3. Означення границі функції і її властивості.

Розглянемо приклади, що розкривають зміст поняття границі функції.

Приклад 3.1. Розглянемо функцію в деякому околі точки. З цього околу виберемо довільну послідовність аргументу, наприклад. Обчисливши значення функціїдля кожного члена послідовності, одержимо послідовність відповідних значень. Очевидно. Виберемо іншу послідовність значень аргументуз того ж самого околу, наприклад,. Складена для неї послідовність відповідних значень заданої функції має вигляд:. Очевидно. Отже, для довільних послідовностей аргументупослідовністьвідповідних значень заданої функціїмає одну і ту ж границю 1.

Приклад 3.2. Розглянемо функцію в околі радіуса 1 якої-небудь цілої точки, наприклад,. Виберемо в лівому півоколі довільну послідовність, наприклад,. Очевиднодля будь-якого. Складемо для неї послідовність відповідних значень заданої функції. Одержимо послідовність, яка має границю 0. Виберемо тепер в правому півоколі довільну послідовність, наприклад,. Очевиднодля будь-якого. Складемо для неї послідовність відповідних значень заданої функції. Одержимо послідовність, яка має границю 1. Таким чином, на відміну від попереднього прикладу для різних послідовностей аргументу, що мають границю 1, послідовності відповідних значень функції,мають різні границі.

Означення 1 ( за Гейне ). Нехай функція визначена в деякому околі точки, за винятком, можливо, самої точки. Числоназивається границею функціїпри(або в точці), якщо для будь-якої послідовності аргументіві такої, що, відповідна послідовністьзначень функції має одну і ту ж границюА.

Символічний запис: .

Як приклад, , а функціяне має границі в точці.

Для доведення деяких властивостей функцій, що мають границю, використовують означення границі функції за Коші:

Означення 2. Число називається границею функціїпри, якщо дляіснує числотаке, що з нерівностейвипливає нерівність.

Можна довести, що означення границі функції за Коші і Гейне рівносильні.

Означення. Число називається лівою (правою) границею функціїпри, якщо для будь-якої послідовності аргументіві такої, що, відповідна послідовністьзначень функції має одну і ту ж границю.

Позначення: ,.

Ліва і права границі називаються односторонніми границями. Очевидно, для того щоб функція примала границю, необхідно і достатньо щоб вона мала ліву і праву границі приі вони були рівні.

Властивості функцій, що мають границю.

Теорема 1. (про обмеженість). Якщо функція має границюпри, то в деякому околі точкивона обмежена.

Теорема 2. (про збереження знаку ). Якщо функція має границюпри, то в деякому околі точкифункція зберігає знак границі.

Зауважимо, що обидві теореми носять локальний характер, тобто виконуються для точок, що лежать поблизу точки .

Також слід зауважити, що для границі функції справедливі арифметичні теореми і теореми порівняння, аналогічні відповідним теоремам про границю послідовності.

Розкриття невизначеностей.

При знаходженні границь функцій (послідовностей) ми користуємось арифметичними теоремами в припущенні, що відповідні границі існують, а для частки з додатковою умовою, що границя знаменника відміна від нуля.

В деяких випадках, що залишились без розгляду ( коли границі функцій ( одна або обидві ) нескінченні чи не існують, або у випадку частки - границя знаменника дорівнює нулю ) можна цілком визначено сказати як поводить себе відповідна функція. Наприклад, якщо ,,, то,,,.

Проте, якщо , то про границю часткиніякого загального твердження ми зробити не можемо. Наприклад, нехай,. Обидві функції припрямують до нуля. Їх відношеннятакож прямує до нуля, коли. Якщо ж, навпаки,,, то. Отже, в залежності від вигляду обох функцій, границя частки може існувати, а може і не існувати. В зв’язку з цим говорять, що мають справу з невизначеністю. А задача знаходження границі в кожному такому випадку називається задачею розкриття невизначеності. Розглянемо найбільш важливі випадки:

а) невизначеність .

Якщо і, то у випадку знаходження границі часткими маємо невизначеність. У випадку, коли функціїтає алгебраїчними, то для розкриття невизначеності в чисельнику і знаменнику слід виділити множник, щоб в подальшому скоротити дріб на цей множник:

1) .

2)

.

В другому прикладі для виділення множника знищили ірраціональність в знаменнику шляхом домноження на спряжений вираз.

б) невизначеність .

Нехай ,при. В цьому випадку виразназивають невизначеністю. Як приклад розглянемо відношення двох многочленів. Вираз,,- ціле невід'ємне число, називається многочленом . Перший доданокназивається старшим членом,- степенем многочлена. Поведінка многочлена, коливизначається поведінкою старшого члена, тобто. Тому:

1) ,

2) ,

3) .

Наведені приклади можна об'єднати в загальне правило:

границя відношення двох многочленів дорівнює , якщо степінь чисельника більший степеня знаменника; дорівнює 0, якщо степінь чисельника менший степеня знаменника, і дорівнює відношенню коефіцієнтів при старших членах, якщо степені чисельника і знаменника рівні, тобто

,

де степені многочленіввідповідно.

в) невизначеність .

Нехай ,при. Тоді вираздає невизначеність. Щоб розкрити невизначеність такого вигляду, потрібно звести її до невизначеностей виглядуабо.

Приклад 3.3 Знайти .

Розв’язування.

.

г) невизначеність .

Розглянемо . Якщо,при, то вираздає невизначеність. Щоб розкрити невизначеність даного вигляду, як і у попередньому випадку слід звести її до невизначеностей виглядуабо.

Завдання для самостійного розв’язування.

3.1 Знайти границі:

а) ; б);

в) ; г);

д) ; е).

3.2 Знайти границі:

а) ; б);

в) ; г);

д). ; е).

3.3 Знайти границі:

а) ; б);

в) ; г);

д) ; е);

є) ; ж).

3.4 Знайти границі:

а) ; б);

в) ; г);

д) ; е).

Відповіді:

3.1 а) б) в)г) д) 0; е) 6;

3.2 а) 0; б) ; в) ; г) д) е)

3.3 а) ; б)в)г) д) е) -5;

є) ; ж) ;

3.4 а) б)в)г) д) -1; е) 0;

Чудові границі.

1) В попередньому параграфі було встановлено, що . Розглянемо функцію. Ця функція існує для всіхкрім. Можна довести, що. Слід звернути увагу на те, що основа степеняпри, а показник степеня. Тобто вираздає невизначеність.

Поклавши , знайдемо. При. У результаті отримаємо ще один запис числа:. Обидва розглянутих співвідношення носять назву першої чудової границі і можуть бути використані для розкриття невизначеності. На практиці широко використовують формулу:

Приклад 3.4 Знайти:

а) ; б).

Розв’язування.

а) .

б)

.

2) Другою чудовою границею називається . Скориставшись даним співвідношенням, можна довести, що

В усіх цих співвідношеннях розглядається відношення двох нескінченно малих величин при умові, що . Отже всі вони можуть бути використані для розкриття невизначеностей, в яких містяться тригонометричні або обернені тригонометричні функції.

Приклад 3.5 Знайти

а) ; б).

Розв’язування.

а) .

б) .

Завдання для самостійного розв’язування.

3.5 Знайти границі:

а) ; б);

в) ; г);

д) ; е);

є) ; ж).

3.6 Знайти границі:

а) ; б);

в) ; г);

д). ; е);

є) . ж).

Відповіді:

3.5 а) ; б) ; в) 1; г); д) ; е);

є) ; ж)e.

3.6 а) ; б) ; в) 2; г); д) ; е) 8;

є) 8 ; ж) 1.