Вопросы

для экзамена по алгебре и геометрии

1 Курс, спец. Программное обеспечение

Основные понятия и обозначения теории систем линейных уравнений.
Элементарные преобразования системы линейных уравнений.
Ступенчатая матрица. Приведение матрицы к ступенчатому виду.
Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.
Перестановки и их четность.
Подстановки и их четность.
Определение определителя.
Свойства определителей.
Теорема о разложении определителя по элементам ряда.
Способы вычисление определителей.
Правило Крамера.
Матрицы. Операции сложения матриц и умножения матрицы на число и их свойства.
Операция умножения матриц и ее свойства.
Транспонирование матриц.
Теорема об определителе произведения матриц.
Обратная матрица. Необходимое и достаточное условие ее существования.
Матричные уравнения и системы линейных уравнений.
Элементарные матрицы. Вычисление обратной матрицы методом элементарных преобразований.
Определение векторного пространства. Примеры и простейшие свойства векторных пространств.
Подпространства.
Линейная зависимость и независимость систем векторов и их свойства.
Базис векторного пространства. Теорема о базисах.
Матрица перехода от одного базиса к другому. Формулы преобразования..
Геометрические векторы.
Операции сложения векторов и ее свойства. умножения вектора на число и их свойства.
Операции умножения вектора на число и ее свойства.
Условие коллинеарности векторов. Базис векторов на плоскости.
Условие компланарности векторов. Базис векторов в пространстве.
Скалярное произведение векторов и его свойства.
Векторное произведение векторов и его свойства.
Смешенное произведение векторов и его свойства.
Аффинные системы координат на плоскости и в пространстве.
Основные задачи, решаемые в аффинных системах координат.
Формулы преобразования аффинной систем координат
Прямоугольные системы координат на плоскости и в пространстве.
Основные задачи, решаемые в прямоугольных системах координат.
Формулы преобразования прямоугольной системы координат
Полярная система координат.
Цилиндрическая система координат.
Сферическая система координат.
Уравнение линии на плоскости. Основные задачи аналитической геометрии на плоскости.
Различные уравнения прямой.
Взаимное расположение двух прямых на плоскости.
Угол между прямыми. Условие перпендикулярности двух прямых на плоскости.
Расстояние от точки до прямой.
Геометрический смысл неравенства Ax + By + C  0.
Эллипс. Каноническое уравнение эллипса.
Исследование эллипса по каноническому уравнению. Эллипса и окружность. Эксцентриситет эллипса. Параметрические уравнения эллипса.
Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы.
Исследование гиперболы по каноническому уравнению. Асимптоты гиперболы по каноническому уравнению.Равносторонняя гипербола. Эксцентриситет гипербол.
Парабола. Каноническое уравнение параболы. Исследование параболы по каноническому уравнению.
Директориальные свойства эллипса, гиперболы и параболы.
Уравнение кривой второго порядка в полярной системе координат
Конические сечения.
Уравнения поверхности в пространстве. Уравнение сферы.
Различные уравнения плоскости.
Взаимное расположение плоскостей. Углы между плоскостями.
Расстояние от точки до плоскости. Геометрический смысл неравенства Ax + By + Cz + D  0.
Различные уравнения прямой в пространстве.
Взаимное расположение прямых и плоскостей. Углы между прямыми.
Расстояние между двумя прямыми.
Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве.
Основная теорема о двух системах векторов.
Базис и ранг системы векторов. Теоремы о базисах
Эквивалентные системы векторов и их свойства.
Ранг матрицы. Вычисление ранга матрицы методом элементарных преобразований.
Теорема о ранге матрицы. Следствия из теоремы о ранге матрицы. Вычисление ранга матрицы. методом окаймления миноров.
Теорема Кронекера-Капелли.
Однородная система линейных уравнений Фундаментальная система решений
Структура решений системы линейных уравнений.
Скалярное произведение в векторных пространствах. Определение, простейшие свойства и примеры евклидова пространства.
Неравенство Коши - Буняковского. Норма вектора и ее свойства.
Матрица Грама скалярного произведения и ее свойства.
Ортогональная система векторов. Процесс ортогонализации. Ортогональный и ортонормированный базис.
Ортогональное дополнение.
Связь между матрицами линейного оператора в различных базисах.
Операции над линейными операторами.
Характеристическое уравнение линейного оператора.
Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, и их связь с корнями характеристического уравнения.
Линейные операторы с простым спектром.
Сопряженные операторы евклидовых пространствах и их свойства.
Самосопряженные операторы.
Ортогональные матрицы и их свойства.
Ортогональные операторы и их свойства.
Билинейная форма и ее свойства.
Квадратичная форма. Матрица квадратичной формы. Преобразование координат.
Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Метод Лагранжа.
Закон инерции квадратичных форм.
Приведение квадратичной формы к каноническому виду по методу собственных значений.
Критерий Сильверста положительной определенности квадратичной формы.
Поверхности второго порядка в пространстве R³ .
Поверхности вращения.
Цилиндрические поверхности.
Конические поверхности.
Эллипсоиды.
Однополостные гиперболоиды и его прямолинейные образующие.
Эллиптические параболоиды.
Гиперболические параболоиды и его прямолинейные образующие.
Классификация кривых второго порядка.
Классификация поверхностей второго порядка.
Приведение кривой второго порядка и поверхности второго порядка к каноническому виду по методу собственных значений.