Оулы 1-5

8. e7x 3dx														1				e7x 3d 7x 3																																									1							e7x 3 C .
										dx		7																		d 4x																													7																						4x																																		4x
9.																	1																																				1							1						arctg																			C																1				arctg																C.
			16x2 9														4									4x 2 32
																																																		4 3																																	3									12																						3
10.										dx											1																				d 2x																															1			arcsin														2				x				C .
																																											2 2x
										5 4x2							2																																																						2																					5
																																									5
										dx							1																								dx																		1															1																x 2																									1						ln									x 2
11.																																																																															ln							5																C																											5		C.
							5x2 4										5																			5				x 2 22																			5 4																												5x 2																											4 5															5x 2
																																													1 d ln 5x 6																																																3
													dx																																																																									1												ln2 5x 6
12.																																																																																																																						C
					5x 6 3 ln 5x 6																																								5							3 ln							5x 6																											5																				2
	3																																																																																																				3
					3																			C .
									ln2 5x 6
10										cos3x																							d sin3x
																								1																																						1																																								2															C.
13.													dx																																							dx																					sin3x															C
																																																																																																												sin3x
																																																																													1																								3
										sin3x														3													sin3x																						3
						arctg32x																																																																	2																							arctg42x																													arctg42x
14.																dx													1				arctg32xd arctg2x																																																						1																										C																		C.
								1 4x2																				2																																																										2															4																										8
			e3x2 7xdx																				3x2 7 t																															1																									1																					1			e3x2 7 C.
15.																						6xdx dt																																			etdt																									et				C
																																								1										6																					6																					6
																							xdx																			dt
																																							6
																																				u x 5
16.			x 5 sin2xdx																																	dv sin2xdx																																								1					x 5 cos2x																														1			cos2xdx
																																				du dx
																																														1																									2																														2
																																				v														cos2x
																																													2
			1					x 5 cos2x																								1				sin2x C.
			2																											4
																												u arccos7x
																												dv dx																																																																																						xdx
17.			arccos7xdx																									du																							7dx																				xarccos7x 7
																																																																																																													1 49x													2
																																															1 49x2
																												v x

180

	1		d 1 49x2					1
xarccos7x							xarccos7x		1 49x		2	C.
	7							7
			1 49x2

7.28 №10 өздік жұмыс тапсырмалары

Анықталмаған интегралды есепте.

№1

		2x2 3																				x		1																	3 x 4x2 5
1.1																														dx;								1.2																																							dx;
														2x																																					2x2
			4				x					2x 5																											2x					3																					4
1. 4																											dx;											1.5																						x												dx;
														x2
																																																								x
		2x3																x5 1																							3x			2 5																					2
																																																												x
1.7																													dx ;									1.8																																			dx;
																																																					x
																	x
			6
									x			5			5x									2		3																																								1
1.10																																	dx				;	1.11 x												x																										1 dx;
																	x
																																																																			x				3
			3
									x			2				2x								5																				3
																										3																						x
																																																								2x												3
1.13																																	dx ;
																		x																				1.14									x																								4 dx;
																												4														2x3																							x5 5
1.16			2x3													3 x5																					dx;	1.17																																								dx;
																																			x																									x2
				3x4 3 x2 1																																					5																								2
																																																		2
1.19																																dx					;	1.20									x																								4 dx;
																	x2																																																x3
								5				2x3 4																																																3x2
									x
1.22																															dx;							1.23									x																								2 dx;
																x		2
																																																																	x	3
			7																																						3
												6												2
									x						2x											3																					x															2
1.25																	x															dx					;	1.26							x																				3			1 dx;
																																																													x
		3
										x			2							7																								5x						2
1.28																										5 dx;												1.29																												x5										2 dx;
										x										3
																																																x
																						x
																																																									№ 2
																																																																										dx;
2.1 3																																						2.2 3														1 x 2
					1 xdx;

																					2 3
	2							x x
	1.3																														dx;
										3
																	x
																			4
														2									x
				3			x
	1.6																		x									3 dx;
		2x3																				4
	1.9																	x												dx;
										x2
																	6
																							x
	1.12							2
				x																	x							3 dx;
								x3 3x4																					2
	1.15																																		dx;
																			x
					3x2
																							x3						7
	1.18																																			dx;
																		x			3
											2x3 6
	1.21							x																									dx;
																			x
							5														4
	1.24							x																			2					dx;
																			x5
							2x			2											5
	1.27								x														x				6					dx;
							6x3																					4
	1.30																							x										dx.
																	3
																						x

2.3		dx
				;
		1 x

181

2.4		dx
				;
		1 x 3

2.7 1 4x 5dx;

2.10 5 4xdx;

2.1353 2xdx ;

2.1631 3xdx;

dx

	2.19								;
				3
							3 x
	2.22						dx							;
				3
						5x 2 2
	2.25			6								dx;
				(5x 7)4
	2.28			5							dx ;
					4 3x

					dx
3.1						;
		3x 9
					dx
3.4							;
		2 3x
					dx
3.7							;
		2x 3
					dx
3.10								;
				3x 5
					dx
3.13									;
					4x 7
					dx
3.16										;
					4x 9

dx

3.19 5x 6 ;

dx

2.532 x ;

2.81 3x 4 dx;

dx

2.11 35 3x ;

dx

2.1432 5x ;

2.1751 3xdx;

dx

2.202 x 3 ;

2.237 6x 5dx;

2.2658x 3dx;

7

2.29 3 2x 8dx;

№3

2.61 4x 7 dx;

2.91 3xdx;

dx

2.12 3 1 4x 5 ;

dx

2.15 3 3 4x 2 ; dx

2.18 3 x 5 ;

2.2153x 7dx;

2.2439x 5dx;

2.2735 7xdx;

dx

2.30 53 7x .

dx

3.3

dx

3.2

;

;

2 3x

1 4x

dx

3.6

dx

3.5

;

;

2 5x

3x 2

dx

3.9

dx

3.8

;

;

3x 4

4 3x

3.11

dx

3.12

dx

;

;

5x 9

6 5x

3.14

dx

3.15

dx

;

;

2 7x

5 2x

3.17

dx

3.18

dx

;

;

2x 3

7x 1

3.20

dx

3.21

dx

;

;

5 6x

2 9x

182

dx

3. 23

dx

3.24

dx

3.22

;

;

;

3 8x

2 7x

3 x

dx

3.26

dx

3. 27

dx

3.25

;

;

;

4x 9

5x 2

3x 5

dx

3.29

dx

3.30

dx

3.28

;

;

.

7 4x

6x 7

2 9x

№4

41 sin(3 2x)dx;

4.2 sin(5 3x)dx;

4.3 cos(2 3x)dx;

4.4 cos(3 2x)dx;

4.5 sin(4 5x)dx;

4.6 sin(7 3x)dx;

4.7 cos(5x 3)dx;

4.8 cos 7x 3dx;

4.9 cos 8x 5 dx;

4.10

cos 2 7x dx;

4.11 cos 9x 5dx;

4.12 cos 3 8x dx;

4.13

sin(5 3x)dx;

4.14 sin(2 9x)dx;

4.15 sin(5 7x)dx;

4.16

sin(9 5x)dx;

4.17 sin 6x 5 dx;

4.18 sin 5x 8 dx;

4.19

sin 7x 5 dx;

4.20 cos 9 4x dx;

4.21 sin 4 11x dx;

4.22

sin 6 5x dx;

4.23 sin 7 12x dx;

4.24 cos 8 5x dx;

4.25

cos 2 7x dx;

4.26 cos 7 4x dx ;

4.27 cos 3 13x dx;

4.28

cos 9x 7 dx;

4.29 sin 7x 9dx;

4.30 sin 5x 8dx.

№5

dx

5.1

3

5.2

dx

5.3

dx

;

;

;

9x2 3

9x2

3

9x2 3

5.4

9dx

;

5.5

dx

;

5.6

dx

;

7x2

4

9x2 3

3 9x2

5.7

3dx

5.8

dx

5.9

dx

;

;

;

5x2 3

5x2

3

7x2 4

5.10

dx

;

5.11

dx

;

5.12

dx

;

3 5x2

5x2 3

4 7x2

dx

dx

dx

5.13

5

;

5.14

;

5.15

;

3 4x2

2x2 9

2x2

7

dx

dx

dx

5.17

5.18

2

5.16

;

;

;

3x2 2

3x2 2

7 2x2

dx

dx

dx

5.19

14

;

5.20

;

5.21

;

2x2 7

8x2 9

3x2 2

183

					dx
5.22							;
				4x2 3
5.25					dx					;
					9 8x2
5.28					dx			;
				4x2 7

6.1 e2x 7dx;

6.4 e2x 1dx ;

6.7 e5x 7dx;

6.10 e10x 2dx;

6.13 e4x 5dx ;

6.16 e4 3xdx;

6.19 e2 5xdx ;

6.22 e2 6xdx;

6.25 e4 5xdx ;

6.28 e2x 3dx;

7.1

dx

;

2x 13 ln

2 2x 1

7.4

dx

;

1 x ln3 1 x

3

7.7

ln 3x 1

dx;

3x 1

5

7.10

ln2 x 1

dx;

x 1

7.13

ln3 x 1

dx;

x 1

5.23			dx					;
			4x2 3
5.26			dx
					;
		4x2 3
5.29			2dx
				;
		4 3x2
			№6

6.2 e3 5xdx;

6.5e7x 2dx;

6.8e7 2xdx;

6.11e2x 10dx;

6.14e6x 1dx;

6.17 e3 5xdx;

6.20e6x 4dx;

6.23e2 4xdx;

6.26	e5 xdx;
6.29	e8x 1dx;
	№7
	3
7.2		ln2 1 x		dx;
		x 1

7.5ln3 1 x dx ;

x1

dx

7.8 x 1 ln2 x 1 ;

	ln5 x 1
7.11		dx;
	x 1

dx

7.14 x 15ln x 1 ;

5.24			dx			;
			3 4x2
5.27			dx	;
		8x2 9

2dx

5.304x2 3 .

6.3e2 3xdx;

6.6e5x 7dx ;

6.9e3 4xdx;

6.12e4x 3dx ;

6.15e5 2xdx ;

6.18e1 4xdx;

6.21e8x 1dx;

6.24e3 6xdx;

6.27 e7 3xdx ;

6.30e4 7xdx.

dx

7.3 1 x 3ln2 1 x ;

		ln 2x 1
7.6			dx;
		2x 1

dx

7.9 x 13ln x 1 ;

		7 ln2 x 1
7.12					dx;
			x 1
7.15			ln7 x 1			dx;
			x 1

184

dx

ln4 3x 1

7.16

;

7.17

dx;

x 2 ln x 2

3x 1

dx

ln3 x 5

7.19

;

7.20

dx;

x 5 ln

3 x 5

x 5

dx

ln5 x 7

7.22

;

7.23

dx;

x 3 ln

4 x 3

x 7

4x 3

ln5 x 8

7.25

dx;

7.26

dx;

x 8

2x2 x 5

3x2 20x 9

ln6 x 9

7.28

x2

4x 3 x 5

dx;

7.29

dx;

x 9

№8

8.1 sin4 2xcos2xdx ;

8.2

cos2x

dx;

3

sin x

sin

2x

8.4

dx;

8.5

cosx

dx;

3 cosx

sinx 2

8.7

sin x

dx,

8.8

cosx

dx;

cosx 3

3 sin x 4

sin4x

tg3x

8.10

dx;

8.11

dx;

cos2

3 cos2 4x

x

tg

47x

ctg56x

8.13

dx;

8.14

dx;

sin2

cos2 7x

6x

dx

arctg63x

8.16

;

8.17

dx

;

cos2 4x

1 9x2

tg4x

arccos2 3x

3

arcctg2x

8.19

dx

;

8.20

dx

;

1 x2

1 9x2

arccos4x

dx

arctg43x

8.22

;

8.23

dx;

1 9x2

1 16x

2

8.25

dx

8.26

dx

1 x2 arctg3x

;

;

arcsin4 x

1 x2

dx

arcsin5 4x

8.28

;

8.29

dx

;

1 4x2 arccos4 2x

1 16x2

3 ln4 x 5

7.18

dx;

x 5

3

7.21

ln x 4

dx;

x 4

7.24

ln3 x 3

dx;

x 3

7.27

ln3 x 6

dx;

x 6

7.30 ln 3x 5 dx.

3x 5

8.3 sin43x dx; cos 3x

cosx

8.6 3 sinx dx;

8.9 3cos2xsin 2xdx;

dx

8.12 sin2 xctg4x ;

dx

8.15 sin2 3xctg53x ;

8.18 3arcsinxdx;

1 x2

8.21 arcsin5 2xdx;

1 4x2

8.24 arcctg322xdx;

1 4x

dx

8.27 1 x2 arcctgx ;

8.30 arccos3 5xdx;

1 25x2

185

9.1		x			dx	;
		2
		e3x	4
9.4		sin x		dx;
		ecos x
9.7	sin2xecos2xdx;

9.10 cosxesin xdx;

9.13xe4 x2 dx ;

x1

9.167x2 4dx;

9.19

3x 2

dx;

2x2 7

9.22

2x 3

dx;

x2 9

9.25

3x 1

dx ;

4 x2

9.28

2x 3

dx;

4 x2

10.1	x 1 e2x dx;
10.4	1 x cos5xdx;
10.7	x 4 sin2xdx;
10.10	xsin3xdx;
10.13	x2e xdx
10.16	arctg3xdx
10.19	arcsin5xdx
10.22	xcos6xdx
10.25	arctg8xdx
10.28	xsin x 3 dx

						№9
	9.2					x		dx;
						2
				ex 3
	9.5			cosx			dx;
				esin x
	9.8	x2ex3 8dx;
	9.11 xex2 7dx;
	9.14			x2e9 x3 dx;
	9.17					1 2x				dx;
						5x2 1
	9.20					5 x			dx;
						3x2 1
	9.23					3x 2					dx;
						3x2 1

9.265x2 2dx;

x9

9.29 5x 2 dx; x2 9

№10

10.2x 2 exdx;

10.5x 2 cos3xdx;

10.8x 3 cosxdx;

10.11ln x 5 dx;

10.14x 1 e 4xdx

10.17xcos 8xdx

10.20x 1 e xdx

10.23arcsin3xdx

10.26xsin x 2 dx

10.29xcos x 4 dx

9.3

x2

dx;

3

ex

5

9.6

x

dx;

e

2

5x

9

9.9 xe6x2 2dx;

9.12 3x2ex3 4 ;

9.15 xe2 6xdx;

9.18

x 3

dx;

x2 4

9.21

2x 5

dx;

7x2 3

9.24

x 3

dx;

1 4x2

9.27

2x 5

dx;

5x2 1

9.30

x 4

dx.

7x2 3

10.3x 7 cos2xdx;

10.6x 2 cos4xdx;

10.9x 4 sin2xdx;

10.12arctg2xdx;

10.15x e 2xdx

10.18arctg4xdx

10.21arctg2xdx

10.24arccos2xdx

10.27arcsin8xdx

10.30arccos7xdx

186

7.29 Рационалдық бөлшектердi интегралдау

50-анықтама. Рационалдық бөлшек деп мына түрдегi бөлшектi айтамыз

R x	Pm x	, мұндағы P x және		Q x - көпмүшелiктер. Егер	m n болса,
	Qn x		m	n

онда рационалдық бөлшек дұрыс, ал егер m n болса, онда рационалдық бөлшек бұрыс деп аталады.

Қарапайым (элементарлық) бөлшектер деп төмендегі түрдегi дұрыс бөлшектердi айтамыз.

I.A ;

xa

A

II. x a m , мұндағы m бiрден үлкен бүтiн сан;

III.

Ax B

,

мұдағы

p2

q 0, яғни x2

px q

квадраттық

x

4

2 px q

үшмүшелiгiнiң нақты түбiрi жоқ;

IV.

Ax B

,

мұндағы

n бiрден үлкен бүтiн

сан және

x

2

px q

x2

px q n

квадраттық үшмүшелiгiнiң нақты түбiрi жоқ.

Бұл төрт жағдайда да A,B, p,q,a нақты сандар деп есептелiнедi. Бiрiншi берiлген екi қарапайым бөлшектердiң интегралдарын табамыз.

I.

A

dx Aln

x a

C;

x a

II.

A

dx

A

1

C.

x a m

x a m 1

m 1

Ал III түрдегi қарапайым бөлшектiң интегралын табу үшiн оның дербес түрiнiң интегралын қарастырамыз:

dx

x2 px q (бөлiмiн толық квадратқа жiктеп алып, айнымалыны ауыстыру арқылы интегралдаймыз)=

x

p

t

dx

2

(себебi

берiлген

шарт бойынша

dx dt

p

2

p2

2

x

q

q

p

a2

2

4

2

4

p

q 0)=

dt

1

arctg

t

C

2

arctg

2x p

C.

4

t2

a2

a

a

4q p2

4q p2

Ендi III түрдегi қарапайым бөлшектiң жалпы түрде интегралдануын көрсетемiз.

187

	p	2	q 0	болғанда		Ax B	dx	интегралын табу керек. Ең алдымен
	4				x2	px q

бөлшектiң алымынан, бөлiмiнiң туындысын бөлiп көрсетемiз. Ол үшiн бөлшектiң алымын мына түрде жазамыз:

Ax B

A

2x p

Ap

B.

Сонда

2

2

Ax B

A

2x p

Ap

dx

dx

dx

B

x2 px q

2

x2 px q

2

x2 px q

түрiндегi екi интегралдың қосындысын аламыз. Бiрiншi қосылғыштағы итегралдың алымы бөлiмiнiң туындысы болады. Сондықтан

A

2x p

dx ln x2 px q C,

2

x

2

px q

себебi x кез келген мәнi үшiн

x2 px q 0. Ал екiншi қосылғыштағы

интеграл жоғарыда көрсетiлгендей формула бойынша табылады, яғни

dx

2

arctg

2x p

C

2

x

4q p2

4q p2

px q

болады.

Сонымен III түрдегi қарапайым бөлшектiң жалпы түрде интегралы

Ax B

dx

A

ln x2 px q

2B Ap

arctg

2x p

C

2

x

4q p2

px q

2

4q p2

формуласымен анықталады.

2

Ендi IV түрдегi қарапайым бөлшектiң дербес жағдайын қарастырамыз:

p

q 0

және n бүтiн сан болғанда

dx

итегралын табу керек.

4

x2 px q n

Ол үшiн интеграл астындағы квадрат үшмүшелiктi толық квадратқа жiктеп, сонан соң айнымалыны ауыстыру формуласын қолданамыз, сонда

dx

x2 px q n

x

p

t

dx

2

dx dt

p 2

p2

n

2

x

q

q

p

a

2

2

4

4

dx

t2 a2 n

болады.

Теңдеудiң

оң

жағындағы

интегралды

мына түрде

белгiлеймiз

In

dx

. Бұл интеграл үшiн келесi рекурренттiк формула орын алады

t2

a2 n

1

t

1

2n 3

In

In 1.

(7.34)

2a2 n 1

t2

a2 n 1

a2

2n 2

188

Бұл формуланы n 1 рет қолдану арқылы In интегралын кестелiк

түрдегi		dt		интегралына келтiремiз.
	t	2	2
		a

Ал ендi IV түрдегi қарапайым бөлшектiң жалпы түрде интегралдануын көрсетемiз.

	p	2	q 0	болғанда	Ax B	dx	интегралын табу керек. Интеграл
	4				x2 px q n

астындағы бөлшектiң алымынан бөлiмiндегi квадрат үшмүшелiктiң туындысын бөлiп аламыз:

A

2x p

Ap

Ax B

B

2

2

dx

dx

x2 px q n

x2 px q n

A

2x p

Ap

dx

dx

B

.

2

x2 px q n

2

x2 px q n

Теңдеудiң оң

жағындағы

бiрiншi

қосылғыштағы

интегралды

x2 px q t алмастыру арқылы интегралдаймыз:

x2 px q 1 n

2x p

x2 px q t

dt

t1 n

C

C .

x2 px q n

2x p dx dt

tn

1 n

1 n

Ал, екiншi қосылғыштағы интеграл үшiн мына түрлендiрудi

қолданамыз:

x

p

t

dx

dx

2

dt

dx dt

.

x2 px q n

p

2

p2 n

t2 a2 n

p

2

x

q

q

a

2

2

4

4

Сонымен IV түрдегi қарапайым бөлшектi интегралдау рекурренттiк формуланың көмегiмен орындалатындығын көремiз, яғни

	Ax B		A		x2	px q 1 n		Ap			dt
		dx					B
	x2 px q т		2			1 n		2		t2 a2 n

болады.

I – IV түрдегi қарапайым бөлшектер түрінде берілген төмендегі интегралдарды есептейміз:

1.	6dx	интегралын есептеңіз.
	x 7

Шешуi: Берiлген I түрдегi интеграл болғандықтан

6dx 6ln x 7 C

x7

теңдігімен анықталады.

189