3.1. Применение формул приведения

Пример 82. Решите уравнение .

Решение

Преобразуем уравнение:

Полученное уравнение - однородное,

Разделим обе части уравнения на приходим к уравнению:

Ответ: .

Пример 83. Решите уравнение

.

Решение

I-й способ

Преобразуем уравнение, используя формулы приведения, получим:

Получим совокупность уравнений:

Ответ:

II-й способ

Применим формулы приведения:

- это однородное уравнение второй степени, .

Разделим обе части уравнения на ,.

Пусть tgx = t, тогда получим: .

, .

Ответ: ;.

Пример 84. Решить уравнение .

Решение

Преобразуем уравнение к однородному:

Полученное уравнение - однородное. Разделим обе части этого уравнения на (, ибо, в противном случае, из уравнения следует, что и, что невозможно, так как тогда не будет выполняться основное тригонометрическое тождество). В результате деления на, получим:.

Положим , получим

Ответ:

Пример 85. Решить уравнение .

Решение

Это уравнение не является однородным. Перепишем его иначе:

. Умножим левую часть уравнения на 1, а точнее на её значение . После приведения подобных слагаемых имеем:

. Это однородное уравнение третьей степени относительно sinx и cosx, . Еслиcosx = 0, то из уравнения следует sinx=0, что невозможно.

Разделим обе части уравнения на , получим:.

Положим tgx = y, получим . Нетрудно заметить, чтоy = -1 является корнем уравнения. Разделим левую часть на y + 1, получим:

Уравнение примет вид: .

Уравнение не имеет корней, так как дискриминант трехчлена отрицателен..

Ответ:

Пример 86. Решить уравнение .

Решение

I-й способ

Преобразуем уравнение:

;

- решений не имеет.

Ответ: .

II-й способ

Преобразуем уравнение: . Умножим левую часть уравнения на, получим:.

После приведения подобных слагаемых получим однородное уравнение третьей степени относительно sinx и cosx: ,.

Разделим обе части уравнения на , получим:.

Пусть tgx = y, тогда - не имеет корней.

.

Ответ: .

Пример 87. Решить уравнение .

Решение

Преобразуем уравнение: ,

,

Умножим левую часть уравнения на , получим:

,

,

Последнее уравнение - однородное четвертой степени относительно sinx и cosx.

. Если допустить, что cosx = 0, тогда из уравнения следует sinx = 0, что невозможно. Разделим обе части уравнения на ,.

Пусть , получим квадратное уравнение:,

. - не удовлетворяет условиюи является посторонним корнем.

Ответ: .

Задание 3

88. . 89. .

90. . 91. .

92. . 93. .

94. .95. .

96. .

97. .98. .

99. .100. .

101. .

102. .

103. .104. .

4. Для преобразования уравнений было использовано основное тригонометрическое тождество . Это тождество не только позволяет сводить некоторые уравнения к однородным, но и в некоторых случаях дает возможность найти более простые решения таких уравнений. Для этой цели используются тождества, получаемые с помощью основного тригонометрического тождества.

,

отсюда находим .

Далее,

.

Преобразуем сумму , используя формулу (4).

.

Выше приведенные формулы очень часто используются при решении тригонометрических уравнений, и не только однородных.

Пример 105. Решите уравнение

.

Решение

Преобразуем уравнение, используя формулу (4): , получим уравнение:.

Пусть приходим к квадратному уравнению:

,

Ответ: .

Пример 106. Решите уравнение

.

Решение

Преобразуем уравнение, используя формулу (4): , получим уравнение:,

,

.

Уравнение 2 - sin2x = 0, sin2x = 2 не имеет решений.

Ответ: .

Пример 107. Решите уравнение .

Решение

Преобразуем уравнение, используя формулу: , получим:

.

Ответ: .

Пример 108. Решите уравнение .

Решение

Преобразуем уравнение, используя формулу: , получим:

.

.

Ответ: .

Пример 109. Решите уравнение

.

Решение

Преобразуем уравнение, используя формулы:

и , получим:

,

.

Ответ: .

Пример 110. Решите уравнение .

Решение

Преобразуем уравнение, используя формулу (6)

, получим уравнение:

. Пусть , получим:

.

Ответ: .