8.3. Розрахунок балок на міцність. Умова міцності при згинанняі

Формула (8.13) вирішує питання про величину і розподіл нормальних напружень в перерізі. Вона виведена у припущенні наявності чистого згинання, коли перерізи залишаються плоскими.

Дослідження показали, що коли поперечна сила не дорівнює нулю, перерізи не тільки обертаються, але і трохи викривляються під впливом дотичних напружень. Однак це викривлення для двох суміжних перерізів таке, що воно не змінює встановленого вище закону розподілу деформації волокон, що знаходяться між цими перерізами. Тому формула (8.13) може бути застосована й у тому випадку, коли поперечна силане дорівнює нулю.

Для перевірки міцності балки за нормальними напруженнями необхідно знайти найбільші напружені на розтягання і стискання в перерізі. Для цього необхідно застосувати формулу (8.13) до небезпечного перерізу, тобто підставити в неї замість згинального моменту його найбільше значення , яке назвеморозрахунковим згинальним моментом, а замість підставити відстань від нейтральної лінії перерізу до найбільш віддалених від неї точок. Тоді для найбільшого нормального напруження одержуємо формулу

. (8.14)

Зазвичай цю формулу перетворюють, поділяючи чисельник і знаменник на :

.

Величина називається осьовим моментом опору перерізу і позначається буквою. Вимірюється осьовий момент опору одиницями довжини в третьому ступені, наприклад, (см)³. Фізичний зміст моменту опору полягає в наступному: чим більший , тим більший згинальний момент може прийняти на себе балка, без руйнування. Таким чином, величина моменту опору характеризуєвплив форми і розмірів поперечного перерізу балки на її здатність чинити опір зовнішнім навантаженням, не руйнуючись.

Максимальні напруження, що діють у балці, можуть бути знайдені з виразу:

. (8.15)

При симетричному перерізі відносно нейтральної лінії, наприклад прямокутному, відстані до крайніх розтягнутих і стиснутих волокон однакові і такий переріз має одне цілком визначене значення моменту опору відносно осі . Так, при висоті прямокутника (Рис.8.7), рівній:

і .

Рис. 8.7

Якщо переріз несиметричний відносно нейтральної лінії, наприклад, тавр, ми одержимо два моменти опору: один для волокон А (Рис.8.7,б): і інший для волокон В:. Тепер у формулу (8.15) варто вводити: при обчисленні напружень у точці А и  при обчисленні напружень у точці В.

Запишемо умову міцності при згинанні. Ця умова виражає ту думку, що найбільше напруження, яке діє у балці, повинне бути не більше допустимого:

. (8.16)

Умова міцності (8.16) вирішує три задачі:

1. Задача перевірочного розрахунку, який полягає в обчисленні максимальних напружень у балці, що згинається, і порівнянні цих напружень з допустимим. Якщо діючі напруження не перевищують допустимої величини, вважається, що міцність не порушена і конструкцію можна експлуатувати далі.

2. Задача підбору величини допустимого навантаження. В результаті вирішення цієї задачі визначається допустиме навантаження для розрахункового згинального моменту, а потім знаходяться значення самих допустимих зовнішніх навантажень, функцією яких є розрахунковий згинальний момент:

. (8.17)

3. Задача проектувального розрахунку, що полягає у визначенні розмірів поперечного перерізу балки при відомому розрахунковому згинальному моменті і відомому допустимому напруженні:

, (8.18)

де  потрібний момент опору.

При розрахунку балок на міцність слід розрізняти два випадки. Перший випадок, який найчастіше зустрічається при згинанні, коли матеріал однаково чинить опір розтяганню і стисканню; у цьому випадку допустимі напруження для того та іншого виду деформації рівні між собою:

.

Тоді при симетричному перерізі не має значення, чи перевіряти міцність розтягнутих або стиснутих волокон, тому що для тих та інших момент опору і найбільші напруження будуть мати однакову величину. При несиметричному перерізі у формулу (8.16) замістьтреба підставити менше значення зі; воно буде відноситися до найбільш віддаленого волокна.

Другий випадок має місце, коли матеріал балки неоднаково чинить опір розтяганню і стисканню; тоді замість одного рівняння міцності ми одержуємо два: одне  для розтягнутих, інше – для стиснутих волокон:

; . (8.19)

В залежності від того, яке допустиме напруження для матеріалу є більшим  або, доводиться відповідним чином конструювати переріз, вибираючи його форму і розміри так, щобізадовольняли умові міцності.

Розглянемо кілька прикладів обчислення моментів опору поперечних перерізів та розрахунку балок на міцність.

Приклад 8.2. У якої з фігур (Рис.8.8), що мають однакову площу, момент опору відносно осі , буде найбільший? Визначити найбільший момент опору.

Рис.8.8

Розв’язок:

У прикладі (5.8) “Тема №5” були знайдені моменти інерції для кожного з перерізів, зображених на рис.8.8, відносно центральної осі .

Рис.8.8

Знайдемо моменти опору:

 для перерізу круглої форми:

см³;

 для перерізу квадратної форми:

см³;

 для перерізу прямокутної форми:

см³;

 для перерізу трикутної форми:

см³.

Отже, найбільший момент опору виявився у переріза прямокутної форми: см³.

Приклад 8.3.На рисунку зображені поперечні перерізи 4-х балок (Рис.8.9), виготовлених з однакового матеріалу. Яка з балок є найбільш міцною?

Розв’язок:

Найбільш міцною буде балка, у якої момент опору відносно осі буде найбільший. Обчислимо моменти опорудля кожного з перерізів.

Рис.8.9

Квадратний переріз:

см³.

Прямокутний переріз:

см³.

Круглий переріз:

см³.

Переріз у вигляді ромбу. Розглянутий переріз був отриманий шляхом повороту горизонтальної осі квадратного перерізу на 45⁰. В результаті момент інерції перерізу відносно осі не змінився і може бути обчислений як для квадратного перерізу:

см⁴.

Осьовий момент опору знайдемо, розділивши момент інерції на :

см³.

Таким чином, найбільший момент опору виявився у круглого поперечного перерізу: см³. Отже, балка з круглим поперечним перерізом має найбільшу міцність.

Приклад 8.4.Як зміниться міцність балки, якщо поперечний переріз буде переведено з положення “I” у положення “II” (Рис.8.10)?

Рис.8.10

Розв’язок:

1. Обчислимо осьовий момент опору для положення перерізу I :

см³.

2. Обчислимо осьовий момент опору для положення перерізу II:

см³.

3. Знайдемо відношення осьових моментів опору для положень перерізу I і II:

.

Таким чином, при переведенні перерізу з положення “I” у положення “II” міцність балки зменшується в 3 рази.