§4. Неперервність функції.
З поняттям границі функції тісно пов’язано і інше важливе поняття математичного аналізу – поняття неперервності функції. Інтуїтивно поняття неперервності функції пов’язано з графіком функції: функція вважається неперервною, якщо її графік можна провести лінією, не відриваючи олівця від паперу. Що ж станеться, якщо зробити в якійсь точці "прокол"? Тоді перпендикуляр, проведений з цієї точки на ось абсцис, не перетне графіка функції, що рівносильно відсутності значення функції в цій точці. Отже перший висновок: неперервна функція повинна мати значення в точці . Нехай тепер, підходячи до точкиз різних сторін, ми залишаємось на "різних рівнях". І в цьому випадку, переходячи через точкуми відриваємо олівець від паперу. Раніше говорилось, що для існування границі функції в точцінеобхідно і достатньо, щоб існували обидві односторонні границі, рівні між собою. Таким чином, для неперервності функції необхідно, щоб в точцііснувала границя. Якщо значення функції в точціне співпадатиме з її границею, то функція теж не буде неперервною. Тому зрозумілі умови, які повинні виконуватись для неперервності функції в точці.
Означення 1. Функція називається неперервною в точці, якщо виконуються наступні умови:
1. функція визначена в околі точки , тобто;
2. функція має границю в точці , тобто;
3. ця границя дорівнює значенню функції в точці , тобто.
Приклад 4.1 Дослідити неперервність в точці функцій:
а) ; б); в).
Розв’язування.
а) В точці функціяне є неперервною, так як порушується перша умова неперервності – існування.
б) В точці функціяне є неперервною – перша умова неперервності виконується,існує (=1 ), проте порушена друга умова – відсутня( точніше, тут існують односторонні границі функції: лівосторонняі правостороння, проте їх значення не співпадають ).
в) В точці функціянеперервна, так як виконуються всі умови неперервності –.
Означення неперервності функції в точці може бути записано і так:, тобто для неперервної функції можливе переставлення символів границі і функції.
Поняття неперервності можна сформулювати і на мові приростів. Приростом аргументу в точціназивається різниця. Звідки. Приростом функціїв точціназивається різниця.
Означення 2 Функція називається неперервною в точці, якщо вона визначена в цій точці і нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції, тобто
.
Приклад 4.2 Довести неперервність функції .
Розв’язування. Розглянемо довільну точку і задамо приріст. Тоді. Знайдемо. Отже за другим означенням неперервності функціянеперервна в довільній точці.
Для функцій, неперервних в точці , справедливі арифметичні теореми:
Теорема 1. Якщо функції танеперервні в точці, то в цій точці неперервні функції,,,.( остання – при додатковій умові, що).
Точки розриву функції, їх класифікація.
Означення. Функція називається розривною в точці, якщо не виконується хоча б одна з умов означення 1 неперервності функції.
В залежності від того, які умови неперервності виконуються чи не виконуються, будемо мати різні точки розриву.
1. Якщо виконується друга умова, а третя чи перша і третя не виконується, то точка називається точкою розриву першого роду ( звичайний розрив ).
2. Якщо в точці розриву не існує хоча б одна з односторонніх границь, то точка називається точкою розриву другого роду.
Якщо точка – точка розриву першого роду і в цій точці існує границя, то точканазивається точкою усувного розриву.
Так в розглянутому прикладі 4.1 функція в точцімає розрив другого роду, так як.