1.2 Класичний метод розрахунку перехідних процесів

У основі класичного методу розрахунку перехідних процесів в електричних колах лежить складання інтегрально-диференціальних рівнянь для миттєвих значень струмів і напруг. Ці рівняння складаються на основі законів Кірхгофа, методів контурних струмів, вузлових напруг і можуть містити як незалежні, так і залежні змінні. Для зручності розв’язання зазвичай прийнято складати диференціальні рівняння щодо незалежної змінної, якою може служити i_L або и_с. Розв’язання отриманих диференціальних рівнянь щодо вибраної змінної і складає суть класичного методу.

Враховуючи, що у ряді випадків розв’язання диференціальних рівнянь простіше інтегрально-диференціальних, отриману систему зводять до одного диференціального рівняння відповідного порядку щодо вибраної незалежної змінної i_L або и_с. Порядок диференціального рівняння визначається кількістю незалежних накопичувачів енергії електричного і магнітного полів, тобто реактивними елементами кола.

Позначимо незалежну змінну (i_L або и_с) через x = x(t).

Диференціальне рівняння m-го порядку, що описує перехідний процес в електричному колі, що знаходиться під впливом джерела w(t), описується рівнянням:

(3)

де b₀, b₁,…, b_m-1, b_m – коефіцієнти параметрів кола; w{t) – функція, що описує характер дії на коло.

Коло, параметри якого b₀, b₁,…, b_m-1, b_m – незмінні, називають колом з постійними параметрами. Якщо ж який-небудь з коефіцієнтів b₀,b₁,…, b_m-1, b_m – змінюється, то коло називають параметричним. Надалі розглядатимемо кола з постійними параметрами.

Диференціальне рівняння (3) відноситься до лінійних неоднорідних рівнянь m-го порядку. Як відомо, його рішення знаходиться як сума загального розв’язку х_в(t) однорідного диференціального рівняння m-го порядку (вільна складова):

(4)

і приватного розв’язку х_вим(t) рівняння (3) (вимушена складова):

х(t) = х_в(t) + х_вим(t). (5)

Загальний розв’язок х_в(t) визначає вільні процеси, які протікають в колі без участі джерела w(t) (звідси індекс «в»). Приватний розв’язок х_вим(t) визначає вимушений процес (звідси індекс «вим»), який протікає в колі під впливом w(t). У теорії електричних кіл х_вим(t) зазвичай знаходять одним з раніше розглянутих методів розрахунку електричних кіл в усталеному режимі.

Вільна складова перехідного процесу х_в(t) залежатиме від характеру коренів характеристичного рівняння:

b_mp^m + b_m-1p^m-1 +...+b₁p + b_o =0. (6)

У разі, коли корені р₁, р_2,..., р_т характеристичного рівняння (6) дійсні і різні, розв’язок (4) має вигляд

х_св = (7)

де А₁, А₂,...,А_т – постійні інтегрування, які знаходяться з початкових умов.

У разі, коли корені рівняння (6) дійсні і рівні, тобто р₁ =р₂ = … =р_т = р, вільна складова визначається рівнянням

х_св = (А₁ + А₂t¹ + A₃t² +…+ A_mt ^(m-1))e ^pt. (8)

Представляє практичний інтерес і випадок, коли корені попарно комплексно-спряжені p_k,k-1 = – ± j_c. При цьому у формулі (7) відповідна пара коренів p_k,k-1 замінюється складовими вигляду

Aе ^-t sin(_c+ ), (9)

де А, – постійні інтегрування, які визначаються також з початкових умов.