4. Порядок оформлення звіту

1. Постановка завдання і мета роботи.

2. Хід виконання роботи.

3. Таблиці, графіки, результати розрахунків.

4. Висновки.

5. Контрольні питання

1. Які причини виникнення перехідних коливань у електричних колах?

3. Визначте одиничну імпульсну функцію (-функція, функція Дірака).

4. Визначте імпульсну характеристику електричного кола.

5. Визначте зв’язок між імпульсною характеристикою кола і операторною передавальною функцією.

6. Визначте поняття перехідної характеристики електричного кола.

7. Визначте зв’язок між імпульсними і перехідними функціями.

Лабораторна робота № 12

КОЛИВАННЯ У ЕЛЕКТРИЧНИХ КОЛАХ З РОЗПОДІЛЕНИМИ ПАРАМЕТРАМИ

Мета роботи: вивчити основні параметри і основи розрахунків однорідних довгих ліній з розподіленими параметрами

1. Стислі теоретичні відомості

1.1 Визначення кіл з розподіленими параметрами

У теорії кіл електричні кола, параметри яких зосереджені в певних елементах кола: індуктивність зосереджена в котушці (енергія магнітного поля котушки локалізована в її магнітопроводі), ємність зосереджена в конденсаторі (енергія електричного поля локалізована між обкладками конденсатора), резистивний опір зосереджений в резисторі (перетворення електричної енергії в резисторі в теплову здійснюється в струмопровідному шарі резистора), отримали назву кіл із зосеред-женими параметрами.

Проте представлення електричних кіл у вигляді кіл із зосередженими параметрами не завжди можливе. Наприклад, розглядаючи передачу електромагнітної енергії в лінії зв'язку, фідері, антені, хвилеводі і т. п., слід враховувати, що магнітне і електричне поля розподілені по всій довжині цих пристроїв і перетворення електромагнітної енергії на тепло також відбувається по всій довжині пристроїв. У таких колах доводиться стикатися з розподіленими по довжині індуктивностями, ємностями, резистивними опорами, тому вони називаються колами з розподіленими параметрами.

Струм і напруга на виході скільки завгодно малої ділянки (відрізка) кола з розподіленими параметрами не дорівнюють відповідно струму і напрузі на його вході і відрізняються як по величині, так і по фазі. Таким чином, струм і напруга в будь-якій точці кола є функціями не тільки часу t, але і просторових координат (наприклад, відстані від одного з кінців кола х).

Відмітимо, що розподіл кіл на два класи – із зосередженими і розподіленими параметрами, достатньо умовний. Одне і те ж коло слід розглядати як систему із зосередженими або розподіленими параметрами залежно від частоти, на якій воно працює. Дійсно, якщо на вході кола діє гармонійний сигнал, то через кінцеву швидкість поширення електромагнітних коливань (близьку до швидкості світла) збурення від джерела за час, рівний періоду коливання Т, пройде відстань, яка дорівнюе довжині хвилі електромагнітного коливання:  = cT = c/f, де с – швидкість світла; f – частота коливання.

При довжині кола, співпадаючій з довжиною хвилі коливання, зміна миттєвого значення напруги в кінці кола запізнюється на цілий період в порівнянні зі зміною миттєвого значення напруги джерела. У колах, довжина яких l >, запізнювання може складати велику кількість періодів. Отже, якщо довжина кола співрозмірна або значно перевищує довжину хвилі електромагнітного коливання, що розповсюджується в ній, то напруга (струм) є функцією часу і відстані від початку кола. Таке коло є системою з розподіленими параметрами.

Якщо довжина кола набагато менша довжини хвилі, то зміни напруги в будь-якій точці в кінці кола відбуваються одночасно із зміною миттєвого значення напруги джерела. Ніякого запізнювання в такому колі немає: напруга (струм) є тільки функцією часу. Це коло можна вважати системою із зосередженими параметрами.

Надалі з широкого класу кіл з розподіленими параметрами розглядатимемо так звані довгі лінії, призначені для передачі електромагнітної енергії на відстань і що мають довжину, що перевищує довжину хвилі електромагнітних коливань. До них відносяться двохпровідні повітряні лінії зв'язку, симетричні і коаксіальні кабельні лінії провідних систем зв'язку, фідери, що пов'язують радіопередавачі з антенами і т. д. При цьому вважатимемо, що конструктивні дані довгої лінії (матеріал і діаметр її проводів, їх взаємне розташування) і її параметри зберігаються незмінними по довжині лінії. Такі довгі лінії називаються однорідними.

Метою вивчення однорідних довгих ліній є аналіз розподілів напруги і струмів уздовж лінії. У основі аналізу лежить уявлення про довгу лінію як про коло з нескінченно великою кількістю нескінченно малих по величині пасивних елементів, розподілених рівномірно по її довжині.

2. Рівняння передачі однорідної лінії

Первинні параметри. Довгі лінії можуть мати різноманітну конструкцію. Так, двохпровідна повітряна лінія складається з паралельних неізольованих проводів, укріплених за допомогою ізоляторів на спеціальних опорах. Симетричне кабельне коло є двома ізольованими скрученими один з одним дротами, які створюють так звану пару. Скручені між собою пари (або четвірки), поміщені в металеву або пластмасову захисну оболонку, утворюють симетричний кабель.

Електричні властивості довгої лінії характеризуються первинними параметрами, тобто параметрами, віднесеними до одиниці довжини лінії (1 км в лініях дротяного зв'язку і 1 м в лініях радіозв'язку). Первинними параметрами є: резистивний опір одиниці довжини лінії R_0, індуктивність одиниці довжини лінії L_0, ємність одиниці довжини лінії С₀ і провідність ізоляції одиниці довжини лінії G₀.

Опір R₀ – це опір проводів лінії одиничної довжини. Наприклад, опір проводів двохпровідної повітряної лінії на постійному струмі на одиницю довжини дорівнює

Ом/км (1)

де  – питомий опір матеріалу проводів при температурі t^o = 20°С, Оммм²/м; l – довжина лінії, м; S – площа поперечного перетину дроту, мм²; r – радіус проводу, мм.

При температурах, відмінних від 20°С, опір проводів зростає і обчислюється за формулою

R_t^o = R₀ [1 + _t (t^o – 20°)], (2)

де _t — температурний коефіцієнт, 1/град; t^o–температура, °С. Наприклад, опір двохпровідної мідної лінії довжиною 1 км (кілометричний опір) з проводів діаметром 4 мм при температурі t^o = 20°С для частоти f = 0 складає 2,84 Ом/км.

Наявність поверхневого ефекту (витіснення струму з внутрішніх шарів провідника на його поверхню при збільшенні частоти) приводить до збільшення опору R із зростанням частоти.

Індуктивність L₀ визначається відношенням магнітного потоку, що з’єднується з контуром одиничної довжини, до струму, що викликає цей потік. Індуктивність лінії складається із зовнішньої і внутрішньою індуктивностей. Перша визначається геометричними розмірами лінії і не залежить від частоти; друга залежить від матеріалу проводів, їх діаметру і частоти.

Індуктивність двохпровідної повітряної лінії на одиницю довжини при змінному струмі визначається за формулою

L₀ = Гн/км. (3)

де а – відстань між осями проводів, r – радіус проводу, Q(x) – коефіцієнт, якій враховує внутрішню індуктивність лінії,  – магнітна проникність матеріалу проводів.

Ємність С визначається відношенням заряду, який приходиться на одиницю довжини лінії, до напруги між проводами лінії.

Для двохпровідної лінії ємність на одиницю довжини (Ф/км) визначається за формулою

С₀ =, Ф/км, (4)

де  – діелектрична проникність речовини в просторі між проводами; l_пр – відстань між осями проводів. Наприклад, кілометрична ємність повітряного двохпровідного мідного кола (для повітря  = 1) із проводів діаметром 2r = 4 мм і відстанню між проводами l_пр = 200 мм складає 7,4 нФ/км.

Провідність G₀ обумовлена недосконалістю ізоляції і є активною складовою провідності ізоляції між проводами, віднесену до одиниці довжини лінії. Для повітряної лінії провідність ізоляції залежить від кліматичних умов (вологості, температури та ін.), чистота поверхонь ізоляторів і т. д.

Провідність ізоляції зростає із зростанням частоти (особливо для кабельних кіл) за рахунок збільшення втрат в діелектрику. Для повітряних кіл провідність

G₀ = G + k_п f , См/км, (5)

де G – провідність ізоляції на постійному струмі; k_п – коефіцієнт, що враховує втрати в діелектрику при змінному струмі; f – частота.

Після введення первинних параметрів можна уточнити поняття однорідної довгої лінії. Однорідною називається така лінія, первинні параметри якої незмінні на всій її довжині.

Рівняння передачі однорідної лінії. Знайдемо розподіли напруги і струму в лінії по її довжині і в часі.

Виділимо елементарну ділянку лінії довжиною х, що знаходиться на відстані х від початку лінії (рис. 12.1). Її еквівалентну схему можна приблизно представити у вигляді послідовно включених опору Rx і індуктивності Lx і паралельно включених активній провідності Gx і ємності Сх.

Таким чином, лінія розглядається як коло з нескінченною кількістю ланок, електричні параметри яких нескінченно малі. При прагненні х до нуля точність такого уявлення зростає. Напруга і струми, їх зміни на ділянці лінії показані на рис. 12.1. Зменшення напруги Рисунок 12.1 в кінці ділянки лінії х в порівнянні з його початком викликане падінням напруги на індуктивності Lх і опорі Rх. Тому

– и = Lx + Rхi. (6)

Тут і далі використовуються приватні похідні, оскільки напруга і струм є функціями змінних t і х.

Зменшення струму на ділянці x відбувається за рахунок відгалуження струму через ємність Сx і провідність ізоляції Gx. Нехтуючи зміною напруги як величиною другого порядку меншості, можна написати

– i = Cx + Gхu. (7)

Розділивши обидві частини рівнянь (6) і (7) на x: і перейшовши до межі при x0, отримаємо диференціальні рівняння лінії:

(8)

Ці рівняння називаються телеграфними, оскільки вперше були отримані для лінії телеграфного зв'язку.

Вважатимемо, що в лінії має місце режим сталих гармонійних коливань. Оскільки закон зміни напруг і струмів в часі відомий, то із диференціальних рівнянь (8) залишається знайти лише закони зміни амплітуд і фаз напруг і струмів з відстанню х.

Використовуючи символічний метод аналізу гармонійних коливань при розв’язанні системи телеграфних рівнянь (8), в результаті отримаємо рівняння для визначення комплексних амплітуд напруги U_x і струму I_x в довільній точці х довгої лінії

(9)

де і– напруга і струм на початку лінії. Це і є рівняння передачі однорідної довгої лінії. Параметри і отримали назву коефіцієнта поширення і хвилевого опору лінії:

 = , (10)

Ż_В = (11)

2. Падаючі і відбиті хвилі

Позначимо в рівняннях передачі (8) =(/2 і/2. З урахуванням цих позначень запис рівнянь передачі однорідної довгої лінії через комплексні амплітуди спроститься і матиме вигляд

_пад + _{х отр};

_{пад отр} . (12)

Як бачимо, напруга і струм складаються з сум двох доданків. Перші доданки зменшуються зі збільшенням відстані від початку лінії х, другі зростають. Складається враження про існування в лінії двох типів хвиль: падаючої і відбитої.

Визначимо співвідношення між падаючими і відбитими хвилями в кінці лінії. Вважаючи в (12) х = l і позначаючи напругу і струм в кінці лінії і , отримуємо = _пад + _отр; =_пад + _отр. Ці рівності відповідно до позначень, прийнятих в (12), і з урахуванням того, що = (– опір навантаження лінії), можна переписати таким чином:

= _пад + _отр

=_пад – _отр

Додаючи ці рівності і віднімаючи від першого друге, маємо

_пад = і _отр = .

Відношення комплексної амплітуди напруги відбитої хвилі до комплексної амплітуди напруги падаючої хвилі називається коефіцієнтом відбиття по напрузі:

p_u = (13)

Коефіцієнт відбиття по напрузі показує, яку частину амплітуди падаючої хвилі в кінці лінії складає амплітуда відбитої хвилі. Амплітуда відбитої хвилі струму

_отр = (14)

В той же час _отр = _пад, де – коефіцієнт відбиття по струму. Звідси бачимо, що =, тобто коефіцієнт відбиття по струму дорівнює за значенням і протилежний за знаком коефіцієнту відбиття по напрузі.

4. Вторинні параметри однорідної лінії

Хвилевий опір. Одним з вторинних параметрів однорідної лінії є хвилевий опір лінії, визначуваний через первинні параметри формулою (11)

Ż_В = (15)

При ω = 0 і, тобто хвилевий опір чисто активний. Такий самий характер має при ω  : =.

Для всіх реально існуючих кіл R₀/G₀>L₀/C₀, тому модуль хвилевого опору із збільшенням частоти зменшується, прагнучи до величини . Кутзмінюється від нульового значення приω = 0 до нульового значення при ω  . Отже, на якійсь частоті він матиме максимум. Можна показати, що кут на всіх частотах є негативним. На рис. 12.2 показані графіки частотних залежностей модуля і кута хвилевогоопору однорідної лінії.

Фізичнохвилевий опір довгої лінії виражає співвідношення між амплітудами і фазами напруги і струму падаючої (відбитою) хвилі в будь-якій точці лінії. При цьому

Малюнок 12.2

(16)

звідки

і_В = _{uх ПАД} – _{ix пад} . (17)

Як бачимо, хвилевий опір не залежить від довжини лінії – він постійний в будь-якій точці лінії.

Узгоджене включення лінії. Розглянемо режим роботи лінії, коли =, В цьому випадку коефіцієнти віддзеркалення== 0 і відбиті хвилі напруги і струму будуть відсутні (_отр = 0 і _отр= 0).

Напруга і струм в будь-якій точці лінії, у тому числі і на вході (х= 0), визначатимуться тільки падаючими хвилями _пад/_пад = _ВХ, тобто вхідний опір такої лінії дорівнює її хвилевому опору. Таким чином, хвилевий опір лінії є аналогом характеристичного (власного) опору симетричного чотириполюсника.

Вказаний режим роботи лінії є режимом узгодженого включення. При цьому вся енергія поглинається в кінці лінії опором навантаження. Цей режим роботи найбільш вигідний для передачі сигналів зв'язку, оскільки відбиття енергії від навантаження приводить крім збільшення робочого ослаблення лінії до появи так званих ехо-сигналів, що накладаються на основний сигнал і спотворюють його.

Коефіцієнт поширення. До вторинних параметрів лінії відноситься також коефіцієнт поширення, введений в розгляд формулою (10):

 = = + j.

У режимі узгодженого включення лінії маємо: або

(18)

Звідси

иx = _u1 – _ux = _i1 – _ix. (19)

Для відрізка лінії одиничної довжини (1 км, 1м і т. д.) можна записати:

 = lnln

 = _u1 – _ux = _i1 – _ix.

Дійсна частина коефіцієнта поширення  характеризує зміну напруги і струму за абсолютною величиною при поширенні енергії на відстань, що дорівнює одиниці довжини лінії. Вона називається коефіцієнтом ослаблення лінії і вимірюється в неперах, віднесених до одиниці довжини лінії (у дротяному зв'язку – Нп/км, в радіозв'язку – Нп/м). При використанні десяткового логарифма замість натурального

 = 20 lg|| =20 lg|

і вимірюється в дБ/км або дБ/м.

Таким чином, коефіцієнт поширення лінії характеризуєзміну напруги і струму за абсолютною величиною і за фазою при поширенні енергії на відстань, що дорівнює одиниці довжини лінії (1 км. або 1 м) в умовах узгодженого включення.

Уявна частина коефіцієнта поширення  характеризується зміною напруги і струму по фазі. Вона називається коефіцієнтом фази лінії і вимірюється в рад/км або рад/м. Замість радіан можуть використовуватися градуси. Коефіцієнт фази  пов'язаний з довжиною хвилі електромагнітного коливання.

Довжиною хвилі  називається відстань між двома суміжними точками, які взяті у напрямі поширення хвилі, і фази в яких відрізняються на кут 2. Отже  = 2 і

 = 2/. (20)

Швидкість переміщення уздовж лінії точки хвилі, фаза коливання в якій залишається постійною, називається фазовою швидкістю хвилі. Для падаючої хвилі умова постійності фази записується у вигляді рівності (ωt - x + ₁) = const. Якщо тепер продиференціювати обидві частини рівності по змінному t, то шукана швидкість

v_ф = (21)

Використовуючи вирази (20) і (21), отримуємо співвідношення між фазовою швидкістю і довжиною хвилі в лінії, так званий фазовий час:

 = 2/ = 2v_ф/ω = v_ф/f = Tv_ф,

звідки

T = (22)

Постійна передачі довгої лінії. При поширенні енергії по лінії в узгодженому режимі () на відстаньl напруга і струм зменшуються в e^l разів, а фази напруги і струму зміняться на величину l.

Величина l описує ослаблення напруги і струму при поширенні енергій по всій довжині лінії і називається характеристичною або хвилевою (власною) постійною ослаблення лінії: а_в = l.

З формули (19) виходить, що

(23)

де S₁ і S₂ – повні потужності на вході і виході лінії. Тому

а_в = ln lnln(24)

Величина b_в = l називається характеристичної або хвилевої (власною) постійної фази лінії.

По аналогії з теорією чотириполюсників величина Г_в = а_в+jb_в є характеристичної (власною) постійної передачі лінії.

Насамкінець відмітимо, що при відсутності узгодження, тобто при умови передачі енергіїпо лінії слід оцінювати величиною робочої постійної передачі Г_р = а_р+jb_р за формулами, отриманими в загальній теорії чотириполюсників, які встановлюють зв’язок між робочим і хвильовим ослабленням однорідної лінії, коли опір генератора і навантаження є резистивними і рівні між собою:

а_р = а_в + 10lg+20lg(25)

де а_в = 8,69l – хвильове ослаблення.