Решая эти уравнения относительно коэффициентов и, находим: ; (13.28) . (13.29)

Подставляя выражения для коэффициентов (13.28), (13.29) в формулы (13.23)-(13.25), получим формулы Ламе для определения радиального перемещения и напряжений:

;(13.30)

;(13.31)

.(13.32)

Если сложить левые и правые части выражений для и, можно убедиться в том, что сумма радиального и окружного напряжений – величина постоянная:

.

Относительная деформация вырезанного из тела цилиндра кольца единичной ширины в направлении оси цилиндра, также будет постоянной:

.

Следовательно, цилиндр можно рассматривать, как составленный из отдельных колец, нанизанных на ось. Поперечные сечения цилиндра при деформации остаются плоскими.

Формулы Ламе выводились для цилиндра, у которого отсутствует днище. При наличии дниша в поперечных сечениях возникают осевые напряжения (Рис.13.16).

Рис.13.16

Допуская равномерное распределение напряжений по толщине стенки, что является вполне справедливым вдали от днища, и составляя уравнение равновесия на ось, получим:

.

Откуда

. (13.33)

Сравнивая эту формулу с уравнениями (13.31), (13.32), легко устанавливаем, что в данном случае осевой главное напряжение является средним арифметическим между окружным и радиальным напряжениями:

.

Зная осевое напряжение , определим приращение радиального перемещения:

.

При наличии днища это приращение следует добавить к радиальному перемещению, определяемому по формуле (13.30).

Рассмотрим несколько частных случае нагружения цилиндра.

13.3. Частные случаи расчета на прочность толстостенных цилиндров

1. Цилиндр нагружен только внутренним давлением, наружное давление мало или им можно пренеброечь, т.е.;.Формулы для напряжений и радиальных перемещений принимают вид:

; (13.34)

; (13.35)

; (13.36)

Обычно один из радиусов цилиндра – внутренний или наружный – бывает известен из условий, вытекающих из назначения конструкции, например, внутренний диаметр цилиндра пресса известен по условию его грузоподъемности и давлению жидкости. Поэтому выражения (13.34)-(13.36) удобно привести к такому виду, при котором искомым является отношение радиусов . Выразим с помощью этого отношения радиальные и окружные напряжения на внутренней поверхности цилиндра (при):

. (13.37)

Радиальные перемещения у внутренней поверхности (увеличение внутреннего радиуса цилиндра) будет равно:

. (13.38)

Напряжения и перемещения у наружной поверхности цилиндра будут такими:

; (13.39)

. (13.40)

Эпюры напряжений идля рассматриваемого случая при отношенииприведены на рис. 13.17,а.

Рис.13.17

Наиболее безопасной с точки зрения прочности является точка, лежащая

у внутренней поверхности цилиндра.

Определим допускаемое внутренне давление в цилиндре при безграничном увеличении толщины стенки. Полагая и принимая в формулах (13.37), получим;.

Используем третью теорию прочности и учитывая, что в рассматриваемом случае ;, получаем:

,

откуда

.

Таким образом, цилиндр даже с толщиной стенки бесконечно большой не выдерживает по прочности, если внутреннее давление превышает половину величины допускаемого напряжения, принятого для материала цилиндра. В данном случае увеличение толщины стенки не гарантирует увеличения прочности.

2. Цилиндр нагружен только внешним давлением:;. В этом случае формулы Ламе для напряжений (13.31), (13.32) и для перемещений (13.33) принимают следующий вид:

; (13.41)

; (13.42)

; (13.43)

Оба напряжения сжимающие, причем по абсолютной величине , а радиальное перемещение направлено к оси стержня (радиусы уменьшаются).

У внутренней поверхности цилиндра напряжения будут равны:

. (13.44)

Радиальное перемещение внутренней поверхности стенки цилиндра равны:

. (13.45)

У наружной поверхности цилиндра:

; (13.46)

. (13.47)

Эпюры напряжений идля рассматриваемого случая при отношенииприведены на рис. 13.17,б. Наибольшей по абсолютной величины напряжениедостигает у внутренней поверхности цилиндра. В точках внутренней поверхности возникает линейное напряженное состояние, напряжениепри,,. Так же, как и в предыдущем частном случае нагружения максимальная допускаемая величина внешнего давления не может превышать половины величины допускаемого напряжения, установленнного для материала цилиндра ().