4.3. Случаи, когда в уравнении не содержится

Пример 132. Решите уравнение .

Решение

Область допустимых значений: .

Выполним замену: , получим:

;

- не удовлетворяет условию .

Определим значения x, которые входят в область допустимых значений.

Сразу ясно, что вторая группа корней не входит в область допустимых значений. Проверим первую группу корней:

- это значит, что все значения из множества входят в область допустимых значений.

Ответ: .

Пример 133. Решите уравнение .

Решение

Область допустимых значений: .

Выразим: , получим:

- не удовлетворяет условию и является посторонним корнем.

- удовлетворяет уравнению.

- эти значения входят в область допустимых значений.

Ответ: .

Пример 134. Решите уравнение .

Решение

Выразим: , получим:

.

Возведем обе части уравнения в квадрат, получим:

.

Ответ: .

Пример 135. Решите уравнение .

Решение

Выразим: , получим:

. Возведем обе части уравнения в куб, получим:

.

Ответ: .

4.4. Случаи, когда аргументы кратны 2x и X

Пример 136. Решите уравнение .

Решение

Преобразуем уравнение, используя формулу: , отсюда находим:, получим уравнение:

.

Выполним замену: , получим уравнение:

.

Ответ:

Пример 137. Решите уравнение .

Решение

Найдем область допустимых значений: .

Преобразуем уравнение: .

Выполним замену: , получим:

- этот корень не удовлетворяет условию и является посторонним корнем.

.

Ответ: .

Пример 138. Решите уравнение .

Решение

Область допустимых значений: .

Выразим: , получим:

так как . Разделим обе части уравнения на, получим:

. Это уравнение равносильно совокупности уравнений:

Определим, входят ли значения x в область допустимых значений.

.

Эти неравенства означают, что обе группы корней входят в область допустимых значений.

Ответ:

Задание 6

Решите уравнение:

139. .140. .

141. .142. .

143. .144. .

145. .

4.5. Замена. Универсальная тригонометрическая подстановка

При такой замене через нетрудно выразитьи:

Таким образом, мы получаем следующую замену:

Замена (3¹), в частности, может быть применена, если рассматривается тригонометрическое уравнение, левая часть которого является рациональной функцией от и, т. е. представляется в виде, гдеP и Q - некоторые многочлены от и.

Замечание. Замена сокращает область допустимых значений,, значит, либо уравнение должно иметь такую о. д. з., либо полученные значения надо проверить подстановкой в уравнение.

Пример 146. Решите уравнение.

Решение

1-й способ

Область допустимых значений:

, так как при m = 2n + 1 получим

Выразим , получим:

Ответ: .

2-й способ

Область допустимых значений:

.

Преобразуем уравнение:

,

. Полученное уравнение равносильно системе:

.

Ответ: .

Пример 147. Решите уравнение.

Решение

Выразим ,.

Значения не являются решениями данного уравнения, тогда, подстановка будет корректной, получим уравнение:

.

Определим значения переменных, входящих в область допустимых значений.

Очевидно, что входят в область допустимых значений и являются корнями уравнения.

- это неравенство выполняется при любых целых значениях n и k, значит являются решениями уравнения.

Ответ: .

Пример 148. Решите уравнение.

Решение

Область допустимых значений: .

Выразим , получим уравнение:

Выясним, входят ли эти значения переменной в область допустимых значений:

.

Оба неравенства выполняются при любых целых значениях n, m и k, значит, оба множества корней входят в область допустимых значений.

Ответ: .

Пример 149. Решите уравнение.

Решение

Область допустимых значений .

Выразим , получим уравнение:

.

Выясним, входят ли эти значения переменной в область допустимых значений:

.

Оба неравенства выполняются при любых целых значениях n, m и k, значит, оба множества корней входят в область допустимых значений.

Ответ: .

Пример 150. Решите уравнение.

Решение

Область допустимых значений: .

Выразим , получим уравнение:

.

Это биквадратное уравнение: ,

. Уравнение не имеет решений, так как правая часть отрицательна.

.

Получим совокупность уравнений:

Эти корни входят в область допустимых значений.

Ответ: .

Пример 151. Решите уравнение.

Решение

Область допустимых значений: .

Выразим ,, получим уравнение:

.

Это уравнение равносильно совокупности уравнений:

Второе уравнение не имеет корней, так как его дискриминант отрицателен.

Эти корни входят в область допустимых значений.

Ответ: .

Пример 152. Решите уравнение.

Решение

Область допустимых значений переменной: .

Выразим , получим уравнение:

.

Полученное уравнение равносильно совокупности уравнений:

Второе уравнение совокупности имеет отрицательный дискриминант и не имеет действительных корней. Получаем один корень: t = 1.

.

Выясним, входят ли эти значения переменной в область допустимых значений:

.

Как видим, последнее неравенство выполняется при любых целых значениях n и k, а, значит, корни входят в область допустимых значений.

Ответ: .

Пример 153. Решите уравнение.

Решение

Область допустимых значений: .

Пусть , тогда, получим уравнение:

.

Полученное уравнение равносильно совокупности уравнений:

Второе, квадратное уравнение этой совокупности имеет отрицательный дискриминант и не имеет действительных корней. Находим: t = 1.

.

Выясним, входят ли эти значения переменной в область допустимых значений:

.

Как видим, последнее неравенство выполняется при любых целых значениях n и k, а, значит, входят в область допустимых значений и являются корнями уравнения.

Ответ: .

Пример 154. Решите уравнение.

Решение

Область допустимых значений: .

Пусть , тогда, получим уравнение:

.

Полученное уравнение равносильно совокупности уравнений:

Второе, квадратное, уравнение этой совокупности не имеет действительных корней, тогда, получим: .

Выясним, входят ли эти значения переменной в область допустимых значений:

.

Как видим, последнее неравенство выполняется при любых целых значениях n и k, а, значит, входят в область допустимых значений и являются корнями уравнения.

Ответ: .

Пример 155. Решите уравнение.

Решение

Область допустимых значений: .

Пусть , тогда, получим уравнение:

.

Полученное уравнение равносильно совокупности уравнений:

.

Выясним, входят ли эти значения переменной в область допустимых значений.

.

Как видим, эти неравенства выполняются при любых целых значениях n, k и m, следовательно, полученные значения переменной входят в область допустимых значений и являются корнями уравнения.

Ответ: .

Пример 156. Решите уравнение.

Решение

Область допустимых значений: .

Пусть , тогда, получим уравнение:

.

.

Эти значения переменной входят в область допустимых значений.

Ответ: .