Учитывая, что

, а ,

условие устойчивости, получим в виде:

. (14.26)

Если стержень сжат одной силой , то в этом случае продольная силаи выражение (14.26) приобретает вид:

. (14.27)

Местные ослабления практически не изменяют величину критической силы. Поэтому в формулах (14.26), (14.27) вводится полная площадь поперечного сечения.

Условие устойчивости (14.27) решает три задачи:

1. Проверочный расчет сжатых стержней.

2. Подбор величины сжимающей нагрузки.

3. Проектировочный расчет.

Рассмотрим порядок решения каждой из этих задач.

Задача 1:

1. Так как условия закрепления концов стержня, длина стержня, форма поперечного сечения и его размеры известны, находим минимальный осевой момент инерции , площадь, вычисляем минимальный радиус инерции сеченияи гибкость стержня.

2. По таблице 14.2 определяем коэффициент продольного изгиба и вычисляем напряжение в стержне по формуле:

.

3. Сравниваем полученное напряжение с допускаемым напряжением:

.

Задача 2:

1. Выполняем пункт 1, изложенный в предыдущей задаче.

2. По таблице 14.2 находим коэффициент продольного изгиба и определяем допускаемое значение силыпо формуле:

.

Задача 3:

1. При решении этой задачи используем метод последовательных приближений (метод итераций) путем варьирования величиной коэффициента продольного изгиба . Так как в расчетной формуле на устойчивостьимеются две неизвестные величиныкоэффициенти искомая площадь поперечного сечения, принимаем в первой попытке значение для коэффициента продольного изгиба.

2. Определяем площадь поперечного сечения , находим размеры поперечного сечения, минимальный осевой момент инерции и минимальный радиус инерции.

3. Определяем гибкость стержня , и по таблице 14.2 находим коэффициент продольного изгиба. Еслизначительно отличается от, то и напряжение в стержне будет существенно отличаться от допускаемого. В этом случае повторяем расчет: вычисляем среднее значениеи обращаемся к пункту 2. Если требуется третья попытка, то определяеми т.д. Обычно при подборе сечений требуется не более двух-трех попыток.

Рассмотрим несколько примеров определения величины критической силы для сжатого стержня и расчета сжатых стержней на устойчивость.

Пример 14.1. Определить наименьшую гибкость стержня, при которой для вычисления критического усилия еще применима формула Эйлера, если стержень выполнен из стали с пределом пропорциональностиМПа и модулем упругостиМПа.

Решение:

1. Формула Эйлера применима, если критические напряжения, действующие в стержне, не превышают предела пропорциональности:

.

Отсюда предельная величина гибкости, при которой применима формула Эйлера, равна:

.

Пример 14.2.Какой из двух стержней одинаковой длины, условия закрепления и нагружения которых также одинаковы, является более гибким – стержень квадратного или круглого сечения с равной площадью (Рис.14.6)?

Решение:

1. По условию задачи площади поперечных сечений стержня, приведенные на рис.14.6, одинаковы: или. Откуда.

Рис.14.6

2. Отношение гибкостей двух стержней с одинаковыми условиями закрепления концов и одинаковой длины обратно пропорционально отношению минимальных радиусов инерции их поперечных сечений или при одинаковой площади поперечных сечений обратно пропорционально корню квадратному из отношения минимальных моментов инерции сечений:

.

3. Таким образом, гибкость стержня с прямоугольным сечением составляет:

или гибкость стержня с прямоугольным сечением составляет 97,7% от гибкости стержня с круглым сечением. Иными словами, гибкость стержня с круглым сечением оказалась на 2,3% больше.

Пример.14.3. Определить величину критического усилия и критическое напряжение для стойки прямоугольного поперечного сечения 1220см²длиной 7м из дерева с модулем упругостиМПа. В плоскости наименьшей жесткости оба конца стойки защемлены (положение 1), а в перпендикулярном положении (положение 2) – оба конца стойки шарнирно оперты (Рис.14.7).

Решение

1. Определим величину критической силы для первого положения стержня (Рис.14.7,а):

кН.

Рис.14.7

2. Определим величину критической силы для второго положения стержня (Рис.14.7,б):

кН.

3. Из двух значений критической силы принимаем меньшее: кН. Определяем критическое напряжение:

МПа.

4. Определим правомерность применения формулы Эйлера для решения этой задачи. Для этого определим предельное значения гибкости для дерева, если предел пропорциональности для дерева МПа.

.

Гибкость стержня для первого положения стержня равна:

.

Гибкость стержня для второго положения стержня равна:

.

Здесь: см;см.

Таким образом, гибкость стержня для обоих его положений оказалась выше предельной для дерева и, следовательно, применение формулы Эйлера для определения критической силы было оправданным.

Пример 14.4.Произвести проверку устойчивости сжатой деревянной колонны (Рис.14.8) круглого поперечного сечения диаметромсм длинойм, если основное допускаемое напряжениеМПа, а сжимающая силакН.

Рис.14.8

Решение:

1. Определяем площадь поперечного сечения:

см².

2. Определяем радиус инерции сечения:

см.

4. Определяем гибкость стержня:

.

5. По таблице 14.2 находим с помощью линейной интерполяции:

.

6. Определяем величину допускаемого напряжения устойчивости:

МПа.

7. Вычисляем нормальные ноапряжения в сечении от сжатия:

МПа.

8. Сравнивая с, получаем:МПа < МПа. Значит, устойчивость колонны обеспечена.

Пример 14.5.Для предыдущей задачи найти величину критической силы, доускаемое значение нагрузки и величину коэффициента запаса устойчивости, если для дерева модуль упругостиМПа, предел пропорциональностиМПа.

Решение:

1. Определяем предельную гибкость для дерева:

.

2. Определяем величину критической силы. Гибкость стержня в предыдущем примере составила . Следовательно, для определения критической силы можно применять формулу Эйлера:

кН.

3. Находим допускаемое значение для сжимающей силы. Значение для коэффициента продольного изгиба берем из предыдущего примера :

кН.

4. Определяем коэффициент запаса устойчивости:

.

Пример 14.6.Как изменятся величины критической и допускаемой силы и коэффициент запаса устойчивости, если длину стержня уменьшить вдвое. Для решения задачи взять данные из примера 14.5.

Решение:

1. Если длину стержня уменьшить вдвое до м, сохранив при этом условия закрепления концов стержня, гибкость стержня также уменьшится в два раза:

.

Это значение гибкости меньше предельного, равного . Следовательно, формулу Эйлера для определения критической силы использовать нельзя, а следует использовать для этой цели формулу Ясинского.

2. Определяем величину коэффициента продольного изгиба:

.

3. Из таблицы 14.1 берем значения эмпирических коэффициентов для дерева МПа,МПа и вычисляем величину критической силы:

кН.

3. Определяем допускаемое значение сжимающей силы:

кН.

4. Находим коэффициент запаса устойчивости:

.

Таким образом, с уменьшением длины стержня вдое значения для критической и допускаемой силы увеличились, коэффициент запаса устойчивости стал меньше.

Пример 14.7. Подобрать из сортамента прокатной стали двутавр для стержня длиной 4м, сжатого центрально приложенной силойкН. Оба конца стержня защемлены. Материал – Ст.3. Основное допускаемое напряжениеМПа.

Решение:

1. Принимаем и находим площадь поперечного сечения:

см².

Из сортамента прокатной стали выбираем двутавр №22а с площадью см²и минимальным радиусом инерциисм.

Находим гибкость стержня:

.

Из таблицы 14.2 определяем коэффициент продольного изгиба: . Так как междуиимеется значительная разница, переходим ко второ й попытке.

2. Принимаем и находим площадь поперечного сеченния двутавра:

см².

Из сортамента прокатной стали выбираем двутавр №18а с площадью см²и минимальным радиусом инерциисм.

Находим гибкость стержня:

.

Определяем коэффициент продольного изгиба, используя данные таблицы 14.2:

.

Поскольку разница между ине очень большая, найдем напряжения, возникающие в стержне:

МПа.

Стержень недогружен. Определяем относительную величину недогруза:

.

Обычно относительная величина недогруза или перегруза должна составлять порядка 3% по абсолютной величине. Поэтому переходим к третьей попытке.

3. Принимаем и находим площадь поперечного сеченния двутавра:

см².

В сортаменте прокатной стали имеется двутавр №18 с площадью см²и минимальным радиусом инерциисм.

Площадь этого двутавра меньше требуемой. Проверим его. Находим гибкость стержня:

.

Определяем коэффициент продольного изгиба:

.

Находим напряжение в стержне:

МПа.

Стержень оказался перегруженным. Относительная величина перенапряжения составляет:

.

Такое перенапряжение недопустимо. Поэтому окончательно принимаем для сечения стержня двутавр №18а.

Пример 14.8. Водонапорный бак АВСD весом кН поддерживается стержнями DK, CK, CGи испытывает действие ветровой нагрузки(Рис.14.9,а). В узлахC, D, K, Gкрепления стержней шарнирные. Поперечные сечения всех стержней одинаковы. При каком наименьшем значении ветровой нагрузкистержень №1 не следует проверять на устойчивость?

Рис.14.9

Решение:

1. Будем исходить из того, что проверять стержень №1 на устойчивость не следует, если этот стержень будет либо растянут, либо не нагружен вообще. Наименьшее значение силы , при котором стержень №1 не следует проверять на устойчивость, будет таким, при котором усилие в стержне №1 будет равно нулю. Во всех остальных случаях при большем значении силыстержень №1 будет растянут.

2. Рассечем стержни №1, №2, №3 горизонтальным сечением (Рис.14.9,б) и рассмотрим равновесие верхней части конструкции. Для нахождения усилий в стержнях применим метод моментных точек. Выберем в качестве моментной точки для стержня №1 точку С и составим относительно нее сумму моментов сил, действующих на верхнюю часть конструкции. Получим:

.

Принимая , из уравнения равновесия находимкН.