3,84 5,80 14,0	3,83 5,77 13,9	3,80 5,70 13,7	3,76 5,63 13,5
6	0,90 0,95 0,99	4,06 6,61 16,3	3,78 5,79 13,3	3,62 5,41 12,1	3,52 5,19 11,4	3,45 5,05 11,0	3,40 4,95 10,7	3,34 4,82 10,3	3,27 4,68 9,89	3,24 4,62 9,72	3,21 4,56 9,55	3,19 4,53 9,47	3,15 4,44 9,24	3,10 4,36 9,02
7	0,90 0,95 0,99	3,78 5,99 13,7	3,46 5,14 10,9	3,29 4,76 9,78	3,18 4,53 9,15	3,11 4,39 8,75	3,05 4,28 8,47	2,98 4,15 8,10	2,90 4,00 7,72	2,87 3,94 7,56	2,84 3,87 7,40	2,82 3,84 7,31	2,77 3,75 7,09	2,72 3,67 6,88
9	0,90 0,95 0,99	3,46 5,32 11,3	3,11 4,46 8,65	2,92 4,07 7,59	2,81 3,84 7,01	2,73 3,69 6,63	2,67 3,58 6,37	2,59 3,44 6,03	2,50 3,28 5,67	2,46 3,22 5,52	2,42 3,15 5,36	2,40 3,12 5,28	2,35 3,02 5,07	2,29 2,93 4,86
13	0,90 0,95 0,99	3,18 4,75 9,33	2,81 3,89 6,93	2,61 3,49 5,95	2,48 3,26 5,41	2,39 3,11 5,06	2,33 3,00 4,82	2,24 2,85 4,50	2,15 2,69 4,16	2,10 2,62 4,01	2,06 2,54 3,86	2,04 2,51 3,78	1,97 2,40 3,57	1,90 2,30 3,36
16	0,90 0,95 0,99	2,07 4,54 8,68	2,70 3,68 6,36	2,49 3,29 5,42	2,36 3,06 4,89	2,27 2,90 4,56	2,21 2,79 4,32	2,12 2,64 4,00	2,02 2,48 3,67	1,97 2,40 3,52	1,92 2,33 3,37	1,90 2,29 3,29	1,83 2,18 3,08	1,67 2,07 2,87
21	0,90 0,95 0,99	2,97 4,35 8,10	2,59 3,49 5,85	2,38 3,10 4,94	2,25 2,87 4,43	2,16 2,71 4,10	2,09 2,60 3,87	2,00 2,45 3,56	1,89 2,28 3,23	1,84 2,20 3,09	1,79 2,12 2,94	1,77 2,08 2,86	1,69 1,97 2,64	1,61 1,84 2,42
25	0,90 0,95 0,99	2,93 4,26 7,82	2,54 3,40 5,61	2,33 3,01 4,72	2,19 2,78 4,22	2,10 2,62 3,90	2,04 2,51 3,67	1,94 2,36 3,36	1,83 2,18 3,03	1,78 2,11 2,89	1,73 2,03 2,74	1,70 1,98 2,66	1,62 1,86 2,44	1,53 1,73 2,21
51	0,90 0,95 0,99	2,79 4,00 7,08	2,39 3,15 4,98	2,18 2,76 4,13	2,04 2,53 3,65	1,95 2,37 3,34	1,87 2,25 3,12	1,77 2,10 2,82	1,66 1,92 2,50	1,60 1,84 2,36	1,54 1,75 2,20	1,51 1,70 2,12	1,41 1,56 1,88	1,29 1,39 1,60
∞	0,90 0,95 0,99	2,71 3,84 6,63	2,30 3,00 4,61	2,08 2,60 3,78	1,94 2,37 3,32	1,85 2,21 3,02	1,77 2,10 2,80	1,67 1,94 2,51	1,55 1,75 2,18	1,49 1,67 2,04	1,42 1,57 1,88	1,38 1,52 1,79	1,26 1,35 1,52	1,00 1,00 1,00

При обработке неравнорассеянных серий с незначимо различающимися средними арифметическими учитывается особая ценность измерений, выполненных с большей точ­ностью. Дисперсия (рассеяние) в таких сериях меньше. Для учета этого в оценку среднего значения всего массива экспе­риментальных данных включают средние арифметические серий с "весами", обратно пропорциональными оценкам их дисперсий:

Это уже знакомое по предыдущему разделу среднее взве­шенное. Стандартное отклонение среднего взвешенного

Порядок обработки экспериментальных данных , входящих_внеравнорассеян­ных серий с незначимым различием средних арифмети­ческих, показан на рис. 44.