1.3 Основні положення символічного методу аналізу

гармонічних коливань

Умовимося комплексне число (), модуль якого рівний амплітуді, а аргумент – початковій фазі функції, що описує гармонічне коливання, називати комплексною амплітудою коливання (напруги, струму). Такий термін прийнятий не тільки тому, що це число є комплексним, але і тому, що воно в сукупності, комплексно визначає амплітуду і початкову фазу гармонічного коливання (напруги, струму) відомої частоти. Для комплексних амплітуд напруг і струмів зберігається та ж система напрямів відліку, яка була прийнята для миттєвих значень коливань. Комплексні амплітуди напруг і струмів в електричному колі формально відповідають законам Кірхгофа і Ома.

Схемне позначення двополюсника для режиму гармонічних коливань приведене на рис. 8.2. Відношення комплексних амплітуд напруги і струму на вході двополюсника називається комплексним опором двополюсника (комплексом повного опору, імпедансом) і позначається через Z(j), або часто однією буквою Z.Відповідно до визначення

Рисунок 8.2

(8)

де Y(j)– комплексна провідність (комплекс повної провідності, адмитанс) двополюсника. Зрозуміло, що комплексні опори і провідність двополюсників є в загальному випадку комплексними величинами.

З (8) витікає, що комплексні амплітуди напруг і струмів на вході двополюсника формально відповідають закону Ома:

і(9)

У найпростіших випадках, коли двополюсником є пасивний елемент електричного кола, співвідношення між комплексними амплітудами коливань напруги і струму в елементі такі:

(10)

Отримані співвідношення (10) справедливі і для комплексних дійсних значень струмів і напруг.

Коефіцієнти, що зв'язують між собою комплексні амплітуди напруг і струмів в елементах електричних кіл,

(11)

і є комплексними опорами відповідно індуктивності, резистивного опору і ємності, а зворотні їм величини будуть комплексними провідностями відповідних елементів. Слід звернути увагу на те, що комплексні опори і провідності двополюсників в загальному випадку є функціями частоти гармонічних коливань, що виправдовує прийняті для них позначення Z (j) і Y(j).

Оскільки для комплексних амплітуд коливань формально вірні закони Кірхгофа і Ома, то при знаходженні комплексних амплітуд в електричних колах можна застосовувати всі методи, правила і формули аналізу коливань в резистивних електричних колах. Відмінність полягатиме лише в тому, що замість термінів «напруга», «струм», «опір», «провідність» використовуються терміни «комплексна амплітуда напруги», «комплексна амплітуда струму», «комплексний опір» і «комплексна провідність» елементів (гілок) кола.

Метод аналізу режиму гармонічних коливань, в якому операції над функціями, що описують коливання, замінюються операціями над їх символічними зображеннями, отримав назву символічного методу аналізу гармонічних коливань, або просто методу комплексних амплітуд.

1. На першому етапі аналізу задані гармонічні коливання замінюються їх комплексними амплітудами і визначаються комплексні опори гілок (елементів) кола. На схемі кола, що аналізується, як правило, позначаються комплексні амплітуди, а для складних двополюсників з комплексними опорами Z(j) або провідністю Y(j) використовується те ж схемне позначення, яке застосовується для резистивного опору (див. рис. 8.2).

2. Далі складається система алгебраїчних рівнянь для комплексних амплітуд коливань, для чого використовується будь-який метод аналізу з описаних для резистивних кіл (метод контурних струмів, вузлових напруг і так далі). Розв’язування цієї системи рівнянь дозволяє знайти комплексні амплітуди шуканих коливань.

У паралельно-послідовних колах комплексні амплітуди шуканих коливань знаходяться за допомогою закону Ома без складання системи рівнянь безпосередньо по схемі кола. При цьому можуть виявитися корисними теорема про еквівалентний генератор, теореми заміщення і взаємності, а також принципи накладення і дуальності.

3. На останньому етапі рішення задачі здійснюється перехід від знайдених комплексних амплітуд коливань до функцій часу, що описують коливання. Найчастіше цей етап аналізу опускається, оскільки комплексні амплітуди коливань містять повну інформацію про гармонічне коливання відомої частоти.