Однорідна система лінійних рівнянь

Розглянемо систему трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими:

Складемо головний визначник системи. При розв’язанні системи можуть бути випадки:

1) якщо , тоді система має лише єдиний нульовий розв’язок, тобто(підстановка нульових значень замість невідомих у кожне з рівнянь перетворює їх у тотожність);

2) якщо , тоді система може мати безліч ненульових розв’язків, тобто буде неозначеною. У цьому випадку одне з рівнянь системи є лінійною комбінацією двох інших і може бути відкинуте. Тоді система буде складатися з двох рівнянь з трьома невідомими і матиме, наприклад, вигляд:

Припустимо, що із трьох визначників другого порядку цієї системи хоча б один не дорівнює нулю, наприклад, визначник із коефіцієнтів при невідомих та:

.

Тоді система з двох рівнянь з трьома невідомими є невизначеною і має безліч розв’язків, які знаходять за формулами:

,

де ,,– довільне дійсне число.

Може мати місце випадок, коли всі визначники останньої системи дорівнюють нулю. Тоді одне з рівнянь системи є наслідком іншого і може бути відкинуто. Залишається одне рівняння системи, наприклад, перше. Якщо, наприклад, , то система має безліч розв’язків, що знаходяться за формулами:

,

де – довільні дійсні числа.

2. Векторна алгебра

2.1. Поняття вектора та лінійні операції над векторами

Скалярними величинами (скалярами) називаються величини, які визначаються тільки числовими значеннями. Величини, які, крім числового значення, мають ще й напрямок, називаютьсявекторними.

Б

удь-яка упорядкована пара точок А і В простору визначаєвектор, тобто відрізок, що має певну довжину і напрямок. Першу точку А називають

початком вектора, а другу В –кінцем вектора.Напрямом векторавважають напрям від його початку до кінця. Вектор, початок якого знаходиться в точці А, а кінець – у точці В, позначається символомабо. Відстань між початком вектора і його кінцем називаєтьсядовжиною (або модулем) вектората позначаєтьсяабо.

Вектор, довжина якого дорівнює одиниці, називається одиничним. Одиничний вектор, напрям якого збігається з напрямом вектора, називаютьортом вектора. Нульовим векторомназивається вектор, довжина якого дорівнює нулю.

Два вектори називаються колінеарними, якщо вони розташовані на одній або паралельних прямих
Види колінеарних векторів
співнаправлені		протилежно направлені
рівні: однаково направлені і мають рівні довжини		протилежні: мають однакові довжини, але протилежний напрямок

Три вектори називаються компланарними, якщо вони розміщені в одній площині, або паралельні одній і тій же площині.

Припустимо, що маємо векторівтаскалярних величин. Запишемо їх лінійну комбінацію, використовуючи скаляри:

.

Якщо ця рівність при умові виконується, то векториназиваютьсялінійно незалежними. Якщо рівність виконується і хоча б частина скалярівне дорівнює нулю, то ці вектори називаютьсялінійно залежними. Тобто, вектори називаються лінійно залежними, якщо будь-який з них можна виразити через лінійну комбінацію інших.