Главный момент инерции относительно оси u всего сечения:

см⁴

Определим главный момент инерции относительно оси ν:

.

Момент инерции полосы относительно оси ν:

,

где ,

Момент инерции швеллеров относительно оси ν:

см⁴,

гдеJ_y2 = 327см²(см. приложение 5), см.

Главный момент инерции относительно оси ν всего сечения:

К задачам 21-30 следует приступить после изучения тем «Растяжение и сжатие».

Для построения эпюр надо применять метод сечений.

Чтобы хорошо запомнить четыре операции, которые этот метод содержит, рекомендуется поставить слово «роза» в винительном падеже, т.е. написать РОЗУ, тогда каждая буква этого слова будет означать содержание определенной операции метода сечений.

Р – разрезаем в произвольном месте нагруженный брус на две части,

О – отбрасываем одну какую–нибудь часть бруса и рассматриваем другую оставшуюся часть вместе с нагрузками, действующими на нее,

З – заменяем действие отброшенной части бруса на оставшуюся внутренними силами упругости, изображая в сечении не сами эти силы, а их статические эквиваленты или, другими словами, внутренние силовые факторы, к которым, по правилам статистики, приводятся внутренние силы упругости,

У – уравновешиваем оставшуюся часть бруса с действующими на него нагрузками статическими эквивалентами внутренних сил упругости, и, решая уравнения равновесия, находим их.

При работе бруса на растяжение и сжатие в его поперечных сечениях возникает нормальная сила N. Нормальная сила в произвольном поперечном сечении бруса численно равна алгебраической сумме проекций на его продольную ось всех внешних сил, действующих на отсеченную часть N=∑Fi.

Для расчета на прочность и определения перемещений необходимо знать закон изменения продольных сил по его длине. Правило знаков: при растяжении продольная сила положительна, при сжатии – отрицательна. Условие прочности при растяжении и сжатии имеет вид , где σ,N – соответственно нормальное напряжение и нормальная сила в опасном сечении (т.е. в сечении, где возникают наибольшие напряжения), S – площадь поперечного сечения, [σ] – допускаемое напряжение.

ПРИМЕР 3. Для данного ступенчатого бруса построить эпюры нормальных сил и нормальных напряжений. Определить перемещение свободного конца бруса, если E=2·10⁵ МПа, F₁=30 кН, F₂=38 кН, F₃=42 кН, S₁=1,9 см²=1,9 · 10² мм² ; S₂=3,1 · 10² мм².

Проверить прочность бруса и указать, насколько (в процентах) брус недогружен или перегружен (рис 3), если [σ]=160 МПа.

РЕШЕНИЕ:

1. Разбиваем брус на участки, как показано на рис. 3.

2. Определяем ординаты эпюры N на участках бруса.

N_I=0; N_II=F₁=30 кН; N_III=F₁=30 кН; N_IV=F₁-F₂=30-38= - 8 кН;

N_V=F₁-F₂-F₃=30-38-42= - 50 кН.

Рис. 3

Строим эпюру нормальных сил (рис 3, б).

3. Вычисляем ординаты эпюры нормальных напряжений:

Строим эпюру нормальных напряжений (рис 3, в)

4. Вычисляем ординаты эпюры нормальных напряжений:

Брус удлиняется на 0,23 мм.

5. Определяем процент перегрузки:

К задачам 31-40 приступать после изучения темы «Кручение».

Крутящие моменты в поперечных сечениях вала определяются с помощью метода сечений. Зачастую при решении задач внешние вращающие моменты, передаваемые валом, бывают неизвестны, а задаются передаваемые мощности. В этом случае вращающие моменты легко могут быть найдены по формуле

,

где P– мощность [Вт], ω – угловая скорость вращения вала [рад/с].

Если задана частота вращения вала, то угловую скорость можно найти по формуле:

.

Будем считать крутящий момент положительным, если для наблюдателя, смотрящего на проведенное сечение, он представляется направленным по часовой стрелке. Соответствующий внешний момент направлен против часовой стрелки (рис.4).

Рис.4

ПРИМЕР 4. Для заданного стального бруса (рис.5):

Рис.5

1. построить эпюру крутящих моментов,

2. подобрать размеры сечения в двух вариантах:

а) круга,

б) наружного диаметра.

Сравнить массы брусов по обоим расчетным вариантам.

Принять [τ]=30 МПа. Соответствующие мощности равны 9кВт, 15 кВт, 3 кВт, частота вращения вала 95,5 об/мин.

РЕШЕНИЕ:

1. Найдем угловую скорость

2. Определяем значение моментов М₁, М₂, М₃.

3. Строим эпюру крутящих моментов, применяя метод сечений. Проводя мысленно сечение в пределах каждого из участков, будем отбрасывать правую закрепленную часть бруса и оставлять для рассмотрения левую часть:

4. Определим размеры поперечного сечения бруса из условия прочности при кручении.

а) круг

Принимаем d = 54 мм.

б) кольцо

.

Принимаем d₁=64 мм.

Тогда d₀= 0,8^.d₁ = 51,2 мм.

5. Сравним затраты материала по обоим вариантам. Отношения масс брусьев одинаковой длины равно отношению площадей их сечений.

.

Следовательно, брус круглого сечения тяжелее кольцевого примерно в 2 раза.

Задачи 41-50 решаются после темы «Изгиб».

Значительное количество деталей механизмов или элементы этих деталей в процессе работы подвергаются воздействию нагрузки, перпендикулярной к продольной оси, или пар сил, действующих в плоскости, проходящей через указанную ось. Такой вид нагружения называется изгибом. Причем изгиб бывает чистый и поперечный.

Изгиб – это такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях бруса возникают изгибающие моменты. Если изгибающий момент является единственным силовым фактором, а поперечные и нормальные силы отсутствуют, то такой изгиб называется чистым. В большинстве случаев в поперечных сечениях бруса наряду с изгибающими моментами возникают поперечные силы. В этом случае изгиб называется поперечным.