Основна теорема алгебри комплексних чисел та наслідки з неї.

Головним результатом дослідження питання про існування коренів алгебраїчних рівнянь є так звана основна теорема алгебри.

Основна теорема алгебри.

Твердження, близьке до ОТА, висловили ще в XVII ст. Жірар (1629) і Декарт (1637). Воно полягало в тому, що кожне алгебраїчне рівняння

п-степення має п коренів; якщо ж дійсних коренів менше п, то решту коренів слід вважати “уявними” (це не те, що комплексні – їх просто треба уявити).

Наприкінці XVIIІ ст. Леонард Ейлер вперше чітко сформулював ОТА. Її намагалися довести Даламбер (1746), Л. Ейлер (1749), Лагранж (1772), але з деякими обмеженнями і недоліками.

Прийнято вважати, що перше строге доведення ОТА дав Гаусс у 1799 р. (Уточнення своїх доведень Гаусс дав у 1815 та 18169 рр.)

Ця теорема має дуже важливе значення не тільки для алгебри.

Теорема (Основна теорема алгебри).

Довільний многочлен степеня з комплексними коефіцієнтами має щонайменше один корінь (у загального випадку – комплексний).

(Без доведення).

У лінійній алгебрі це доведення базується на 9-ти лемах. Ми його наводити не будемо.

Але на 3-му курсі в “Комплексному аналізі” доведення цієї теореми будете вивчати (воно займає не дуже багато часу).

Наслідки з основної теореми алгебри.

Наслідок 1. кожен многочлен п-того степеня має рівноп коренів.

Доведення. Нехай

,

де ,,.

Із основної теореми випливає, що многочлен має хоча б один корінь. Позначимо його . За теоремою Безу,

де – степень

Якщо , то із останньої теореми випливає, що має хоча б один корінь. Позначимо його через . Тоді із теоремою Безу випливає

де І так далі

Підставляючи все це знизу вверх, отримуємо:

(1)

має рівно п коренів , бо

Твердження 1. Розклад многочлена на лінійні множники виду (1) єдиний з точністю до розташування множників.

Доведення. (від супротивного).

Припустимо, що існує ще один розклад

відмінний від (1) хоч при одному.

Тоді прирівнюючи праві частини формул (1) та , маємо:

кожне з рівне деякому з і навпаки.

Якщо ж не так, тобто якщо не рівне жодному з тоді:

Вираз зліва дорівнює нулю, а вираз справа відмінний від нуля. Отримали суперечність розкладтакий же як (1), з точністю до розташування многочленів.

Зауваження. Якщо серед множників у (1) є кілька однакових, то їх можна замінити степенями. Тоді розклад (1) матиме вигляд:

де різні числа,причому.

Тоді розклад (2) теж єдиний з точністю до порядку запису множників.

Числа визначають кратність відповідних коренів.

Висновок. Кожен многочлена степеня з довільними комплексними коефіцієнтами має рівноп коренів, якщо кожен корінь рухати стільки разів, яка його кратність.

Формули Вієта.

Сформулюємо, ще один наслідок з ОТА, який відомий під назвою формул Вієта, яка є узагальненням теореми Вієта для коренів квадратного рівняння.

Нехай

корені многочлена (деякі з них можуть бути рівними).

Прирівняємо в цих записах коефіцієнти біля відповідних степенів змінної :

Звідси

(3)

Формули (3) називають формулами Вієта. Отже, довели наступне твердження:

Наслідок 2. Корені многочлена

(,,)

задовольняють співвідношення (3).

Доведення.(вище).

Зокрема при якщо корені , то

–відомі зі школи формули Вієта.

Приклад. Побудувати многочлен третього степеня, якщо

його корені.

формули Вієта

для многочлена

У даному випадку:

Отже, шуканий многочлен.

Многочлени з дійсними коефіціентами.

Рівняння з дійсними коефіцієнтами є поширеним і важливим для практичних застосувань окремим випадком алгебраїчних рівнянь з комплексними коефіцієнтами.

Для рівняння з дійсними коефіцієнтами справедливі теореми про існування коренів многочлена (основна теорема алгебри) та про кількість цих коренів, тобто довільний многочлен з дійсними коефіцієнтами має точно п коренів.

Але в багатьох випадках особливо цікавлять дійсні корені многочлена з дійсними коефіцієнтами. Відомо, що многочлен з дійсними коефіцієнтами може взагалі не мати жодного дійсного кореня (напр. ). Але із ОТА випливає наступний важливий

Наслідок 3. (Із ОТА, про корені многочлена з дійсними коефіцієнтами) Якщо комплексне число є коренеммногочлена

,

з дійсними коефіцієнтами , то спряжене до комплексне число теж є коренеммногочлена

Доведення. – корінь

.

Обчислимо значення при :

,

бо оскільки , то.

є коренем многочлена .

Цю теорему природно доповнити наступним твердженням.

Твердження 2. Якщо комплексне число є коренем-ї кратності многочлена з дійсними коефіцієнтами, то спряжене до комплексне число є коренеммногочлена тієї ж кратності .

Доведення. Оскільки є коренем кратностідля , то

Оскільки має дійсні коефіцієнти, то всі його похідні теж з дійсними коефіцієнтами. Тому застосовуючи наслідок 3 із ОТА до многочленів маємо, що , тобто є коренем всіх похіднихмногочлена , до включно.

Крім того , бо якщо б , то згідно з наслідком 3 число – спряжене до , було би коренем , а це неможливо, бо . Отже,

є коренем многочлена кратності .

Висновок. Многочлен непарного степеня з дійсними коефіцієнтами має хоча б один дійсний корінь.

Дійсно, із наслідку 3 та твердження 2 одразу випливає, що кількість істотно комплексних коренів (тобто таких, уявна частина яких відмінна від нуля) рівняння з дійсними коефіцієнтами обов’язково парна, бо ці корені попарно спряжені. Але всіх коренів многочленна рівно стільки, який порядок многочлена, тобто непарне число.

Отже, рівняння має непарну кількість дійсних коренів (тобто не менше, ніж одиниця).

Наслідок 4. (про розклад многочлена на множники).

Якщо многочлен з дійсними коефіцієнтами розкладається на добуток дійсних множників першого степеня (які відповідають дійсним кореням цього многочлена) та множників другого степеня, які відповідають парам комплексних спряжених коренів:

,

з дійсними коефіцієнтами ,

Доведення. Із наслідку 1 випливає, що многочлен степеня п має рівно п коренів і можна записати розклад

Деякі з цих множників містять дійсні корені многочлена. Отже, маємо дійсні множники першого степеня.

Згідно з наслідком 2, якщо комплексний корінь , то має також коренем . Тому обчислимо добуток тих дужок, які містять спряжені корені:

многочлен другого степеня з дійсними коефіцієнтами, оскільки при

маємо:

Інтерполяційна формула Лагранжа.

Наслідок 5. (про завання многочлена своїми значеннями).

Многочлен п-го степеня однозначно задається своїми значеннями в -й точці.

Доведення. Нехай задано многочлен своїми значеннями в точках

.

тобто

Покажемо, що многочлен , який задовольняє умови (4) – єдиний. (від супротивного)

Припустимо, що існує ще один многочлен степеня п, який при

набуває значень , тобто

Побудуємо многочлен .

Очевидно, що .

Тоді

Це означає, що числа є коренями многочлена . Оскільки чисел є , то.

Але із припущенням випливає, що . Отримали суперечність з припущенням . Отже, ,що й доводить єдність многочлена .

Наслідок 6. (інтерполяційна формула Лагранжа).

Якщо многочлен степеня задано своїми значеннями в-й точці:

то його вигляд можна обчислити за допомогою формул Лагранжа:

(5)

(без доведення).

Наприклад. При

Дано:

.

Тоді