Оулы 1-1

Жоғарыда

айтылғандай z x iy

комплекс санының

r

z

модулы

r

z

x2 y2

формуласынан,

ал

аргументі мына

формулалардан

анықталады:

x

y

y

cos

,

sin

, tg

.

r

r

x

Сонымен бірге

Argz argz 2k

болғандықтан,

sin sin argz

cos cos argz 2k cos argz ,

болады.

Мысалы, z i комплекс санының модулі i 02 12 1 болады.

Комплекс санның алгебралық түрінен тригонометриялық түріне ауысқанда z комплекс санының аргументінің басты мәнін анықтаса жеткілікті, яғни argz.

	arg болғандықтан	tg	y	формуласынан
			x

аламыз.

3

y

arctg

,

I,IV ширектің ішкінүктелері үшін,

x

y

argz arctg

,

II ширектің ішкі нүктелері үшін,

x

y

arctg

,

III ширектің ішкі нүктелері үшін.

x

y

Егер

z

нүктесі

нақты

немесе

i

жорамал

өсте жатса, онда

argz-ті табу

2

3

0

x

қиындық тудырмайды. Мысалы,

z1 2

2

болса,

онда

argz1

0;

z2

3

болса,

2

онда

argz2

;

z3 i

болса,

онда

	argz3					;		z4 4i		болса,	онда
			2
4i	argz4			3					(2-сурет).
			2				2

2-сурет

33

2.4Комплекс сандарға амалдар қолдану

2.4.1Комплекс сандарды қосу

6-анықтама. Екі z1 x1 iy1 және z2 x2 iy2 комплекс сандарының

қосындысы деп	x1 iy1 x2	iy2 x1 x2 i y1 y2
z1 z2			(2.8)

түрінде анықталған сан айтады.

Мысалы, z1 3 2i және z2 5 7i комплекс сандарының қосындысы

z1 z2 3 2i 5 7i 8 5i

болады.

(2.8) формуласынан векторлық түрде бинеленген комплекс сандарды қосу, векторларды қосу ережесі бойынша жүргізілетін көреміз, яғни комплекс сандардың қосындысын геометриялық тұрғыдан екі вектордың қосындысы түрінде беруге болады (3-сурет).

	y	z1	z2	y
		z1	z1	z2	z1
		z2			z2
	0		x	0
					x
		3-сурет			4-сурет

Комплекс сандарды қосу амалы коммутативті және ассоциативті қасиеттерді қанағаттандырады:

1.z1 z2 z2 z1,

2.z1 z2 z3 z1 z2 z3 .

3-суреттен

z1 z2

z1

z2

болатынын көреміз. Бұл теңсіздік

үшбұрыштар теңсіздігі деп аталады.

2.4.2 Комплекс сандарды алу
Алу қосуға қарама-қарсы амал.
7-анықтама. Екі z1 және z2		комплекс сандарының айырымы деп, z2
комплекс санына қосындысы z1		комплекс саны болатын, яғни	z z2 z1
теңдігі орындалатын z z1	z2 комплекс санын айтады.
Егер z1 x1 iy1 және	z2 x2	iy2 болса, онда анықтамадан
z z1	z2 x1 x2 i y1 y2		(2.9)

түрінде анықталады.

Мысалы, z1 4 5i және z2 7 2i комплекс сандарының айырмасы z1 z2 4 5i 7 2i 3 7i

34

болады.

(2.9) формуласынан екі комплекс санның айырымы геометриялық тұрғыдан екі вектордың айырымы түрінде болады (4-сурет).

Сонымен бірге 4-суреттен z1 z2 z1 z2 теңсіздігі орындалатынын

көреміз.

Екі комплекс санның айырымының модулы жазықтықта осы екі комплекс санды бейнелейтін екі нүктенің арақашықтығы d береді, яғни

z	1	z	2			x	x	2	2 y	y	2	d	(2.10)
						1			1

болады.

Сондықтан, мысалы, z 2i 1 комплексті жазықтықта z0 2i

нүктесінен арақашықтығы 1-ге тең z нүктелерінің жиынын анықтайды, яғни центрі z0 2i және радиусы 1-ге тең шеңбер.

2.4.3 Комплекс сандарды көбейту

8-анықтама.		Екі z1	x1 iy1			және	z2 x2	iy2 комплекс сандарының
көбейтіндісі деп,		z z1z2		x1x2		y1 y2 i x1 y2		y1x2	(2.11)
теңдігімен анықталатын комплекс санды айтамыз.
Екі комплекс санды көбейту кезінде жорамал бірлік анықтамасын, яғни
i2 1	теңдігін	және	осы		теңдіктен		туындайтын		i3 i2 i 1 i i,
i4 i2 i2	1 1 1,		i5	i4	i 1 i i		теңдіктерін, сонымен бірге жалпы
кез келген бүтін		k үшін		i4k	1, i4k 1 i, i4k 2 1, i4k 3				i болатындығын

ескереміз. Осы теңдіктердің негізінде (7.11) теңдігінің растығын көрсетеміз: z z1z2 x1 iy1 x2 iy2 x1x2 iy1x2 ix1y2 y1y2

x1x2 y1y2 i x1y2 y1x2 .

Мысалы, 2 3i 5 4i 10 8i 15i 12i2						10 23i 12 2 23i.
Егер екі z x iy және				x iy	түйіндес		комплекс сандарды
			z
көбейтсек, онда (2.11) теңдігінің негізінде
		x iy x iy x2			y2		(2.12)
zz

теңдігін аламыз, бұл теңдіктің оң жағы нақты сан болады.

Комплекс сандардың көбейтіндісі келесі қасиеттерді қанағаттандырады:

1.z1z2 z2 z1 ауыстырымдылық заңы;

2.z1z2 z3 z1 z2z3 терімділік заңы;

3.z1 z2 z3 z1z2 z1z3 үлестірімділік заңы.

Екі z1 r1 cos 1 i sin 1 және

z2 r2 cos 2 i sin 2 комплекс

сандары тригонометриялық түрде берілсе, онда олардың көбейтіндісі z1z2 r1 cos 1 isin 1 r2 cos 2 isin 2

r1r2 cos 1 cos 2 isin 1 cos 2 icos 1 sin 2 sin 1 sin 2

r1r2 cos 1 cos 2 sin 1 sin 2 i sin 1 cos 2 cos 1 sin 2

35

r1r2 cos 1 2 isin 1 2

теңдігімен анықталады, яғни

z1z2 r1r2 cos 1 2 isin 1 2

(2.13)

болады.

Сонымен, екі комплекс санның көбейтіндісі, модулі көбейткіштердің модулдарының көбейтіндісі, ал аргументі көбейткіштердің аргументерінің қосындысы болатын комплекс сан болады.

2.4.4 Комплекс сандарды бөлу

9-анықтама. Комплекс сандарды бөлу, көбейтуге кері амал ретінде

анықталады.	Сонымен екі	z1 x1 iy1				және	z2	x2 iy2 комплекс		саны
берілсе, онда	z2 0 болғандағы		z1-дің			z2 -ге бөліндісі деп,			берілген	z2 -ге
көбейтіндісі z1-ді беретін,яғни
		z2 z z1							(2.14)
теңдігін қанағаттандыратын z саны аталады және
			z	z1					(2.15)
болып белгіленеді.				z2
			0, z x iy
Егер z1 x1 iy1 , z2 x2		iy2					болса, онда (2.14) теңдігінен
x2 iy2 x iy x2x y2 y i y2x x2 y x1 iy1								теңдігін	аламыз,	бұл

теңдіктен

x2x y2 y x1,y2x x2 y y1

теңделер жүйесін алып, осы жүйеден x пен y мәндерін табамыз:

x	x1x2 y1y2	,	y	y1x2 x1y2	.
	x22 y22
				x22 y22

Табылған мәдерді z x iy теңдігіне қоямыз, сонда

	z	z1		x1x2 y1y2	i	y1x2 x1y2
		z2		x22 y22		x22 y22

болады.

Жалпы алғанда іс жүзінде екі комплекс санның бөліндісін алу үшін, бөлшектің алымы мен бөлімін бөлімінің түйіндісіне көбейтеміз, сонда бөлімінің жорамал бөлігінен құтыламыз.

Шыныменде, егер екі z1 x1 iy1 және z2 x2 iy2 0 комплекс саны

берілсе, онда

x1 iy1 x2 iy2

x1x2 y1y2 i x2 y1 x1y2

z

z1

x1 iy1

z2

x2 iy2 x2 iy2

x22 y22

x2 iy2

x1x2 y1y2

i

x2 y1 x1y2

x22 y22

x22 y22

36

тең.

Мысалы,

1 3i

бөліндісін табу керек.

2 i

1 3i 2 i

Шешуі.

1

3i

2 i 6i 3

5 5i

1 i.

2 i 2 i

4 1

2 i

5

Егер екі комплекс сан тригонометриялық түрде берілсе, онда оларды бөлу мына түрде жүргізіледі:

z1

r1 cos 1

isin 1

r1

cos

isin

.

r2 cos 2

isin 2

2

1

2

z2

r2

1

Сонымен, екі комплекс санның бөліндісі, модулі комплекс сандардың сәйкес модулдерінің бөліндісіне, ал аргументі комплекс сандардың сәйкес аргументерінің айырмасы болатын комплекс сан болады.

	5 cos			isin
		2
Мысалы,			2						бөліндісін табу керек.
	7 cos			isin
		3
			3

							isin
	z1			5 cos									5
					2
Шешуі.						2								cos		isin		.
	z												7		2		6
		2		7 cos			isin
					3
						3

2.4.5 Комплекс сандарды дәрежелеу

Комплекс сандарды дәрежелеу формуласын алу үшін алдымен берілген z x iy комплекс санын тригонометриялық түрде жазып, (2.13) теңдігінің

негізінде
z2 zz rr cos isin r2 cos2 isin2	(2.16)

теңдігін аламыз.

(2.16) теңдігін қолданып, z комплекс санының n-ші дәрежесін мына

түрде жазамыз:
zn r cos isin n	rn cosn isinn .	(2.17)

Бұл формула Муавр формуласы деп аталады. Осы формуладан комплекс санды оң бүтін санға дәрежелеу кезінде, оның модулі осы санға дәрежеленетінін, ал аргументі осы санға санға көбейтілетінін көребміз.

	Мысалы, 1			i 9 табау керек.				Ол үшін алдымен берілген комплекс
		3
	санды тригонометриялық түрге келтреміз, сондықтан
															argz
													3
	r		1			2	2; argz arctg
					3
												1				3
	анықтаймыз, сонда
							z 2 cos		isin
								3		3

37

болады. Енді осы санға Муавр формуласын қолдану арқылы

9

9

9

9

9

z

1

3i

2

cos9

isin9

2

cos3 isin3 2

1 512

болатынын көреміз.

3

3

2.4.6 Комплекс сандарды түбірден шығару

10-анықтама.

z

комплекс санының n-ші дәрежелі түбірі деп,

n z

теңдігін қанағаттандыратын комплекс санын айтамыз, яғни егер

n z

болса, онда n

z

болады.

cos sin

Егер

z r cos i sin , ал

болсын.

Сонда түбір

анықтамасы мен Муавр формуласы бойынша

z n n cosn i sinn r cos sin

теңдігін аламыз. Комплекс сандар теңдігінен олардың модулдерінің тең болатындығын, ал аргументтерінің 2 -ге еселі санға өзгеруі мүмкін

	болатынын		ескерсек, онда n r, n 2 k, k 0, 1,1, 2,2,..., яғни
		2 k	және n		болатынын көреміз, мұндағы k кез келген бүтін
				r
		n
	сан.

Сондықтан nz теңдігі мына түрде жазылады:

						2 k		2 k
	n r cos sin n r cos						isin		.	(2.18)
						n		n

Осы теңдіктен k 0,1,...,n 1 мәндерін бере отырып, түбірдің әртүрлі n мәнін аламыз. k -ның басқа мәндері үшін аргументтері алынған түбір

мәндерінен 2 -ге еселі санға өзгеше

болатын,

яғни

қарастырған

түбір

мәндеріне сәйкес түбір мәндері алынады.

Шыныменде, егер k n болғанда

2 k

2 k

n n r cos

isin

n

r cos

2 isin

2

n

n

n

n

n r

cos

isin

0

n

n

теңдігі алынады, яғни k 0 болғандағы түбір мәні сәйкес келеді.

Сонымен

z

z 0

комплекс санының n-ші дәрежелі түбірі әртүрлі n

мән қабылдайды.

Мысалы,

3

мәнін табу керек.

i

Шешуі. Алдымен түбір астындағы өрнекті тригонометриялық түрде

жазамыз:

i

1 cos

isin

.

2

2

Олай болса,

38

																																						2 k											2 k
	3		3		cos				isin									3							cos								2									isin				2
		i																				1
				2							2																			3												3
болып жазылады.				Осы формуладағы k 0,1,2																																					деп алып, түбірдің үш мәнін
табамыз:
																														i						1			мәнін аламыз;
k 0	болғанда, 0				cos					isin																	3
																								2
				6							6																			2
														2																					2
																																												5							5				3			1
k 1	болғанда,			cos							2										isin										2										cos							isin									i
				1							3																			3												6								6				2				2
мәнін аламыз;
									9											9
																																					3						3
k 2	болғанда, 2				cos				2				isin							2						cos														isin					i					мәнін аламыз.
																				3
				3																										6												6

2.5 Көрсеткіші комплексті айнымалы болатын көрсеткішті функция

11-анықтама. Егер қандай да бір комплекс мәнді облыстың комплексті z айнымалысының әрбір мәніне, басқа комплексті шамасының айқындалған мәні сәйкес келсе, онда комплексті z айнымалысынан

тәуелді функция болады.	немесе z түрінде
Аргументі комплексті функция f z

белгіленеді.
Біз комплексті айнымалыдан тәуелді болатын көрсеткіштік
ez	(2.19)
немесе
ex iy	(2.20)
функциясын қарастырамыз.

Қарастырып отырған функцияның комплекс мәні мына түрде анықталады:

		ex iy ex cosy isin y ,								(2.21)
яғни		z ex cosy isin y .
										(2.22)
Көрсеткіші комплексті функциялардың қасиеттері.
1. Егер z1	және z2 екі комплекс сан болса, онда
болады.		ez1 z2	ez1ez2							(2.23)
		z1 және	z2	сәйкес z1 x1	iy1				z2	x2 iy2
Дәлелдеу.	Берілген							және
болса, сонда				ex1 x2 cos y y			isin y
ez1 z2 e x1 iy1 x2 iy2		e x1 x2 i y1 y2				2			y	2
				1				1

39

ex1ex2 cos y	y	2	isin y	y	2		(2.24)
1			1

теңдігін аламыз. Ал екінші жағынан тригонометриялық түрде берілген екі комплекс санды көбейту формуласының негізінде

ez1ez2 ex1 iy1ex2 iy2	ex1 cosy		isin y ex2		cosy			2	isin y	2
ex1ex2 cos y		1		1
		y	2	isin y	y	2					(2.25)
	1			1

теңдігін аламыз. Сонымен (2.24) және (2.25) теңдіктерінің оң жақтары тең болғандықтан, олардың сол жақтары да тең болады:

	ez1 z2	ez1ez2 .
Дәл осы сияқты келесі қасиеттерді де дәлелдеуге болады.
2.	Егер z1 және z2 екі комплекс сан болса, онда
	z z		ez1
	e 1	2			(2.26)
			ez2
болады.
3.	Егер m – бүтін сан болса, онда
	ez m emz				(2.27)

болады. Егер m 0 болса, онда бұл формула (2.23) формуласының негізінде

алынады, ал егер m 0 болса, онда бұл формула	(2.23) және (2.26)
формулаларының негізінде алынады.
4. Мына
ez 2 i ez	(2.28)

тепе – теңдік орындалады.

Шыныменде, (2.23) және (2.21) формулалары бойынша ez 2 i eze2 i ez cos2 isin2 ez

болады. Ал, (2.28) тепе – теңдігінің негізінде ez көрсеткішті функциясының периоды 2 i болатын, периодтық функция болатынын көреміз.

5. Енді

u x iv x

комплексті шамасын қарастырамыз, мұндағы u x және v x нақты x айнымалысынан тәуелді нақты функциялар. Қарастырып отырған комплексті шамасы, нақты айнымалыдан тәуелді комплексті функция.

а) Айталық		limu x u x0 ,	lim v x v x0
		x x0	x x0
шектері бар болсын.		Сонда u x0 iv x0 0 комплексті айнымалы		-дің
шегі деп аталады.
а) Егер u x	және v x туындылары бар болса, онда

x u x iv x

өрнегін нақты айнымалыдан тәуелді комплекс функцияның нақты аргумент бойынша туындысы деп аталады.

40

2.6 Эйлер формуласы. Комплекс саның көрсеткіштік түрі

Егер (2.21) формуласында x 0 деп қарастырсақ, онда
eiy cosy isin y	(2.29)

формуласын аламыз. Бұл формула көрсеткіші жорамал болатын көрсеткіштік функцияны тригонометриялық функция арқылы өрнектейді және Эйлер формуласы деп аталады.

Егер (2.29) формуласында y-ті y-ке алмастырсақ, онда

		eiy cosy isin y					(2.30)
	теңдегін аламыз.
	(2.29) және (2.30) теңдіктерінен cosy және sin y табамыз:
	cosy	eiy e iy	,	sin y	eiy e iy	.	(2.31)
		2			2i
	Бұл формулаларды cosy және		sin y	дәрежелерін		өрнектеу	үшін және

олардың көбейтінділерін еселі доғалардың синусы және косинусы арқылы жазуға қолданамыз.

Мысалдар қарастырамыз:

			iy	e	iy		2	1
1. cos2	y	e							ei 2y 2 e i 2y
				2			4

	1	cos2y isin2y 2 cos2y isin2y										1	2cos2y 2			1	1 cos2y .
																2
4						eiy e iy 2			eiy e iy 2			4	ei 2	e i 2 2
			2		2
	2. cos			sin											2
							2			2i			4 4i

1cos4 1. 8 8

Комплекс сан (2.7) формуласымен, яғни тригонометриялық түрде берілсін:

z r cos i sin ,

мұндағы r комплекс санның модулі, комплекс санның аргументті. Эйлер формуласы бойынша

cos i sin ei

болатыны белгілі, сондықтан (2.7) формуласын мына түрде жазамыз:

z rei ,

(2.32)

бұл формула комплекс санның көрсеткіштік (экспоненталық) түрі деп аталады.

(2.32) формуласындағы r z комплекс санның модулы, ал бұрыш

Argz argz 2k k 0, 1,1, 2,2,.... комплекс санының аргументі.

41

Эйлер формуласы бойынша ei функциясы 2 негізгі периодпен периодты. Комплекс санды көрсеткіштік формада жазу үшін комплекс санның аргументінің негізгі мәнін тапса жеткілікті, яғни argz.

Мысалы,

z1 1 i,

z2 1

және

z3 i

комплекс

сандарын

тригонометриялық және көрсеткіштік түрде жазу керек.

Шешуі.

Алдымен

z1

1 i

комплекс

санының

модулын

және

аргументін анықтаймыз:

1

3

2

2

z1

r

1

1

2

және

argz1

arctg

,

яғни

1

4

4

3

. Сондықтан z

1 i

3

isin

3

i

3

және z

2e

2 cos

4 .

4

1

4

4

1

z2

1 үшін

z2

r

1 2

02

1 және argz2

, яғни .

Сонда

z2

1 cos isin

және z2 ei .

Ал

z3 i

үшін

i

02 12

1

және argz3

, яғни

.

Демек

2

2

z3

i cos

isin

i

және z3

e2 .

2

2

42