1.2 Визначення реакції електричного кола на вхідну дію

за допомогою інтегралів накладання

Встановимо співвідношення, за допомогою яких за нульових початкових умов знаходиться реакція електричного кола на задану дію. При цьому в тих випадках, коли відома імпульсна характеристика, реакція кола може бути визначена за допомогою інтегралів накладення. Якщо відома передавальна характеристика кола, реакція визначається через інтеграли Дюамеля. Розглянемо можливість використання інтегралів накладення.

Нехай f₁(t) і f₂(t) – функції, що характеризують відповідно дію, підведену у момент t = 0 за нульових початкових умов до кола і його реакцію. При знаходженні реакції кола f₂(t) за допомогою інтеграла накладання використовується імпульсна характеристика кола h(t). Для отримання загального виразу інтеграла накладання апроксимуємо вхідний сигнал f₁(t) за допомогою системи одиничних імпульсів тривалості d, амплітуди f₁() і площі f₁()d (рис. 11.2).

Рисунок 11.2

Вихідна реакція кола на кожен з одиничних імпульсів

df₂(t) = f₁() h(t–)d. (6)

Використовуючи принцип накладання, неважко отримати сумарну реакцію кола на систему одиничних імпульсів:

(7)

Інтеграл (7) носить назву інтеграла накладання. Між інтегралами накладання і Дюамеля існує простий зв'язок, визначуваний зв'язком (5) між імпульсною h(t) і перехідною g(t) характеристиками кола. Підставивши, наприклад, значення h(t) із (5) у формулу (7) з урахуванням фільтруючої властивості  - функції, отримаємо інтеграл Дюамеля.

Приклад 2. На вхід RС - кола(див. рис. 11.1) подається стрибок напруги f₁(t) = U₁. Визначити реакцію кола на виході з використанням інтеграла накладання (7).

Імпульсна характеристика даного кола дорівнює: h_u(t) = 1/RCe ^–t/RC. Тоді, підстав-ляючи h_u(t – ) = 1/RCe ^{–(t-)/RC} у формулу (7), отримуємо:

Якщо початок дії не співпадає з початком відліку часу, то інтеграл (7) приймає вигляд

(8)

Інтеграли накладання (7) і (8) єзгортка вхідного сигналу з імпульсною характеристикою кола і широко застосовуються в теорії електричних кіл і теорії передачі сигналів. Її фізичний сенс полягає в тому, що вхідний сигнал f₁() нібито зважується за допомогою функції h(t – ): чим повільніше убуває з часом h(t), тим більший вплив на вихідний сигнал надає більш віддалені від моменту спостереження значення вхідної дії.

Рисунок 11.3 Рисунок 11.4

На рис. 11.3, показаний сигнал f₁() та імпульсна характеристика h(t–), що є дзеркальним відображенням h(), а на рис. 11.4 приведена згортка сигналу f₁() з функцією h(t–) (заштрихована частина), яка чисельно дорівнює реакції кола в момент t.

Із рисунків 11.3 і 11.4 видно, що відгук на виході кола не може бути коротшим за сумарну тривалість сигналу t₁ і імпульсної характеристики t_h. Таким чином, для того, щоб вихідний сигнал не спотворювався імпульсна характеристика кола повинна прагнути до  - функції.

Очевидно також, що в колі, що фізично реалізовується, реакція не може виникнути раніше дії. А це означає, що імпульсна характеристика кола повинна задовольняти умові

h(t) = 0 при t < 0. (9)

Для стійкого кола, що фізично реалізовується, крім того повинна виконуватися умова абсолютної інтегрованості імпульсної характеристики:

(10)

Якщо вхідна дія має складну форму або задається графічно, то для обчислення реакції кола замість інтеграла згортки (7) застосовують графоаналітичний метод.