5.3. Моменти інерції простих фігур

Як відзначалося вище, до числа простих плоских фігур відносяться три фігури: прямокутник, трикутник і круг. Простими ці фігури вважаються тому, що положення центра ваги цих фігур заздалегідь є відомим. Всі інші фігури можуть бути складені з цих простих фігур і вважаються складними. Обчислимо осьові моменти інерції простих фігур відносно їх центральних осей.

1. Прямокутник. Розглянемо переріз прямокутного профілю розмірами (Рис.5.6). Виділимо елементарну площадку у вигляді смужки двома нескінченно близько розташованими перерізами на відстанівід центральної осі.

Рис.5.6

Обчислимо момент інерції прямокутного перерізу відносно осі :

. (5.10)

Момент інерції прямокутного перерізу відносно осі знайдемо аналогічно без виведення:

. (5.11)

Відцентровий момент інерції відносно осей ідорівнює нулю, тому що осііє осями симетрії, а, отже, головними осями.

2. Трикутник. Розглянемо переріз трикутного профілю з розмірами (Рис.5.7). Виділимо елементарну площадку у вигляді смужки двома нескінченно близько розташованими перерізами на відстанівід центральної осі. Центр ваги трикутника знаходиться на відстанівід основи. Вісь вісь симетрії трикутника.

Рис.5.7

Обчислимо момент інерції перерізу відносно осі :

. (5.12)

Величину визначимо з подоби трикутників:

; звідки .

Підставляючи вираз для в (5.12) та інтегруючи, одержимо:

. (5.13)

Момент інерції для трикутника відносно осі знаходиться аналогічним чином і дорівнює:

. (5.14)

Відцентровий момент інерції відносно осей ідорівнює нулю, тому що вісьє віссю симетрії перерізу.

3. Круг. Розглянемо переріз кругового профілю діаметром (Рис.5.8). Виділимо елемент перерізу двома нескінченно близько розташованими концентричними колами на відстанівід центра ваги круга.

Рис.5.8

Обчислимо полярний момент інерції круга, скориставшись виразом (5.5):

. (5.15)

Використовуючи умову (5.6), згідно до якої сума осьових моментів інерції відносно двох взаємно перпендикулярних осей є величиною сталою і дорівнює полярному моменту інерції:

, (5.16)

і з огляду на те, що для круга завдяки симетрії , визначаємо величину осьових моментів інерції:

. (5.17)

Відцентровий момент інерції відносно осей ідорівнює нулю, тому що осііє осями симетрії перерізу.

5.4. Залежності між моментами інерції відносно паралельних осей

При обчисленні моментів інерції для складних фігур варто запам'ятати одне правило: значення для моментів інерції можна складати, якщо вони обчислені відносно однієї і тієї самої осі. Для складних фігур найчастіше центри ваги окремих простих фігур і усієї фігури не збігаються. Не збігаються, відповідно, і центральні вісі для окремих простих фігур і усієї фігури. У зв'язку з цим існують прийоми зведення моментів інерції до однієї осі, наприклад, центральної осі усієї фігури. Це може бути пов'язане з паралельним перенесенням осей інерції і додаткових обчислень.

Розглянемо визначення моментів інерції відносно паралельних осей інерції, зображених на рис.5.9.

Рис.5.9

Припустимо, що осьові і відцентрові моменти інерції зображеної на рис.5.9. фігури відносно довільно обраних осей із початком координат у точцівідомі. Потрібно обчислити осьові і відцентровий моменти інерції фігури відносно довільних паралельних осейіз початком координат у точці. Вісііпроведені на відстаняхівідповідно від осейі.

Скористаємося виразами для осьових моментів інерції (5.4) і для відцентрового моменту інерції (5.7). Підставимо в ці вирази замість поточних координат іелемента з нескінченно малою площею координатитау новій системі координат. Одержимо:

; (5.18)

; (5.19)

.

(5.20)

Аналізуючи отримані вирази, дістаємо висновку, що при обчисленні моментів інерції відносно паралельних осей до моментів інерції, обчислених відносно вихідних осей інерції, треба додавати члени, величина яких може виявитися набагато більшою, ніж значення для моментів інерції відносно вихідних осей. Тому нехтувати цими додатковими членами ні в якому разі не можна.

Розглянутий випадок являє собою самий загальний випадок паралельного перенесення осей, коли в якості вихідних були узяті довільні вісі інерції. У більшості розрахунків зустрічаються окремі випадки перенесення осей координат.

Перший окремий випадок. Вихідні вісі є центральними осями інерції фігури. Тоді, використовуючи основну властивість для статичного моменту площі, можна виключити з рівнянь (5.18)(5.20) члени, в які входить статичний момент площі фігури. В результаті одержимо:

; (5.21)

; (5.22)

, (5.23)

де осі і центральні вісі інерції.

Другий окремий випадок. Вихідні вісі є головними осями інерції. Тоді, з огляду на те, що відносно головних осей інерції відцентровий момент інерції дорівнює нулю, одержимо:

; (5.24)

; (5.25)

, (5.26)

де осі і головні вісі інерції.

Скористаємося отриманими виразами і розглянемо кілька прикладів обчислення моментів інерції для плоских фігур.

Приклад 5.2. Визначити осьові моменти інерції фігури, наведеної на рис. 5.10, відносно центральних осей і.

Рис.5.10

Розв’язок:

У попередньому прикладі 5.1 для зображеної на рис.5.10 фігури було визначене положення центра ваги С. Координата центра ваги відкладалася від осі і склаласм. Обчислимо відстанііміж осямитаі осямиі. Ці відстані склали відповідносм ісм. Зважаючи тому, що вихідні осііє центральними осями для простих фігур у вигляді прямокутників, для визначення моменту інерції фігури відносно осіскористаємося висновками для першого окремого випадку, зокрема, формулою (5.21).

см⁴.

Момент інерції відносно осі одержимо шляхом простого додавання моментів інерції простих фігур відносно цієї ж осі, тому що вісьє загальною центральною віссю для простих фігур і для усієї фігури:

см⁴.

Відцентровий момент інерції відносно осей ідорівнює нулю, тому що вісь інерціїє головною віссю (віссю симетрії фігури).

Приклад 5.3. Чому дорівнює розмір b (у см) фігури, зображеної на рис. 5.11, якщо момент інерції фігури відносно осі дорівнює 1000 см⁴?

Рис.5.11

Розв’язок:

Виразимо момент інерції відносно осі через невідомий розмір перерізу, скориставшись формулою (5.21), з огляду на те, що відстань між осямиідорівнює 7см:

см⁴. (а)

Розв’язуючи вираз (а) відносно розміру перерізу , одержимо:

см.

Приклад 5.4. Яка з фігур, зображених на рис.5.12, має більший момент інерції відносно осі , якщо обидві фігури мають однакову площусм²?

Рис.5.12

Розв’язок:

1. Виразимо площі фігур через їх розміри і визначимо:

а) діаметр для круглого перерізу:

см^2; ; звідки см;

б) розмір сторони квадрата:

; звідки см.

2. Обчислюємо момент інерції для круглого перерізу:

см⁴.

3. Обчислюємо момент інерції для перерізу квадратної форми:

см⁴.

Порівнюючи отримані результати, робимо висновок, що найбільший момент інерції має переріз квадратної форми.

Приклад 5.5. Визначити полярний момент інерції (у см⁴) перерізу прямокутної форми відносно його центра ваги, якщо ширина перерізу см, висота перерізусм.

Розв’язок:

1. Знайдемо моменти інерції перерізу відносно горизонтальної і вертикальноїцентральних осей інерції:

см⁴; см⁴.

2. Визначаємо полярний момент інерції перерізу як суму осьових моментів інерції:

см⁴.

Приклад 5.6. Визначити момент інерції фігури трикутної форми зображеної на рис.5.13, відносно центральної осі , якщо момент інерції фігури відносно осідорівнює 2400 см⁴.

Рис.5.13

Розв’язок:

Момент інерції перерізу трикутної форми відносно головної осі інерції буде менший у порівнянні з моментом інерції відносно осіна величину. Тому присм момент інерції перерізу відносно осізнайдемо таким чином:

см⁴.