13.2. Расчет толстостенных цилиндров

Цилиндр считается толстостенным, если толщина его стенки превосходит одну десятую среднего радиуса. При расчете тонкостенных безмоментных оболочек вводилось предположение о равномерности распределения нормальных напряжений по толщине стенки. Такое допущение мало сказывается на точности расчета.

При расчете толстостенных цилиндров такое предположение привело бы к слишком большим погрешностям. Расчет таких цилиндров был выполнен фрацузским ученым Г. Ламе и русским ученым А.В.Гадолиным в 1852-1854 г.г. Работы А.В.Гадолина в области расчета криволинейных стержней в применении к рассчету прочности артиллерийских орудий создали ему мировую известность. Результаты его исследований до сих пор используются при проектировании и изготовлении орудий.

Рассмотрим цилиндр с внутренним радиусом и внешним, испытывающий внутреннее давлениеи наружное(Рис.13.14а).

Рис.13.14

Примем несколько ограничений, упрощающих решение задачи:

1. Цилиндр имеет правильное неизменное круговое сечение и не имеет днища.

2. Нагрузка, приложенная к цилиндру, является радиальной и равномерно распределенной как по внутренней поверхности цилиндра, так и по внешней.

При сделанных ограничениях можно высказать следующие утверждения относительно характера деформации:

1. Круговая форма цилиндра сохранится.

2. Все точки поперечного сечения имеют в своей плоскости только радиальные перемещения.

3. Точки, лежавшие до деформации на одной цилиндрической поверхности, будут и после деформации находиться на одной цилиндрической поверхности.

При отсутствии продольных усилий и отсутствии днища продольные напряжения не возникают. Поэтому весь цилиндр будет находиться в том же напряженном состоянии, что и кольцо единичной толщины, вырезанное из цилиндра двумя сечениями, перпендикулярными к оси цилиндра (Рис.13.14,а). Выделим в этом кольце элемент АВСD двумя плоскостями, проходящими через ось через ось цилиндра и образующими между собой угол (Рис.13.14,б), и двумя соосными цилиндрическими поверхностями с радиусамии(Рис.13.14,б). Нормальные напряжения на плоских гранях (окружные напряжения) обозначим. Радиальные напряжения, действующие на внутренней поверхности выделенного элемента обозначим. Радиальные напряжения, действующие на внешней поверхности, на радиусеполучат приращение и будут равны.

Установим напряженное состояние, в котором находится элемент АВСD. Вследствие осевой симметрии цилиндра и нагрузок выделенный элемент перекашиваться не будет и касательные напряжения по граням элемента будут отсутствовать. По граням элемента будут действовать только растягивающие нормальные напряжения, показанные на рис.13.14,в. Учитывая это и ввиду отсутствия нормальных напряжений вдоль оси цилиндра, приходим к выводу, что элемент АВСD будет находиться в плоском напряженном состоянии. При этом окружные и радиальныенапряжения будут главными напряжениями.

Рассмотрим равновесие выделенного элемента АВСD. Вычислим силы, действующие по граням элемента, и спроектируем их на оси и. Так как все силы лежат в одной плоскости и пересекаются в одной точке, то для равновесия элемента суммы их проекций на две взаимно перпендикулярные оси должны равняться нулю. Вследствие симметрии элемента сумма проекций всех сил на осьудовлетворяется тождественно. Составим сумму проекций всех сил на ось:

.

Раскрываем скобки, получаем:

.

Вследствие малости угла принимаем. Отбрасывая член второго порядка малостии деля оставшиеся члены на, получим:

. (13.17)

В уравнении (13.17) два неизвестных напряжений и. Задача оказывается статически неопределимой. Для ее решения рассмотрим деформации элемента АВСD (Рис.13.15).

Рис.13.15

Обозначим радиальное перемещение цилиндрической поверхности радиуса через, тогда перемещение цилиндрической поверхностибудет. На величинеэлемент АВСD удлинится на . Относительное удлинение в радиальном направлении будет равно:

. (13.18)

Найдем относительное удлинение в окружном направлении. Длина элемента АВСD по окружности радиуса после его приращения на величинустанет равной. Абсолютное удлинение элемента на радиусев окружном направлении равно:

.

Относительное удлинение найдем, разделив приращение длины элемента на ее первоначальную длину:

. (13.19)

Обе относительные деформации иявляются функциями одного и того же параметра, представляющего собой радиальное перемещение цилиндрической поверхности радиуса. Появилась возможность выразить окружные и радиальные напряжения через этот единственный параметр, подставить полученные выражения в дифференциальное условие равновесия (13.17) и решить его относительнть параметра.

Для этого воспользуемся обобщенным законом Гука, выразив из него окружные и радиальные напряжения через соответствующие относительные деформации:

(13.20)

(13.21)

Подставим выражения (13.20) и (13.21) в формулу (13.17) и продифференцируем его, предварительно сократив на общий множитель :

.

Разделив на все члены последнего выражения, окончательно получим:

. (13.22)

Уравнение (13.22) – линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами (уравнение Эйлера) – имеет решение:

. (13.23)

Проверим это решение подстановкой в уравнение (13.22):

.

Подставим решение (13.23) в уравнения для напряжений (13.20), (13.21), получим:

; (13.24)

. (13.25)

Постоянные интегрирования инайдем из того условия, что на внутренней поверхностии цилиндра (при) окружные напряженияравны внутреннему давлению, т.е., а на наружной поверхности цилиндра (при) наружному давлению .

Подставляя в уравнение (13.24) величину радиального напряжения прии, получаем:

; (13.26)

. (13.27)