Обернена матриця

Матриця називаєтьсяоберненоюдо матриці, якщо виконується умова:.

Для того, щоб квадратна матриця мала обернену матрицю, необхідно і достатньо, щоб її визначник не дорівнював нулю (невироджена матриця). Обернену матрицю можливо знайти наступним чином:

,

де – алгебраїчні доповнення елементіввизначника матриці.

Зауваження. Звернемо увагу на розташування чисел в правій частині формули: число розташоване не у -му рядку та-му стовпці, а навпаки, в-му рядку та-му стовпці. Таким чином, матриця, що розташована в правій частині, є транспонованою матрицею алгебраїчних доповнень елементів матриці.

1.3. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь (слар)

Лінійним (відносно невідомих ) називають алгебраїчне рівняння першого порядку, тобто рівняння виду, де– числа. Так рівняння першого ступеня з двома зміннимивизначає на площині в декартовій прямокутній системі координат пряму лінію.

Система лінійних рівнянь зневідомими в загальному випадку записується наступним чином:

В загальному випадку число рівнянь в системі не обов’язково співпадає з числом невідомих: може бути менше, більше числаабо дорівнювати йому.

Числа (дійсні або комплексні) називаються коефіцієнтами системи; –вільними членами; –невідомими (,).

Систему можна записати в матричній формі:

:

,	,	.
основна матриця системи	матриця-стовпець невідомих	матриця-стовпець вільних членів

Розв’язком СЛАР називається впорядкована сукупність чисел (), які при підстановці в систему замість невідомих, перетворюють усі рівняння в тотожності.

Види систем лінійних алгебраїчних рівнянь

Одноріднасистема рівнянь, якщо всі вільні члени дорівнюють нулю:	Неодноріднасистема рівнянь, якщо хоч один з вільних членів відмінний від нуля:
Сумісна система рівнянь, якщо вона має хоча б один розв’язок	Несумісна система рівнянь, якщо вона не має жодного розв’язку
Визначеною називається сумісна система рівнянь, якщо вона має єдиний розв’язок	Невизначеною називається сумісна система рівнянь, якщо вона має безліч розв’язків
Дві системи лінійних рівнянь називаються еквівалентними, якщо вони мають одну й ту ж множину розв’язків
Дві системи лінійних рівнянь від одних і тих же невідомих називаються рівно-сильними, якщо кожний розв’язок однієї з них є розв’язком іншої, і навпаки (або якщо обидві системи несумісні). Зауважимо, що число рівнянь в рівносильних системах може бути різним

Головний визначник системи– визначник, який складається з коефіцієнтів при невідомих системи лінійних алгебраїчних рівнянь:

Можливі наступні випадки розв’язку системи лінійних алгебраїчних рівнянь: 1) якщо , тоді система має єдиний розв’язок, який можна знайти або за формулами Крамера, або методом Гаусса, або матричним способом;

2) якщо , тоді система або несумісна, або має безліч розв’язків.

Методи розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь

Метод Крамера
Використовується лише для СЛАР, де число невідомих співпадає з числом рівнянь (такі системи називають квадратними). Крім того, вводиться обмеження на коефіцієнти системи: необхідно, щоб всі рівняння були лінійно незалежними (жодне рівняння не повинно бути лінійною комбінацією інших). Для цього потрібно, щоб визначник матриці системи не дорівнював нулю. Дійсно, якщо одне з рівнянь системи є лінійною комбінацією інших, то якщо до елементів якого-небудь рядка додати елементи іншого, помножені на будь-яке число, за допомогою лінійних перетворень, можна отримати нульовий рядок. Визначник в цьому випадку буде дорівнювати нулю	Припустимо, що дана система лінійних рівнянь зневідомими: Головний визначник системи: . Якщо визначник квадратної системи не дорівнює нулю, то ця система має єдиний розв’язок, який може бути знайдений за формулами Крамера: , де – визначник, складений з головного визначникашляхом заміни-го стовпця на стовпець вільних членів (додаткові визначники)
Матричний метод (метод оберненої матриці)
Застосовується до розв’язання СЛАР, де число рівнянь дорівнює числу невідомих Метод базується на застосуванні властивостей добутку матриць. При використанні даного методу необхідно знаходити обернену матрицю, що може привести до обчислювальних труднощів при розв’язанні систем високого порядку	Розглянемо лінійну систему: Запишемо систему в матричній формі: , де – матриця коефіцієнтів системи; –матриця невідомих; –матриця вільних членів: , ,. Припустимо, що матриця невироджена (її визначник не дорівнює нулю), отже вона має обернену матрицю. Матричний спосіб розв’язування систем: . Отже, розв’язком матричного рівняння є добуток оберненої матриці , на стовпець вільних членів системи
Метод Гаусса (метод послідовних вилучень невідомих)
Може бути використаний при розв’язанні СЛАР з довільним числом рівнянь та невідомих. Сутність методу полягає в тому, що за допомогою елементарних перетворень система рівнянь зводиться до такого виду, щоб матриця системи виявилася трикутною. Під елементарними перетво-реннями системи лінійних рівнянь розуміють наступні операції: множення якого-небудь рівняння системи на число, відмінне від нуля; додавання до одного рівняння іншого рівняння; перестановка місцями рівнянь в системі. Комбінуючи елементарні перетворення першого та другого типів, можна до будь-якого рівняння додати інше рівняння, помножене на довільне число. Проводячи елементарні перетворення в системі, можна отримати нову систему. Очевидно, що кожному елементарному перетворенню системи відповідають аналогічні перетворення над рядками розширеної матриці цієї системи, і навпаки, кожному елементарному перетво-ренню рядків розширеної матриці відповідає деяке елементарне перетворення в системі. Таким чином, елементарні перетворення в системі зводяться до відповідних перетворень над рядками її розширеної матриці	Розглянемо спосіб знаходження єдиного розв’язку СЛАР: Припустимо, що (цього завжди можна досягти, помінявши рівняння місцями). Розділимо обидві частини першого рівняння на та віднімемо отримане рівняння з кожного із рівнянь системи, що залишилися, помноживши його попередньо наде– номер чергового рівняння. Як відомо, отримана при цьому нова система будерівносильною початковій. Коефіцієнти при в усіх рівняннях цієї системи, починаючи з другого, будуть дорівнювати нулю, тобто система набуде вигляду: Таким же чином виключають з третього та наступних рівнянь. Продовжуючи цю операцію для наступних невідомих, система набуває так званоготрикутного вигляду: Тут символами іпозначені числові коефіцієнти та вільні члени, що набули змін в результаті перетворень. З останнього рівняння системи єдиним чином визначається , а потім послідовною підстановкою – решта невідомих. Зауваження. Іноді в результаті перетворень в якомусь із рівнянь всі коефіцієнти і права частина перетворюються в нулі, тобто воно перетворюється у тотожність: 0=0. Виключивши його з системи, тим самим зменшується число рівнянь порівняно з числом невідомих. Така система не може мати єдиний розв’язок. Якщо ж в процесі застосування метода Гаусса будь-яке рівняння перетворилося в рівняння виду 0=1 (коефіцієнти при невідомих стали дорівнювати нулю, а права частина прийняла ненульове значення), то початкова система не має розв’язку, бо подібна рівність є невірною при будь-яких значеннях невідомих