5.5. Залежності між моментами інерції при повороті осей. Головні осі і головні моменти інерції. Радіус інерції перерізу

Обчислимо моменти інерції фігури довільної форми відносно осей, що були повернені по відношенню до заданих осей іна кут(Рис.5.14)

Рис.5.14

Припустимо, що моменти інерції відносно осей івідомі. Виберемо довільну площадкуі виразимо її координати в системі осейічерез координати у вихідних осяхі:

, . (5.27)

Знайдемо осьові і відцентровий моменти інерції фігури відносно повернених осей і:

. (5.28)

Беручи до уваги, що:

; і,

одержимо:

. (5.28)

Момент інерції відносно осі дорівнює:

. (5.29)

Відцентровий момент інерції набуває вигляду:

,

або після перетворень:

. (5.30)

Виразимо осьові моменти через синус і косинус подвійного кута. Для цього введемо наступні функції:

. (5.31)

Підставляючи (5.31) у формули (5.27) і (5.28), одержимо:

; (5.32)

. (5.33)

Якщо скласти вирази для осьових моментів інерції (5.32) і (5.33), то одержимо наступне:

сonst. (5.34)

Умова (5.34) є умовою інваріантості суми осьових моментів інерції відносно двох взаємоперпендикулярних осей, тобто сума осьових моментів інерції відносно двох взаємоперпендикулярних осей не залежить від величини кута повороту осей і є величиною сталою.

Дослідимо рівняння для моменту інерції на екстремум і знайдемо таке значення кута, при якому момент інерції досягне екстремальної величини. Для цього візьмемо першу похідну від моменту інерціїза кутом(5.32) і результат прирівняємо нулю. При цьому покладемо.

. (5.35)

Вираз у дужках являє собою відцентровий момент інерції відносно осей, нахилених до осі під кутом. Відносно цих осей відцентровий момент інерції дорівнює нулю:

, (5.36)

а це означає що нові осі є головними осями інерції.

Раніше було визначено, що головними осями інерції є осі, відносно яких відцентровий момент інерції дорівнює нулю. Зараз це визначення можна розширити – це осі, відносно яких осьові моменти інерції мають екстремальні значення. Моменти інерції відносно цих осей називаються головними моментами інерції.

Знайдемо положення головних осей інерції. З виразу (5.36) можна одержати:

. (5.37)

Отримана формула дає для кута два значення:і.

Отже, існують дві взаємно перпендикулярні осі, відносно яких моменти інерції мають екстремальні значення. Як уже відзначалося вище, такі осі називаються головними осями інерції. Залишається встановити, відносно якої з осей момент інерції сягає максимального значення, а відносно якої – мінімального. Вирішити цю задачу можна шляхом дослідження другої похідної від виразу (5.32) за кутом . Підставивши у вираз для другої похідній значення кутаабоі досліджуючи знак другої похідної, можна зробити висновок про те, який з кутів відповідає максимальному моментові інерції, який – мінімальному. Нижче будуть наведені формули для кутів повороту, які однозначно визначають положення головних осей інерції.

Знайдемо екстремальні значення для моментів інерції. Для цього перетворимо вираз (5.32) , виносячи за дужку :

. (5.38)

Використаємо відому з тригонометрії функцію і підставимо в неї вираз (5.37), одержимо:

. (5.39)

Підставляючи у формулу (5.38) вираз (5.39) і роблячи необхідні обчислення, одержуємо два вирази для екстремальних моментів інерції, що не містять у собі кут нахилу осей :

; (5.40)

. (5.41)

З формул (5.40) і (5.41) видно, що величини головних моментів інерції визначаються безпосередньо через моменти інерції відносно осей і. Тому їх можна визначати, не знаючи положення самих головних осей.

Знаючи екстремальні значення моментів інерції і, можна визначати положення головних осей інерції іншим способом, не звертаючись до формули (5.37) .

Наведемо без висновку формули, що дозволяють знаходити кути іміж віссюі головними осями інерції:

; . (5.42)

Кут визначає положення осі, відносно якої момент інерції сягає максимальної величини (), кутвизначає положення осі, відносно якої момент інерції сягає мінімальної величини (). Якщо кут виявився додатним, його слід відкладати від додатного напрямку осіпроти годинникової стрілки, якщо кут від’ємний, його відкладають від додатного напрямку осі за годинниковою стрілкою.

Введемо геометричну характеристику, що називається радіусом інерції перерізу. Позначається ця характеристика буквою і може бути обчислена відносно осейітаким чином:

; . (5.43)

Радіус інерції знаходить широке застосування в задачах опору матеріалів і його застосування буде розглянуте в наступних розділах курсу.

Розглянемо кілька прикладів розрахунків конструкцій з урахуванням повороту осей і з використання радіуса інерції перерізу.

Приклад 5.7. Моменти інерції перерізу прямокутної форми відносно головних осей дорівнюють відповідно см⁴, см⁴. При повороті на 45⁰ моменти інерції відносно нових осей виявилися однаковими. Чому дорівнює їх величина?

Розв’язок:

Для вирішення задачі скористаємося виразом (5.28) з урахуванням того, що відцентровий момент інерції відносно головних осей дорівнює нулю:

(а)

Підставимо у формулу (а) чисельні значення для моментів інерції і кута повороту осей:

см⁴.

Приклад 5.8. У якої з фігур (Рис.5.15), що мають однакову площу, радіус інерції відносно осі , буде найбільшим? Визначити найбільший радіус інерції перерізу відносно осі .

Рис.5.15

Розв’язок:

1. Знайдемо площу кожної з фігур і розміри перерізів. Площа фігур дорівнює для третьої фігури см².

Діаметр першого перерізу знайдемо з виразу:

см.

Розмір сторони квадрата:

см.

Основа трикутника:

см.

2. Знаходимо моменти і радіуси інерції кожного з перерізів відносно центральної осі .

Для перерізу круглої форми:

см⁴; см.

Для перерізу квадратної форми:

см⁴; см.

Для перерізу прямокутної форми:

см⁴; см.

Для перерізу трикутної форми:

см⁴; см.

Найбільший радіус інерції виявився у переріза прямокутної форми і дорівнює він .

Приклад 5.9. Знайти моменти і радіуси інерції фігури (Рис.5.16) відносно головних осей інерції. Визначити напрямки головних осей інерції.

Рис.5.16

Розв’язок:

1. Визначимо координати центра ваги фігури. Для цього розіб’ємо фігуру на два прямокутники, знайдемо для кожного з прямокутників положення центрів ваги і позначимо їх відповідно через і(Рис.5.16). Через кожний з центрів ваги проведемо центральні для кожного прямокутника осі , , та . Для подальших розрахунків початок координат розміщуємо у точці , обчислюємо відстанісм між осями і та см між осями і і визначаємо координати центра ваги фігури за допомогою формул:

см;

см.

Зазначимо, що статичні моменти прямокутника №2 відносно осей ідорівнюють нулю, тому що ці осі проходять через центр ваги другої фігури. При цьому координатиі.

Відкладаємо у масштабі знайдені координати і знаходимо центр ваги всієї фігури . Проводимо через цю точку осі, які позначаємо літерамита(Рис.5.16).

2. Визначимо осьові та відцентровий моменти інерції фігури (Рис.5.17).

Рис.5.17

Початок координат переміщаємо у точку . Визначаємо у новій системі координат відстані між центральною віссюі осями та відповідно см ісм. Відстані між центральною віссюі осямитавідповідно дорівнюютьсм ісм. Обчислюємо момент інерції фігури відносно осі:

см⁴;

см⁴.

Відцентровий момент інерції всієї фігури знайдемо, скориставшись формулою :

см⁴.

У наведеній вище формулі відцентрові моменти інерції татому що осіідля першого прямокутника і осіідля другого прямокутника відповідно є головними осями інерції.

3. Знаходимо моменти інерції фігури (Рис.5.17) відносно головних осей інерції. Для цього скористаємося рівняннями:

см⁴;

см⁴.

Виконаємо перевірку отриманого розв’язку. Для цього скористаємося умовою інваріантності суми моментів інерції відносно двох взаємно перпендикулярних осей :

;

см⁴;

см⁴.

Отримані суми моментів інерції виявилися однаковими. Це свідчить про те, що розв’язок задачі виконується правильно.

4. Визначаємо напрямки головних осей інерції. Скористаємося виразами:

; ;

; .

Виконаємо перевірку отриманого розв’язку. Для цього складемо модулі отриманих кутів:

.

Перевірка показує, що головні осі інерції є взаємно перпендикулярними.

Відкладаємо напрямки головних осей і будуємо головні осі інерції фігури (Рис.5.18).

Кут додатний, тому відкладаємо його від осіпроти годинникової стрілки до осі найбільшої жорсткості. Кутвід’ємний, відкладаємо його від осі за годинниковою стрілкою до осі найменшої жорсткості.

Рис.5.18

5. Визначаємо радіуси інерції фігури відносно головних осей інерції. Скористаємося виразами:

см;

см.