1. Лінійна алгебра

1.1. Матриці та дії над ними

Матрицеюрозміруназивається множина з елементів, розміщених у вигляді прямокутної таблиці зрядків істовпців:

,

де – елемент матриці; числа,– індекси елемента матриці, що вказують його місцезнаходження:– номер рядка;– номер стовпця.

Число елементів матриці знаходиться як добуток числа рядківна число стовпців.

Матриця називається прямокутною, якщо число її рядків не дорівнює числу її стовпців, тобто:

.

Квадратною матрицеюназивається матриця, в якій кількість рядків і стовпців однакова. Їх кількість вказує на розмір (порядок) матриці:

.

Головною діагоналлюквадратної матриці називається діагональ, яка проходить через лівий верхній та правий нижній кути матриці (складається із елементів):

Побічною діагоналлюквадратної матриці називається діагональ, яка проходить через правий верхній та лівий нижній кути матриці (складається із елементів):

Деякі типи матриць

	Матриця-рядок– матриця розмірності, яка містить всього один рядок
	Матриця-стовпець– матриця розмірності, яка містить всього один стовпець
	Діагональна матриця– квадратна матриця, в якій всі елементи, що знаходяться поза головною діагоналлю, дорівнюють нулю
	Одиничнаматриця– діагональна матриця, в якій всі елементи, що містяться на головній діагоналі, дорівнюють одиниці (позначають літероюЕ)
	Трикутна матриця– матриця, всі елементи якої під (над) головною діагоналлю дорівнюють нулю
	Нульова матриця– матриця, всі елементи якої дорівнюють нулю

Дії над матрицями

Операція порівняння:
Дві матриці нази-ваються рівними, якщо рівні їх відповідні елементи	Якщо та, то , коли (;)
Множення матриці на число:
Щоб помножити матрицюна дійсне числовідмінне від нуля, необхідно кожен елемент матриці помножити на це число	Якщо та, то :
Додавання (віднімання) матриць:
Щоб знайти суму (різницю) двох матриць(однако-вого розміру), необхідно скласти (відняти) елементи з однаковими індек-сами (що розташо-вані на однакових місцях) Зауваження.Додавати (віднімати) можна лише матриці з однаковою кіль-кістю рядків і стовпців	Якщо ,та, то : Властивості операції додавання (віднімання) матриць: (комутативність); (асоціативність); (дистрибутивність); (нейтральність нульової матриці)

Продовження

Транспонування матриці:
Транспонованою матрицеюдо матрицінази-вається така матриця, в якій рядки та стовпці міняються місцями	Якщо : , то : .
Добуток матриць:
Добутком двох матриць є матриця, елементи якої знахо-дяться як скалярний добутокi-го вектор-рядка першої матри-ці наj-й вектор-стовпецьдругої. Зауваження.Перемножувати можна лише такі дві матриці, в якихкількість стовпців першої збігається з кількістю рядків другої. Кількість рядків результуючої матриці дорівнює кількості рядків першої матриці, а кількість стовпців – кількості стовпців другої	Якщо ,і, то, (;). Наприклад: добуток двох матриць 2-го порядку: . Властивості добутку матриць: ; ; ; ; ;