Задание 7

Решите уравнение:

157. .158. .

159. .

160. .161. .

162. .163. .

164. .165. .

166. .167. .

168. .

5. Метод оценки левой и правой частей уравнения

Пример 169. Решите уравнение .

Решение

Область допустимых значений: .

Левая часть уравнения:. Правая часть.

Равенство возможно только в одном случае, когда и левая и правая части уравнения, при одних и тех же значениях x равны нулю. Получим систему уравнений:

Последняя группа корней не входят в область допустимых значений.

Ответ: .

Пример 170. Решите уравнение .

Решение

Область допустимых значений: .

Преобразуем уравнение: . Левая часть уравнения может быть равна единицы только в следующих случаях:

(1) (2)(3)

(4) (5)

(1) - входят в ОДЗ.

(2)

(3)

Должно выполняться равенство при целых значениях k и n:

.

Получим:

(4) - решений нет.

Результаты решений систем (2) и (3) иобъединяются общими решениями:.

Ответ: .

Пример 171..

Решение

Областью допустимых значений переменных x и y является множество всех действительных чисел, т. е. .

Областью значений функций иявляется множество действительных чисел из промежуткаилии.

Сумма этих функций будет равна 2 тогда и только тогда, когда, при одних и тех же значениях x и y каждая из функций равна 1, т. е. выполняется система уравнений:

Ответ: .

Пример 172..

Решение

Область значений функций: ,.

Сумма этих функций равна -2 тогда и только тогда, когда выполняется система равенств:

.

Ответ: .

Пример 173..

Решение

Преобразуем уравнение .

Область значений функций: ;.

Разность этих функций равна -2 тогда и только тогда, когда выполняется система уравнений:

.

При этих значениях x равенство sin6x = 1 выполняется. В самом деле:

.

Ответ: .

Пример 174..

Решение

Область значений функций: ;.

Сумма этих функций равна 2 тогда и только тогда, когда выполняется система уравнений:

.

Общие решения системы следующие:

Ответ: .

Пример 175..

Решение

Область значений функций: ;,

.

Сумма этих функций равна 0 тогда и только тогда, когда выполняется система уравнений:

.

Общие решения системы следующие:

Ответ: .

Пример 176. Решите уравнение.

Решение

Область значений функций: , поэтому, произведение этих функций равно (-1) только в двух случаях, откуда получим совокупность двух систем уравнений

(1) и (2)

Решим систему (1):

(1) .

.

Это неопределенное уравнение относительно k и n. НОД(3, 10) = 1, значит, по теореме это уравнение имеет, по крайней мере, одно решение. Это решение найдем линейным разложением 1 на 3 и -10. Для этого разделим с остатком 10 на 3. Получим 3 в частном и 1 в остатке, значит , откудаk = -3, n = -1.

Общие решения будут .

Для нахождения значений x достаточно взять одно из значений k или n.

При получим.

Решим вторую систему уравнений:

.

НОД(6, 2) = 2, 5 не делится на 2, значит уравнение не имеет целых решений.

Проверим значения .

Замечание. Поскольку t принимает целые значения, то знак "-" или "+" перед значения, в данном случае, не имеет.

Проверка

,

, значит

являются решениями уравнения.

Ответ: .