Преобразуем формулу Эйлера (14.11), подставляя в нее вместо реальной длины стержня приведенную длину. Получаем формулу Эйлера для критической силы в окончательном виде:

. (14.16)

На рис.14.4 приведены значения критической силы для стержней с разными условиями закрепления концов при одинаковых исходной длине и жесткости сечения. Следует отметить, что наибольшего значения критическая сила достигает для стержня с жестким опиранием концов (Рис.14.4,г). В этом случае критическая сила оказывается в 4 раза больше, чем для основного случая закрепления концов. Наименее эффективным типом закрепления концов стержня является случай, приведенный на рис 14.4,а. Критическая сила в этом случае оказалась в 4 раза меньше, чем для основного случая.

14.4. Пределы применимости формулы Эйлера. Формула Ясинского

Формула Эйлера, полученная 250 лет назад, долгое время являлась предметом дискуссий. Споры длились около 100 лет. Одной из главных причин споров явилось то, что формула Эйлера для некоторых случаев не подтверждалась экспериментально. Объясняется это тем, что Эйлер выводил свою формулу, используя закон Гука, предполагая, что при любом значении силы сжатый стержень работает в пределах упругих деформаций. Впервые это обстоятельство в 1845 году было разъяснено Ламарлем (формула Эйлера была получена в 1744г). Таким образом, сто лет практикам было не ясно, почему формула Эйлера дает часто не пригодные для практики результаты, и поэтому ею избегали пользоваться, предпочитая различные эмпирические или полуэмпирические формулы.

Найдем критические напряжения. Так как при силах, меньших или равных критической, единственной устойчивой формой равновесия является прямолинейная, критические напряжения могут быть вычислены по формуле:

. (14.17)

Из формулы (14.17) становится ясно, что если прямолинейная форма стержня останется устойчивой и при напряжениях, превышающих предел пропорциональности, то приближенное дифференциальное уравнение упругой линии стержня, предполагающее справедливость закона Гука, уже не будет пригодно для описания изгиба при потере устойчивости.

Выразим критические напряжения в стержне, подставив значение критической силы (14.16):

, (14.18)

где  наименьший из главных радиусов инерции стержня;  площадь брутто поперечного сечения стержня.

Введем безразмерную величину

, (14.19)

называемую гибкостью стержня.

Перепишем выражения для критических напряжений (14.18) в виде:

. (14.20)

Эта формула является также формулой Эйлера, но в видоизмененном виде. В соответствии с этой формулой критические напряжения сжатого стержня зависят от упругих характеристик материала (модуля упругости ) и от гибкости стержня.

Предельная величина критических напряжений, которые можно определить по формуле Эйлера (14.20), ограничены сверху пределом пропорциональности для материала стержня. Приравнивая величину критических напряжений величине предела пропорциональности, из уравнения (14.20) найдем предельную гибкость, при которой применима формула Эйлера:

. (14.21)

Если , формулу Эйлера применять можно, еслиформулу Эйлера применять нельзя. Стержни, у которых гибкость больше предельной () называют стержнямибольшой гибкости. Для малоуглеродистой стали, у которой МПа и модуль упругостиМПа, предельная гибкость равна:

.

То же самое можно получить и графически. В системе координат построим график зависимость критических напряжений от гибкости стержня (Рис.14.5). Графически эта зависимость представляет собой гиперболу и называетсягиперболой Эйлера. График построен для стали Ст.3 и показывает, что по мере возрастания гибкости стержня критические напряжения стремятся к нулю, и наоборот, по мере приближения гибкости к нулю критические напряжения стремятся к бесконечности.

Рис.14.5

Отложим на оси ординат () величину предела пропорциональностии проведем из полученной точкиD прямую, параллельную оси абсцисс. Эта прямая пересечется с гиперболой Эйлера в точке А, абсцисса которой и есть . Слева от точки А гирербола Эйлера показана штриховой линией, так как на этом отрезке она дает значения критических напряжений, больших предела пропорциональности, что не соответствует условиям ее применимости. Если же применять формулу Эйлера за пределом пропорциональности (при), эта формула дает завышенные значения критической силы. В результате происходит переоценивание действительной устойчивости стержня. Поэтому использование формулы Эйлера для стержней, теряющих устойчивость за пределами упругости, не только принципиально неправильно, но и крайне опасно по своим последствиям.

Для случая, когда стержень работает за пределами упругости, теоретические выводы сильно усложняются. В связи с этим обычно пользуются эмпирическими формулами, полученными в результате обработки большого количества опатных данных. Одной из таких формул является формула Ф.С.Ясинского:

. (14.22)

Значения коэффициентов идля некоторых материалов приведены в таблице 14.1.

Таблица 14.1

Материал		(МПа)	(МПа)
Ст.2, Ст.3	100	310	1,14
Ст.5	100	464	3,26
Сталь 40	90	321	1,16
Кремнистая сталь	100	589	3,82
Дерево (сосна)	110	293	0,194
Чугун	80	776	12

Экспериментальные значения критических напряжений на рис.14.5 на участке АВ условно показаны точками. Ф.С.Ясинский, получив данные эксперимента, аппроксимировал эти данные прямой линией АВ (на графике), уравнение которой записал в виде (14.22). Гибкость стержня, соответствующая точке В на графике, равна приблизительно 40-50. Назовем стержни, гибкость которых колеблется от 40 до , стержнямисредней гибкости.

При некотором значении гибкости величина критических напряжений, вычисленная по формуле Ясинского (14.22), становится равной пределу текучести при сжатии для пластичных материаловили пределу прочности при сжатии для хрупких материалов. Стержни, у которых, называются стержнямималой гибкости. Такие стержни устойчивость не теряют и рассчитываются только на прочность.

На рис.14.5 стержням малой гибкости соответствует прямая ВС.

Таким образом, на графике (Рис.14.5), устанавливающим зависимость критических напряжений от гибкости стержня, можно выделить три группы стержней и соответствующие им зоны: I группа стержней () – стержни большой гибкости – критические напряжения для стержней этой группы определяются по формуле Эйлера (14.20);II группа стержней () – стержни средней гибкости – критиченское напряжение для этой группы стержней определяется по формуле Ясинского (14.22);III – стержни малой гибкости () – критические напряжения не определяются. Такие стержни устойчивости не теряют, и их расчет производится только на прочность.

14.5. Практические методы расчета сжатых стержней на устойчивость. Понятие о коэффициенте продольного изгиба

Говоря о практических методах расчета сжатых стержней на устойчивость, следует отметить, что критические напряжения для центрально сжатых стержней средней и большой гибкости всегда представляют большую опасность, чем предел текучести или предел прочности, так как сжатый стержни теряют несущую способность от потери устойчивости раньше, чем от потери прочности. Исходя из этого, при практическом решении вопроса об устойчивости стержня нельзя допускать в нем возникновения критических напряжений. Зная величину критических напряжений, необходимо обеспечить для стержня определенный запас устойчивости.

В существующей практике коэффициент запаса устойчивости для сжатых стержней из стали колеблется в переделах от 1,8 до 3,0. Этот коэффициент выбирается выше коэффициента запаса на прочностьдля стали, равного 1,6. Это объясняется наличием ряда обстоятельств, неизбежных на практике (начальная кривизна, эксцентриситет приложения нагрузки, неоднородность материала и т.д.) и почти не отражающихся при других видах деформации, таких, как кручение, изгиб, растяжение. Для сжатых же стержней, ввиду возможности потери устойчивости, эти обстоятельства могут сильно снизить несущую способность стержня. Для чугуна коэффициент запаса устойчивости колеблется от 5,0 до 5,5, для дерева – от 2,8 до 3,2.

Установим связь между допускаемым напряжением на устойчивость и допускаемым напряжением на прочность. Для этого возьмем их отношение:

или ,

где опасное напряжение, равное либо пределу текучести материала, либо пределу прочности.

Введем обозначение:

. (14.23)

Коэффициент в формуле (14.23) получил названиекоэффициента продольного изгиба или коэффициента уменьшения основного допускаемого напряжения для сжатых стержней.

Последнее определение следует из того, что коэффициент всегда будет меньше единицы, так как критическое напряжение, а коэффициент запаса прочности.

Таким образом, связь между допускаемыми напряжениями на устойчивость и прочностьприобретает вид:

. (14.24)

Коэффициент продольного изгиба для каждого материала можно вычислить при всех значениях гибкостии представить в виде графика зависимостиили таблицы. Значения коэффициентадля ряда материалов приведены в таблице 14.2.

Таблица 14.2

Гибкость	Коэффициент продольного изгиба для
	Ст.2, Ст.3, Ст.4	Ст.5	чугуна	дерева
0	1,00	1,00	1,00	1,00
10	0,99	0,98	0,97	0,99
20	0,96	0,95	0,91	0,97
30	0,94	0,92	0,81	0,93
40	0,92	0,89	0,69	0,87
50	0,89	0,86	0,57	0,80
60	0,86	0,82	0,44	0,71
70	0,81	0,76	0,34	0,60
80	0,75	0,70	0,26	0,48
90	0,69	0,62	0,20	0,38
100	0,60	0,51	0,16	0,31
110	0,52	0,43		0,25
120	0,45	0,36		0,22
130	0,40	0,33		0,18
140	0,36	0,29		0,16
150	0,32	0,26		0,14
160	0,29	0,24		0,12
170	0,26	0,21		0,11
180	0,23	0,19		0,10
190	0,21	0,17		0,09
200	0,19	0,16		0,08

Пользуясь подобными таблицами, можно достаточно просто произвести расчет стержней на устойчивость.

Составим условие устойчивости сжатых стержней:

. (14.25)