8. Вычислить определитель.

8. Решить уравнения и неравенства.

8. Решить системы линейных уравнений по правилу Крамера.

.

8. Решить системы линейных уравнений по правилу Крамера.

.

17) Выполнить действия над матрицами

18) Выполнить действия над матрицами

19) Найти значение многочлена f(A) от матрицы A.

20) Найти все матрицы второго порядка, удовлетворяющие условию: перестановочные (AB=BA) с матрицей ;

21) Найти все матрицы второго порядка, удовлетворяющие условию: квадрат которой равен нулевой матрице.

22) Найти все матрицы второго порядка, удовлетворяющие условию: квадрат которой равен единичной матрице.

23) Вычислить обратные матрицы методом присоединенной матрицы и методом элементарных преобразований

24) Вычислить обратные матрицы методом присоединенной матрицы и методом элементарных преобразований

25. Решить матричные уравнения:

25. Решить матричные уравнения:

27) Решите систему линейных уравнений матричным способом

.

28) Решите систему линейных уравнений матричным способом

.

29. Определить являются ли векторными (линейными) пространствами над R множество всех радиус векторов плоскости с началом в начале координат с обычными операциями сложения и умножения на число?

30. Определить являются ли векторными (линейными) пространствами над R множество всех радиус векторов плоскости с началом в начале координат, а с концами на прямой, не проходящей через начало координат, с обычными операциями сложения и умножения на число?

31. Определить являются ли векторными (линейными) пространствами над R множество всех комплексных чисел с обычными операциями сложения и умножения на число?

32. Определить являются ли векторными (линейными) пространствами над R множество всех треугольных матриц порядка n с обычными операциями сложения и умножения на число?

33. Определить являются ли векторными (линейными) пространствами над R множество всех вырожденных матриц порядка n с обычными операциями сложения и умножения на число?

34. Определить являются ли векторными (линейными) пространствами над R множество всех четных функций, определенных на R, с обычными операциями сложения и умножения на число?

35. Определить являются ли векторными (линейными) пространствами над R множество всех монотонно возрастающих функций, определенных на R, с обычными операциями сложения и умножения на число?

36. Определить данная система векторов линейно зависима или линейно независима.

29. Определить данная система векторов линейно зависима или линейно независима.

30. 

31. Из данной системы векторов выберите максимально линейно независимую подсистему.

32. Найти все базисы системы векторов.

29. Найти какой-нибудь базис и ранг системы векторов и выразить векторы, не входящие в базис через векторы базиса.

29. Найти матрицу перехода от базиса v =(v₁, v₂) к базису u =(u₁, u₂) пространства R² и найти координаты вектора x относительно первого и второго базисов.

29. Найти матрицу перехода от базиса v =(v₁, v₂, v₂) к базису u =(u₁, u₂, u₂) пространства R³ и найти координаты вектора x относительно первого и второго базисов.

29. В параллелепипеде ABCDA'B'C'D' векторы a, b, с представлены ребрами построить векторы

1. a + b + с; 2) (1/2)a +(1/2) b - с; 3) -a - b + (1/2)с; 4) 2a - b + 2с.

29. В треугольнике ABC медианы AD, BE, CF пересекаются в точке О, М - любая точка пространства. Доказать, что

построить векторы

46) Доказать, что для любых векторов a, b, с данные векторы компланарны a +2 b- c, 3a-b+c, - a + 5b- 3c.

29. В кубе ABCDA'B'C'D' точка О точка пересечения диагоналей куба, E  AA', AE = (1/4)AA', векторы базиса e₁, e_2, , e₃ представлены соответственно направленными отрезками . Найти координаты векторов в данном базисе .

47) Коллинеарны ли векторы: 1) a = (3,-4,5), b= (-9,12,15); 2) a = (0,1;0,5;-2), b= (-2,-10,20).

48) Компланарны ли векторы: 1) a = (-1,2,3), b= (4,-5,1), с= (2,-1,5); 2) a = (4,2,3), b= (1,-1,2), с= (4,5,1).

50. Доказать, что векторы a, b,с образуют базис векторов в пространстве и выразить вектор m через векторы базиса.

a = (1,-2,-1), b= (2,1,2), с= (1,-1,-1) , m= (2,-1,10).

50. В треугольнике ABC со стороной единица . Построить векторы a, b, с и разложить вектор с по векторам a, b, если возможно, геометрически и алгебраически

a = (2,3), b= (2,1), с= (-2,1).

50. В кубе ABCDA'B'C'D' со стороной единица . Построить векторы a, b, с и разложить вектор с по векторам a, b, если возможно, геометрически и алгебраически a = (1,0,2), b= (0,2,2), с= (-2,2,-2).

51. Векторы a, b образуют угол  = (2/3). Зная, что a=3, b=4, вычислить: (a-2b)(a+2b); 3a+5b ; cos (a-2b,a+2b).

52. Даны векторы a = (-1,2,1), b= (1,1,-2). Вычислить: (a-2b)(a+2b); 3a+5b ; cos (a-2b,a+2b).

53. Вычислить косинус угла между векторами a, b : a = (1,0,2), b= (0,2,2).

54. Найти угол B треугольника ABC: A(-1,3,-7), B(2,-1,5) , C(0,1,-5).

55. Найти вектор x, коллинеарный вектору a = (-5,2,1) и удовлетворяющий условию ax =3.

56. Найти вектор x, перпендикулярный векторам a = (2,3,-1), b= (1,-2,3) и удовлетворяющий условию (2,-1,1)x =-6.

57. Даны векторы a =(3,-6,-1), b=(1,4,-5), c=(3,-4,12). Найти пр_с+b(a + b).

58. Векторы a, b образуют угол  = (2/3). Зная, что a=3, b=4, вычислить: (a-2b)(a+2b).

59. Доказать для любых векторов a и b: 1) (ab)² + (ab)² = a²b² ; 2) (ab)²  a²b².

60. Даны векторы a = (-1,2,1), b= (1,1,-2). Вычислить: (a-2b)(a+2b).

61. Найти площадь тр-ка ABC и длину высоты BH: A(1,-1,2), B(5,-6,2) , C(1,3,-1).

62. Вычислить смешенное произведение abс векторов a, b и с: a = (1,-2,-1), b= (2,1,2), с= (1,-1,-1) .

63. Установить компланарны ли векторы? a =(3,-2,1), b=(2,1,2), c=(3,-1,-2).

64. Доказать, что четыре точки A(1,2,-1), B(0,1,5) , C(-1,2,1) , D(2,1,3) лежат в одной плоскости.

65. Вычислить объем и высоту DH тетраэдра ABCD: A(2,3,1), B(4,1,-2) , C(6,3,7) , D(-5,-4,8).

66. Дана пирамида ABCD. Найти: длины ребер AB, AC, AD; площадь грани ABС; угол меду ребрами AD и BC; объем пирамиды; длину высоты DН; двугранный угол между при ребре AB.

1) A(1,2,3), B(-2,4,1), C(7,6,3), D(4,-3,-1); 2) A(1,2,0), B(3,0,-3), C(5,2,6), D(8,4,-9).

50. Дана треугольник ABC. Найти: длины сторон AB, AC; площадь треугольника, угол A.: A(-1,-2,4), B(-4,-2,0), C(3,-2,1).

51. Доказать, что три точки лежат на одной прямой: A(1,--5,3), B(5,-1,7), C(6,0,8).

52. Отрезок с концами A(2,0,2), B(5,-2,0) разделен на три равные части. Найти координаты точек деления.

53. Дана треугольник ABC. Найти длину медианы, проведенной из вершины A: A(3,-1,5), B(4,2,-5), C(-4,0,3).

54. Дана треугольник ABC. Найти длину биссектрису его внутреннего угла при вершине A: A(1,-1,5), B(2,1,-2), C(-5,2,-6).

55. Дана четырехугольник ABCD. Найти площадь четырехугольника: A(7,2.1), B(1,9,3), C(-8,11,0) , D(-1,11,10).

56. Дана треугольник ABC. Найти координаты центра и радиус описанного около его круга: A(3,-6), B(9,-10), C(-5,4).

57. В треугольнике ABC найти медиану высоту и биссектрису проходящие через вершину А: A(0,0), B(8,0), C(0,6).

58. В треугольнике ABC найти биссектрису внешнего угла при вершине В: A(3,-5), B(1,-3), C(4,5).

59. Дана четырехугольник ABCD. Найти определить точку пересечения его диагоналей АС и ВD: A(-2,14), B(4,-2), C(5,-4), D(5,8).

60. Дана плоский четырехугольник ABCD. Найти координаты его центра тяжести: A(2,1), B(5,3), C(-1,7), D(-7,5).

61. Найти координаты центра тяжести треугольника, если даны координаты его вершин A(2,5,0), B(1,3,8), C(5,1,12).

62. Написать формулы преобразования координат при переходе от системы координат (O, i, j, k) к системе координат (O', e₁, e₂, e₃), и обратно, найти координаты точки A(1,-1,3) в новой СК, если 1) O'(5,8, 1), e₁ = (1,2,3), e₂= (2,3,1), e₃= (3,1,2).

63. Написать формулы преобразования координат при повороте ее на угол . Найти в новой системе координат координаты точек A(3,1), B(-1,5), C(-3,-1). 1) = -45⁰; 2) = -90⁰; 3) = -90⁰; 4) = 60⁰.

64. Определить координаты этих точек в прямоугольной системе координат. Найти площадь треугольника РАВ.

Даны сферические координаты точек . Определить координаты этих точек в прямоугольной системе координат.

84) Написать уравнение прямой L, проходящей через точку M₀ и нормальный вектор n. Привести его к общему виду и найти расстояние от начала координат до данной прямой. Написать для полученной прямой L уравнение прямой с угловым коэффициентом и в отрезках на осях:M₀(4,0), n(-3,0); 5) M₀(-6,-4), n(-2,5).

85) Написать уравнение прямой L, проходящей через точку M₀ и направляющий вектор s. Привести его к общему виду и найти расстояние от точки М₁ до данной прямой. Написать для полученной прямой L уравнение прямой с угловым коэффициентом и в отрезках на осях: M₀(4,0), s(-3,0) , М₁(0,6).

86) Написать уравнение прямой L, проходящей через две точки M₁, M₂. Привести его к общему виду. Найти нормальный и направляющий векторы прямой. Найти расстояние от начала координат до данной прямой L. Написать для полученной прямой L уравнение прямой с угловым коэффициентом и в отрезках на осях: M₁(7,-2), М₂(5,6).

87) Найти расстояние от точки М до прямой L. Написать уравнения прямых, проходящих через точку М параллельно и перпендикулярно заданной прямой L.

1) L: -2x + y - 1 = 0, М(-1,2); 2) L: 2x + 1 = 0, М(1,4); 3) L: x + y - 1 = 0, М(4,-10); 4) L: -4x + 3y - 1 = 0, М(5,20).

88) Исследовать взаимное расположение заданных пар прямых L₁, L₂. Найти расстояние между прямыми, косинус угла между прямыми и точку пересечения прямых: L₁: x + 2y + 1 = 0, L₂: 2x - 4 y - 2 = 0.

89) В треугольнике ABC найти: уравнение стороны AB; уравнение высоты CD; длину высоты CD; медианы BM; угол между высотой CD и медианой BM; уравнения биссектрис внутреннего и внешнего углов при вершине A; центр и радиус описанной окружности: A(1,-2), B(11,0), C(3,11);

90) Написать уравнения прямых, проходящих через точку M₀ на одинаковом расстоянии от точек M₁, М₂: M₀(1,-1), M₁(3,3), М₂(-7,9).

91) Найти на прямой 2x - y - 5 = 0 такую точку С, чтобы сумма расстояний до точек А(-7,1) и В(-5,5) была наименьшей.

92) Написать уравнения сторон треугольника ABC, если задана его вершина A(1,4) и уравнения двух медиан x - 2y + 1 = 0 и y - 1 = 0.

93) Написать уравнения сторон треугольника ABC, зная его вершину B(3,7), а также уравнения высоты x - 7y + 15 = 0 и биссектрисы 7x + y + 5 = 0, проведенные из одной вершины.

94) Установить, какой из углов - острый или тупой, образованных прямыми 3x - 5y - 4 = 0, x + 2y + 3 = 0 содержит точку М(2,5).

95. Доказать, что следующее уравнение определяет окружность, найти центр и радиус окружности: x² +y² -6x -2y -20 = 0.

96. Написать уравнение окружности с центром в точке С радиуса R , M₁, М₂, M₃ - точки на окружности, если

C(1,-1), прямая 5x + 12y + 6 = 0 касается окружности.

95. Составить уравнения касательных к данной окружности параллельных и перпендикулярных данной прямой.

x² +y² -2x +4y = 0, x - 2y + 9 = 0.

95. Построить эллипс. Найти его полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения директрис 5x² +9y² -30x +18y +9 = 0.

96. Построить гиперболу. Найти его полуоси, координаты фокусов, эксцентриситет, уравнения асимптот и директрис. 9x² -16y² +90x +32y-367 = 0.

97. Построить параболу. Найти ее параметр, координаты фокуса, уравнение директрисы. y² +6x-4= 0.

98. Написать каноническое уравнение эллипса, если 1) c = 2, 2a/ = 5; 2) 2a/ = 32,  = 1/2.

99. Написать каноническое уравнение гиперболы, если 1) a = 8,  = 5/4; 2) c = 10, асимптоты y=4/3x.

100. Написать каноническое уравнение параболы, если

1) p = 2; 2) p = 1/2; 3) p = 4.