13.3. Теоремы о проекции равнодействующей сил давления

Теорема 1. Если на какую-либо поверхность действует равномерно распределенное давление, то, независимо от формы поверхности, проекция равнодействующей сил давления на заданную ось равна произведению давленияна площадь проекции поверхности на плоскость, перпендикулярную к заданной оси.

Доказательство: Предположим, что задана поверхность(Рис.13.9), на которую действует равномерно распределенное давление.

Рис.13.9

Требуется определить проекцию на ось равнодействующей сил давления. Эта проекциябудет, очевидно, равна:

,

где угол между нормалью к поверхности и осью. Площадь проекции элементана плоскость, перпендикулярную к оси, равна. Следовательно,

.

Таким образом, для того, чтобы определить проекцию равнодействующей сил давления на ось , нужно предварительно спроектировать поверхность на плоскость, а затем умножить давление на площадь этой проекции, что и требовалось доказать.

Терема 2.Если на какую-либо поверхность действует давление жидкости (Рис.13.10), то вертикальная составляющая сил давления равна весу жидкости в объеме, расположенном над поверхностью.

Рис.13.10

Доказательство:

Вертикальная составляющая сил давления для площадки согласно первой теореме будет равна произведению давления, действующего на эту площадку, на проекцию площадки на уровень жидкости, т.е.. Так как, гдеудельный вес жидкости, то вертикальная сила, действующая на площадку, будет равна.

Но объем элементарной призмы, расположенной над площадкой. Суммарная искомая сила будет, следовательно, равна весу жидкости в объеме, расположенном над поверхностью.

Требуется отметить, что найденная сила не зависит от формы сосуда, удерживающего жидкость. На рис.13.11 представлены три сосуда, для каждого из которых сила, приходящаяся на дно сосуда, будет одной и той же, равной весу жидкости, в объеме вышерасположенного цилиндра AВСD.

Рис.13.11

Рассмотрим некоторые примеры расчета на прочность тонкостенных оболочек.

Пример 13.4.Определить толщину стенки чугунной водопроводной трубы диаметром 120 см при высоте напора 100м. Допускаемое напряжение на растяжение чугуна принять 20МПа.

Решение:

1. Определим максимальное давление в водопроводной трубе при высоте напора м. Удельный вес воды составляеткН/м³. Тогда по закону Паскаля

МПа.

2. Определяем окуружные и меридиональные напряжения, действующие в трубе:

;. (а)

3. Используя третью теорию наибольших касательных напряжеий, записываем условие прочности:

. (б)

Принимая во внимание, что , и подставляянапряжение из (а) в (б), получим:

. (в)

4. Из условия прочности (в) определяем толщину стенки водопроводной трубы:

ммм.

Пример 13.5.Какую максимальную высоту напора можно допустить в винипластовой водопроводной трубе с наружным диаметроммм и внутренним диаметроммм? Допускаемое напряжение на длительное растяжения винипласта можно принять равнымМПа. Использовать третью теорию прочости.

Решение:

1. Определяем толщину стенки водопроводной трубы и радиус ее срединной поверхности:

мм;мм.

2. Определяем максимальную высоту напора . Для этого воспользуемся условием прочности (в), полученным в предыдущем примере. Из условия (в) находим:

.

Откуда:

м.

Пример 13.6.Котел имеет диаметр цилиндрической части 2м. Он находится под рабочим давлениемМПа. Подобрать толщину стенки котлапри допускаемом напряженииМПа, используя третью теорию прочности. Какая была бы необходима толщина при использовании четвертой теории прочности?

Решение:

1. Определяем окружные и меридиональные напряжения в стенке котла:

;. (а)

2. Определяем толщину стенки котла, воспользовавшись третьей теорией прочности. В соответствии с этой теорией расчетные напряжения в стенке котла равны:

. (б)

Принимая во внимание, что , и подставляянапряжение из (а) в (б), получим:

. (в)

Откуда

ммм.

3. Определяем толщину стенки котла из четвертой теории прочности. Условие прочности по этой теории имеет вид:

. (г)

Принимая во внимание, что , и подставляянапряжение ииз (а) в (г), получим:

. (д)

Откуда

ммм.

Пример 13.7.Кислородные баллоны представляют собой стальные цилиндрические сосуды с наружным диаметроммм и толщиной стенкимм. Каков будет запас прочности стенки баллона, если рабочее давление в нем достигнетМПа? Предел прочности принять равнымМПа. Применить четвертую теорию прочности.

Решение:

1. Используя четвертую теорию прочности, найдем величину расчетного напряжения в стенке баллона. Для этого воспользуемся выражением (д) из предыдущего примера:

МПа.

2. Определяем коэффициент запаса прочности:

.

Пример 13.8. Резервуар для бензина имеет форму тела вращения и размеры, представленные на рис.13.12. Он подвешен за верхний край и полностью заполнен бензином с удельным весом кН/м³. Толщина стенки резервуара равна мм. Прочность стенки в месте сопряжения цилиндрической и конической частей резервуара обеспечена специальным кольцевым поясом. Определить в стенке резервуара наибольшие нормальные напряжения в меридиональном и окружном направлениях.

Рис.13.12

Решение:

1. Воспользуемся для решения задачи формулами, приведенными в примере 13.3. Максимальные окружные напряжения возникают в стенке конической части оболочки и имеют реальный смысл, если высота конической части оболочки окажется больше высоты цилиндрической части. В рассматриваемом примере высота конической части оболочким больше высоты цилиндрической оболочким. Следовательно, максимальные окружные напряжения равны:

МПа.

Здесь: ;.

2. Максимальные меридиональные напряжения также возникают в стенке конической части оболочки и будут действительными, если . Действительно:м. Следовательно, максимальные меридиональные напряжения в стенке конической части оболочки равны:

МПа.

Пример 13.9.Вертикально стоящий цилиндрический резервуар с полусферическим днищем доверху заполнен водой (Рис.13.13а). Толщина боковых стенок и днища равнамм. Определить наибольшие напряжения в цилиндрической и сферической частях резервуара.

Рис.13.13

Решение:

1. Определим давление столба воды на глубине м им по закону Паскаля.

На глубине м давление составиткН/м², на глубине м кН/м². На рис.13.13,б показан закон распределения давления по высоте резервуара.

2. Максимальное окружное напряжение возникнет в пределах цилиндрической части резервуара на глубине м в сечении А:

МПа.

3. Максимальные меридиональные напряжения возникнут в полусферической части резервуара на глубине м в сечении В:

МПа.