2.2. Дифференциальные зависимости при изгибе

Выделим из балки (Рис.2.10) отрезок бесконечно малой длины (Рис.2.11).

Рис.2.10

и рассмотрим его равновесие:

; (2.11)

. (2.12)

Рис.2.11

Из уравнения (2.11) после взаимных сокращений получим следующую дифференциальную зависимость:

. (2.13)

Из уравнения (2.12), пренебрегая величиной второго порядка малости , после взаимных сокращений получаем:

. (2.14)

Используя зависимости (2.13)(2.14), получаем еще одну дифференциальную зависимость:

. (2.15)

Приведенные дифференциальные зависимости устанавливают связь между интенсивностью распределенной нагрузки , поперечной силойи изгибающим моментоми позволяют контролировать качество построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.

2.3. Следствия из дифференциальных зависимостей

Контроль качества эпюр иосуществляется с помощью следующих следствий из дифференциальных зависимостей:

1. Если на участке балки отсутствует распределенная нагрузка, поперечная сила на этом участке будет величиной постоянной, а изгибающий момент будет меняться по линейному закону. Покажем это.

Рассмотрим дифференциальную зависимость (2.13). Перепишем ее в виде:

и проинтегрируем. Интеграл возьмем неопределенный. В результате интегрирования получим:

, (2.16)

где  постоянная интегрирования.

Из выражения (2.16) следует, что при отсутствии распределенной нагрузки () поперечная сила будет величиной постоянной.

Рассмотрим теперь дифференциальную зависимость (2.14). Перепишем ее в виде:

и проинтегрируем. В результате интегрирования получим:

. (2.17)

Подставляя в (2.16) выражение для поперечной силы (3.16) и интегрируя, получаем:

. (2.18)

Здесь  постоянная интегрирования.

Из выражения (2.18) следует, что при изгибающий момент является линейной функцией продольной координаты.

2. Если на участке балки действует распределенная нагрузка постоянной интенсивности, то поперечная сила меняется по линейному закону, а изгибающий момент меняется по закону квадратной параболы.

Для доказательства достаточно рассмотреть выражения (2.16) и (2.18) при .

3. Если в каком-либо сечении эпюра поперечной силы пересекает базисную линию (), то изгибающий момент в этом сечении достигает экстремальной величины.

Доказательство этого следствия получим из выражения (2.14). Остается только выяснить, какой экстремум возникает: максимум или минимум. Для этого рассмотрим следствие №4.

4. Выпуклость на эпюре изгибающих моментов всегда обращена в сторону, противоположную действию распределенной нагрузки.

Сформулированное следствие вытекает из анализа дифференциальной зависимости (2.15). Рассмотрим поведение эпюры изгибающих моментов для двух случаев действия распределенной нагрузки постоянной интенсивности (Рис.2.12,а,б).

Рис.2.12

Анализируя зависимость (2.15), приходим к выводу, что при отрицательной интенсивности (Рис.2.12,а) изгибающий момент в том сечении, где поперечная сила равна нулю, достигаетмаксимального значения, так как вторая производная от функции изгибающего момента в соответствии с выражением (2.15) будет отрицательной. В этом случае выпуклость на эпюре изгибающего момента будет обращена вверх, т.е. навстречу направлению распределенной нагрузки. На рис. 2.12,б интенсивность распределенной нагрузки положительна. В этом случае вторая производная от функции изгибающего момента также будет положительной в соответствии с выражением (2.15). Следовательно, изгибающий момент в том сечении, где поперечная сила равна нулю, достигаетминимального значения. Выпуклость на эпюре изгибающего момента, как и в предыдущем случае, будет обращена навстречу направлению интенсивности распределенной нагрузки.

5. Приращение функции изгибающего момента на рассматриваемом участке численно равно площади эпюры поперечных сил на этом участке с соответствующим знаком. При построении эпюры для изгибающего момента слева направо знаки приращения функции изгибающего момента и площади эпюры поперечных сил совпадают. При построении эпюры изгибающих моментов справа налево знаки приращения функции изгибающих моментов и площади эпюры поперечных сил противоположны. Покажем это.

На рис. 2.13 изображены эпюры поперечной силы (Рис.2.13,а) и изгибающих моментов (Рис.2.13,б). Воспользуемся дифференциальной зависимостью (2.14) для определения изгибающего момента в сечении В, если значение изгибающего момента в сечении А известно. Проинтегрируем выражение (2.14) в пределах длины участка :

. (2.19)

Рис.2.13

Здесь  по определению для определенного интеграла есть площадь эпюры поперечных сил на участке длиной.

Таким образом, изгибающий момент в сечении В может быть найден из выражения

. (2.20)

Знак приращения функции изгибающего момента в данном случае положительный, так как эпюра изгибающих моментов строилась слева направо и знак площади эпюры поперечных сил на всем рассматриваемом участке положительный.

Воспользуемся изложенными следствиями из дифференциальных зависимостей для контроля качества правильности построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 2.6. Какая из эпюр поперечных сил, изображенных на рис.2.14, построена правильно?

Анализируя эпюры для поперечной силы, приведенные на рис.2.14, приходим к выводу, что верной оказывается эпюра, приведенная под номером 2. При анализе правильности построения эпюры для поперечной силы следует использовать следствия о скачках, изложенные в подразделе 2.1, и следствия из дифференциальных зависимостей, изложенные в настоящем подразделе.

Начинать анализ следует либо с определения опорных реакций и проставления их на схеме балки, либо с выбора возможных направлений опорных реакций без предварительного определения их величин. Затем следует задать себе вопрос: возможен ли в сечении А скачок на величину реакции ?

Рис.2.14

Да, скачок возможен в направлении реакции на ее величину. Этому случаю соответствуют эпюры, изображенные под №1, №2, и №4. Таким образом, для дальнейшего рассмотрения следует исключить вариант №3. Далее следует обратить внимание на наличие распределнной нагрузки на первом участке. Распределенная нагрузка на первом участке отсутствует, следовательно, на основании следствия №1 из дифференциальных зависимостей поперечная сила на первом участке балки должна быть постоянной. Этому условию соответствуют все три из оставшихся вариантов. В сечении С к балке приложена сосредоточенная сила. На основании первого следствия о скачках в этом сечении должен быть скачок на величину силыв направлении ее действия. Этому случаю из оставшихся вариантов соответствуют варианты №1 и №2. Таким образом, вариант №4 отпадает. Далее исследуем поведение эпюры для поперечной силы на втором участке. На этом участке действует распределенная нагрузка интенсивности. На основании второго следствия из дифференциальных зависимостей на участке, где действует распределенная нагрузка, поперечная сила должна меняться по линейному закону. Этому случаю соответствует из оставшихся двух вариантов только вариант №2. Таким образом, из четырех возможных вариантов нами выбран вариант эпюры для поперечной силы под № 2. Проследим дальнейшее поведение эпюры поперечной силы для варианта №2. В сечении В действует опорная реакция. Поэтому на эпюре поперечных сил должен наблюдаться скачок на величину этой реакции в направлении ее действия. Такой скачок действительно наблюдается. На третьем участке балки отсутствует распределенная нагрузка. Следовательно, поперечная сила на этом участке должна быть постоянной, что и наблюдается на эпюре для поперечных сил под номером 2. И, наконец, в сеченииD на эпюре для поперечной силы должен быть скачок на величину силы , которая действует в этом сечении, в направлении действия этой силы. Действительно, такой скачок на эпюре поперечной силы в сечении D наблюдается.

Рассмотрим пример анализа правильности построения эпюры для изгибающих моментов с использованием следствий о скачках и следствий из дифференциальных зависимостей.

Пример 2.7. Какая из эпюр изгибающих моментов, изображенных на рис.3.15, построена правильно?

Рис.2.15

На рис.2.15 варианты эпюр изгибающих моментов обозначены цифрами 1, 2, 3, 4. Какой из этих вариантов правильный? Анализ начнем с определения величины изгибающего момента в сечении А. В этом сечении изгибающий момент должен быть равен нулю. Такой результат соответствует всем вариантам. На первом участке отсутствует распределенная нагрузка и в соответствии с первым следствием из дифференциальных зависимостей изгибающий момент должен на этом участке изменяться по линейной зависимости. Действительно, для всех четырех вариантов это следствие выполняется. Однако, в соответствии с пятым следствием из дифференциальных зависимостей на первом участке должен наблюдаться подъем на эпюре изгибающих моментов, так как поперечная сила на этом участке положительна. Напомним, что в соответствии с пятым следствием приращение функции изгибающего момента на участке численно равно площади эпюры поперечной силы. Знак приращения функции изгибающего момента совпадает со знаком площади эпюры поперечных сил при построении эпюры слева направо. Таким образом, с учетом этого следствия вариант эпюры для изгибающего момента под номером 1 выпадает, так как на первом участке на эпюре изгибающего момента наблюдается не подъем, а спуск. В сечении С на эрюре поперечной силы наблюдается скачок, поэтому на эпюре изгибающих моментов в этом сечении должен наблюдаться излом. Для эпюр изгибающих моментов с номерами 2 и 3 этот излом незначительный, для варианта №4 этот излом оказывается довольно большим. На втором участке действует распределенная нагрузка постоянной интенсивности. В соответствии со вторым следствием из дифференциальных зависимостей на этом участке эпюра изгибающих моментов должна меняться по закону квадратной параболы. Действительно, для всех оставшихся вариантов изгибающий момент на втором участке меняется по закону квадратной параболы, но в соответствии с четвертым следствием из дифференциальных зависимостей на этом участке выпуклость на эпюре изгибающих моментов должна быть обращена навстречу интенсивности распределенной нагрузки. Это явление мы наблюдаем на эпюрах под номерами 2 и 3. На эпюре изгибающих моментов под номером 4 выпуклость обращена в ту же сторону, что и интенсивность распределенной нагрузки. Поэтому вариант эпюры изгибающих моментов под номером 4 неверен. Таким образом, остаются варианты под номерами 2 и 3. Какой из этих вариантов верен? Обратимся к сечению С. В этом сечении действует сосредоточенная пара сил с моментом . В соответствии со вторым следствием о скачках в этом сечении должен наблюдаться скачок на эпюре изгибающих моментов на величину внешнего момента. На эпюре с номером 3 такой скачок есть. На эпюре изгибающих моментов с номером 2 скачок отсутствует. На основании изложенного делаем вывод, что вариант эпюры изгибающих моментов с номером 2 неверен. Правильным оказался вариант с номером 3. Проследим, как ведет себя эпюра для изгибающего момента на третьем участке балки. Поперечная сила на этом участке положительна, а это означает, что на эпюре изгибающих моментов на этом участке должен наблюдаться подъем, что мы и видим на эпюре под номером 3.

В приведенных примерах проиллюстрирована возможность анализа правильности построения эпюр поперечных сил и изгибающих моментов. Использование следствий о скачках и следствий из дифференциальных зависимостей между интенсивность распределенной нагрузки, поперечной силой и изгибающим моментом позволяет строить “качественные” (без расчета) эпюры и. В некоторых случаях быстрое“качественное” построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов позволяет инженеру экономить время и дает возможность прочуствовать конструкцию, выделить опасные сечения и принять соответствующее решение.