Оулы 1-1

		a		b	a b		a b				c c				c
		11		11	12	12	13	13			11		12		13
C A B a21				b21	a22 b22		a23 b23				c21		c22		c23 болады.
		a	31	b	a b		a b				c	31	c	32	c	33
				31	32	32	33		33
Мысалы,
5	6				2	7
	1
A 3		және B 4				3 болса, онда
	2
2					1	5
	7	13					3	1
							1
A B 7		2 және			A B			4 теңдігі орындалады.
							1	7
	3	3

2.Кез келген A матрицасын нөлдiк O матрицаға қосақ A-ның өзi шығады

A O A.

Мысалы,

	8 3		0 0			8 3
A	2 1	және O 0 0			болса, онда A O	2 1 болып анықталады.
			0 0
	4 1					4 1

3. Матрицаны санға көбейту. A матрицасының санына көбейтiндiсi деп,A деп белгiленетiн, элементтерi bij aij болатын B матрицасы

аталады. Сонымен матрицаны санға көбейткенде, барлық элементi сол санға көбейтiледi. Үшiншi реттi матрицаны санға көбейту былай жазылады:

a a

a

a

a

a

11

12

13

11

12

13

A a21

a22

a23

және 0

болса, онда A

a21

a22

a23

болады.

a

a

a

a

31

a

32

a

33

31

32

33

Мысалы,
2	3		4	6
	4			8
A 1		және 2	болса, онда A 2		теңдігі орындалады.
				2
5	1		10

4.Матрицаларды көбейту. Екi матрицаны көбейту үшiн, бiрiншi матрицаның тiк жолдар саны, екiншi матрицаның жатық жолдар санына тең болуы керек.

Am p және		Bp n матрицаларының көбейтiндiсi деп, элементтерi
p
cij aikbkj	(i		, j		) болатын Cm n матрицасы аталады.
		1,m		1,n
k 1

Үшiншi реттi матрицаларды көбейту мына түрде көрсетiледi:

13

a	a	a		b	b	b
11	12	13		11	12	13
A a21	a22	a23		және B b21	b22	b23
a	a	a		b	b	b
31	32	33		31	32	33

болса, онда C A B

a11b11 a12b21 a13b31

=a21b11 a22b21 a23b31a31b11 a32b21 a33b31

a b			a b			22	a b			a b a b						23		a b
	11	12 12					13		32	11		13	12						13		33
a21b12 a22b22							a23b32			a21b13 a22b23									a23b33			=
a	b		a	32	b	22	a	b		a	b a			32	b		23		a	b
	31	12						33	32		31	13								33	33

c			c		c
	11		12		13
c21			c22		c23	теңдігімен анықталады.
			c32		c33
c31
	Мысалы,
	4		2			1		3	4
A		1	3
					және B				болса, онда
							2	5
		5							3
			1

4 1 2 2		4 ( 3) 2 5	4 4 2 3		8		2	22
	1 1 3 2	1 ( 3) 3 5	1 4 3 3				12	13
AB					7				болады.
	5 1 ( 1) 2	5 ( 3) ( 1) 5	5 4 ( 1) 3			3	20	17

7-анықтама. Анықтауышы нөлге тең емес матрицалар ерекше емес матрицалар, ал анықтауышы нөлге тең матрицалар ерекше матрицалар деп аталады.

8-анықтама. A 1 матрицасы A матрицасына керi матрица деп аталады және A 1A AA 1 E болады, мұндағы E бiрлiк матрица.

Тек қана анықтауышы нөлге тең емес шаршы матрицалардың керi матрицалары болады. Керi матрица мына формуламен анықталады:

A 1 1 det(A)

						A	A	... A
						11	21	n1
A		, мұндағы A				A12	A22 ... An2			(1.1)
									.
						.............................
						A	A	A
						1n	2n	nn

Бұл матрица қосалқы матрица деп аталады және матрицаның элементтерi A матрицасына транспозицияланған AT матрицасы элементтерiнiң алгебралық толықтауыштары болады. Транспозициялау дегенiмiз – берiлген матрицаның жатық жолдарын сәйкес тiк жолдармен алмастыру, яғни былай жазылады:

		a		a		a
T			11		21	31
A	a12 a22					a32 .
		a		a	23	a
			13			33

14

Матрица элементерiнiң алгебралық толықтауыштары төмендегi теңдеумен анықталады:

Aij ( 1)i j Mij.

Мұндағы Mij матрицаның aij элементтiнiң миноры болады, яғни матрица анықтауышынан i-ші жатық жолды, j-ші тiк жолды сызғанда шығатын анықтауыш болып табылады.

9-анықтама. A матрицасының нөлге тең емес ең үлкен минорының ретiне тең сан, осы матрицаның рангiсi деп аталады және r(A) болып

белгiленедi.
1		3	5	4
		6	4	3
Мысалы, A 2					матрицасының рангсін есептеңіз.
	3	9	3	2

	Шешуі. Берілген матрицаның екінші ретті минорларының ішінде нөлге
тең	емес							ең			кемінде				бір минор			табылады.			Мысалы нөлге тең							емес
M2					3			5			12 30 18 0 миноры бар. Ал үшінші ретті минорларды
					6			4
қарастырсақ олардың барлығыда нөлге тең болады
M3			1				3				5				M3		3 5 4				M3		1	3 4
			2					6			4			0,			6 4	3		0,			2	6	3		0	және
			3				9				3						9 3 2						3	9 2
M3IV							1	5			4
							2	4			3			0.
							3	3			2

Сондықтан берілген матрицаның рангісі r A 2 болады.

Матрицаның рангісін табудың негізгі әдістерінің бірі бір және нөл әдісі болып табылады. Бұл әдістің нәтижесінде матрицаны түрлендіру арқылы оның элементтерін нөл мен бірге айналдырамыз, матрицада қанша бір қалса, оның рангісі сонша болады. Жоғарыда қарастырған матрицаны қайта қарастырамыз:

1		3	5	4
		6	4	3
A 2					.
	3	9	3	2

Шешуі. Матрицаның бірінші жатық жолын 2 көбейтіп, екінші жатық

жолға қосамыз, сонан соң бірінші	жатық жолды			3 көбейтіп, үшінші
жатық жолға қосамыз, сонда
1	3	5	4
	0	6
A 0			5
	0	12	10
0

15

болады.

Бұл матрицаның бірінші тік жолын 3 , 5 және 4 көбейтіп, сәйкес екінші, үшінші және төртінші тік жолдарға қосамыз, сонда

1		0	0	0
		0	6
A 0				5
	0	0	12	10

матрицасы алынады.

Матрицаның екінші жатық жолын 6 бөлеміз, сонда

	1	0	0	0
				5
A 0		0	1
				6
	0	0	12	10

теңдігі орындалады.

Алынған матрицаның екінші жатық жолын 12 көбейтіп, үшінші жатық жолға қосамыз, сонда

							1	0	0		0
											5
					A 0			0	1
											6
							0	0	0		0
матрицасын аламыз.
											5
Осы матрицаның үшінші тік жолын													көбейтіп, төртінші тік жолға
											6
қосамыз, сонда
						1		0	0		0
								0	1
					A 0						0
							0	0	0		0
болады. Демек берілген матрицаның рангісі r A 2 тең.
Мысалы, A және B матрицалары берiлген. Есептеңіз:
а 2A 3B;		б AB; в A 1
4	0 1		1 2 3
A 2 1 3 ,			B 2		0 1 .
3 2		2	2 1			3
Шешуі:
8 0 2				3 6 9
	4				6	0			онда
а 2A		2 6 , 3B					3
	6 4 4				6 3 9
	8 3		0 6	2 9			5		6 9
		4 6	2 0						2
2A 3B				6 3			10				9 теңдігі орындалады.
		6 6	4 3	4 9
								0 7 13

16

	4 0 1		1 2 3
б AB 2 1 3 2 0 1
	3 2 2
			2 1 3

4 0 2 8 0 1 12 0 3					6 7 15
		4 0 3 6 1 9
2 2 6				6 7 2		.
	3 4 4	6 0 2 9 2 6
					3 8 1
в	A 1 матрицасын табу үшiн (1.1) формуласын қолданамыз
	4	0	1
	det(A) 2	1	3 8 4 0 3 24 0 39 0,

3 2 2

демек керi матрицасы бар. Ең алдымен алгебралық толықтауыштарды есептеймiз:

A11			1 3							8,		A21				0 1								2,									A31					0 1					1,
			2 2													2 2																						1 3
A12					2 3					5,		A22			4 1									11,										A32								4 1					14,
					3 2											3 2																										2 3
A13			2 1							7,		A23						4 0									8,								A33					4 0							4.
			3 2																3 2																							2 1
	Сондықтан																		8										2				1
						1				8		2 1							39										39				39
A	1																		5										11				14
											5 11		14																									болады.
						39													39										39				39
											7	8	4
																			7										8				4
																			39							39							39

1.3 №1 өздiк жұмыс тапсырмалары

A және B матрицалары берiлген. Есептеңіз:

а 2A 3B;			б AB; в A 1.
	2		1	4			1		2	4
1.1			0	5		B			0
	A 3				,		3			3 ;
		2	6 1					5	2 1
	3		5	1			4		6 0
1.2			8	0		B			2
	A 1				,		1			3 ;
		2	2	1				5
									0 7

17

		9		2	0		5 3			2
1.3				1				1
	A 8				2 , B 6					3 ;
			3	0				0		1
					1		4
		0		2	1		8		4 6
1.4				9				2	0
	A 3				5 ,		B			1 ;
			1 6					5
					2				2 1
		6		1	4			2		1	3
1.5			2	0						5
	A				2 ,		B 3				6 ;
			5	1				0	1
					7						4
		7		3	2		2		1		3
1.6				1				4		0
	A 6				1 ,		B				6 ;
			5 4					2
					0					2 5
		0		1	2		8		1 4
1.7				3					0
	A 1				5 ,		B 2				1 ;
			2 6					5
					9				2 7
			1	9	3		5		0		1
1.8			2	5					8
	A				1 , B 6						3 ;
			2 4
					0		2		1 1
		2		1	4		1		2		4
1.9				0						0
	A 3				5 ,		B 3				3 ;
			2 6					5
					1					2 1
			0 4		1			9		3 5
1.10				6		,				0
		A 3			5		B 6				1 ;
			1 8		2			7 2			3
			3 6		8		6			4 1
1.11				2		,				9
		A 4			5		B 3				3 ;
			1 0		1		2			2 0
			6 1		2		5		8 3
1.12				5					0
		A 0			4 ,		B 2				6 ;
								1
			2 3		1				2 3
			0	8	4		5		6 4
1.13				9					0
		A 3			5 ,	B 1				1 ;
				7				9	2
			1		6					8

18

	2		3 9					6		2		4
1.14			2							2
	A 6			5 ,			B 8					3 ;
		1	0 8							0		1
								5
	5		7 1					6		2		0
1.15			4								8
	A 0			6 ,			B 3					2 ;
		1	2 2						9
											3 1
		5	0	9				8		2	5
		4	1							0
1.16 A				8 ,			B 3				3 ;
		3	7 5						6
										7 4
	2		1		5				2		6 5
1.17			0				,				1
	A 4				6			B 3				4 ;
		3									3 8
			3 1						7
	6		1 7						3		5 4
1.18			0				,				2
	A 8					9		B 1				6 ;
		2										8
			5 1						1 7
	2		1	2					1		3		0
		3	4				,				0
1.19 A				5				B 3					4 ;
		0	6								2
				1					5				6
	0		1	6				4		2		6
			8							0
1.20 A 7				2 ,			B 5					8 ;
		9	4	5					9	3
												1
		4	0	6					8	1		4
1.21		5	2						5	2
	A			7 ,				B				3 ;
		9	3 1						0	1
												2
	3		0 5					1		2		4
1.22			6								5
	A 2			1 ,				B 4				6 ;
		2	8	4					7		2
												1
	8		1			2			0	5 6
1.23			3				,			4
	A 5					1		B 2			3 ;
		2								3 1
			6 4						7
	1		6 2					2		4		0
1.24			2						7	1
	A 0			9 ,				B				3 ;
		4	3	5					6	5
												8

19

	4		0	6				7	8	1
1.25			3						0
	A 3			1 ,		B 3				2 ;
		7	9 2					5	2 5
	1		1 6					4	2	6
1.26		3	0			,			0
	A				9		B 8			9 ;
		2							1	2
			8 5					3
		1	2	5				4	0	1
1.27			0						6
	A 3			4 ,		B 5				3 ;
		7	6	9				5	2	3
	6		0 7					0	2		1
1.28		4	5			,			5
	A			1			B 3				6 ;
		2
			6 1					5 2			4
	4		0 6				1	2		4
1.29			1						0
	A 5			7 , B 3						6 ;
		2	8						2	4
				3			5
	5		1	6			7		2	6
1.30		4	2						0
	A			3 ,		B 3				4 .
		0	3	1				3	2 1

1.4 Сызықтық теңдеулер жүйесiн Крамер ережесiмен шешу

Үш белгiсiзден тәуелдi үш теңдеулер жүйесiн қарастырамыз:

a			x a x						a x					b ,
	11		1	12			2		13			3		1	(1.2)
a21x1				a22x2					a23x3					b2,
a		31	x a		32	x		2	a	33	x		3	b .
			1											3

Мұндағы aij i 1,3, j 1,3 белгiсiздерiнiң коэффициенттерi деп аталады.

Егер бұл теңдеулер жүйесi белгiсiздерiнiң коэффициенттерiнен құралған анықтауыш нөлге тең емес болса, онда сызықтық теңдеулер жүйесiнiң бiр ғана шешiмi болады. Ол шешiмдi Крамер ережесiмен мына түрде шығарамыз

	a11	a12	a13
	a21	a22	a23	0	(1.3)
	a31	a32	a33

Осы анықтауыштың тiк жолдарын біртіндеп (1.2) теңдеуiнiң бос мүшелерiмен алмастыру арқылы мынадай үш анықтауышты есептеймiз:

20

b1

a12

a13

a11

b1

a13

a11

a12

x

b2

a22 a23

,

x

a21

b2 a23

,

x

a21

a22

1

b3

a32

a33

2

a31

b3

a33

3

a31

a32

Сонда (1.2) сызықтық теңдеулер жүйесiнiң шешiмдерi формуламен анықталады

x	x		x			x	2		x			x
	1	,		2				,					3	.
1										3

b1 b2 . b3

төмендегi

Мысалы, берілген теңдеулер жүйесін Крамер ережесімен есептеңіз:

2x1 x2 x3 23x1 2x2 2x3 2

x1 2x2 x3 1

Шешуі: Берілген теңдеулер жүйесінің сәйкес анықтауышын есептейміз:

2 1 1

3 2	2 4 6 2 2 8 3 5 0,

1 2 1

демек берiлген теңдеулер жүйесiнiң бiр ғана шешiмi бар. Ол шешімді анықтау үшін, мына анықтауыштарды табамыз:

2 1 1

x	2					2 2 4 4 2 2 8 2 10,
1	1				2		1
				2	2	1
x2				3 2		2		4 3 4 2 4 6 5,
				1	1	1
				2 1		2
x		3			2 2		4 12 2 4 8 3 15,
3		1			2	1
сонда						x									x							x
				x					10			x					5		x						15
						1					2,				2			1,				3				3
									5								5							5
	1												2							3
теңдіктері орындалады.
	Сонымен Крамер ережесi бойынша: x1 2,																		x2 1,					x3 3 болады.

21

1.5 Сызықтық теңдеулер жүйесiн кері матрица әдісiмен шешу

Жоғарыда көрсетілген (1.2) теңдеулер жүйесін кері матрица әдісімен шешу үшін қайта қарастырамыз:

a			x a x						a x			b
	11		1	12			2		13	3		1	(1.2)
a21x1				a22x2					a23x3			b2.
a		31	x a		32	x		2	a x		3	b
			1						33			3

Осы теңдеулер жүйесіндегі белгісіз айнымалылардың коэффициенттерінен құрастырылған негізгі

a	a	a
11	12	13
A a21	a22	a23
a	a	a
31	32	33

матрицаның сәйкес анықтауышы нөлден өзгеше болсын, яғни

det A	a11	a12	a13
	a21	a22	a23	0,
	a31	a32	a33

онда (1.2) теңдеулер жүйесінің шешімі бар болады. Мынадай белгілеулерді енгіземіз:

a	a	a		x			b
11	12	13		1			1
A a21	a22	a23	,	X x2		және	B b2
a	a	a		x	3		b
31	32	33					3

онда (1.2) теңдеулер жүйесін матрицалық түрде

a		a
11		12
a21		a22
a	31	a
		32

немесе қысқаша

a		x			b
13		1			1
a23 x2 b2
a		x	3		b
33					3
A X		B				(1.4)

деп жазуға болады. Осы теңдеуден X матрицасын табу үшін A 1 A E және E X X болатындығын ескере отырып, (1.4) теңдеуінің екі жағын сол жағынан A 1 кері матрицасына көбейтіп A 1 A X A 1 B теңдігін аламыз. Демек, бұл теңдеуден (1.2) теңдеулер жүйесінің шешімі

X A 1 B

(1.5)

түрінде анықталады.

Мысалы, берілген теңдеулер жүйесін кері матрица әдісімен есептейміз:

x1 x2 3x3 3,3x1 4x2 x3 2,

2x1 x2 6x3 5.

22