Диффур

Бұл теңдеу бұрын қарастырылған теңдеулердің қатарына жатады. Егер оның Φ( x, p,C ) жалпы интегралы белгілі болса, онда

Φ( x, p,C ) =0		(5)
y = f ( x, p )

түріндегі қатынастары (1) теңдеудің интегралдық қисығын анықтайды.

Дəл осы сияқты, (1) теңдеу x бойынша шешілген болса: x = f ( y, y′) , параметрін енгізіп, толық дифференциал алатын болсақ:

dy	=	∂f ( y, p ) dy +	∂f ( y, p ) dp
p		∂y	∂p

теңдеуін аламыз. Бұл теңдеу де симметриялы түрге келтіріледі:

M ( y, p )dy + N( y, p )dp = 0

Егер соңғы теңдеудің y =ϕ( p,C ) шешімі белгілі болса, онда y =ϕ( p,C )

x = f ( y, p )

онда y′ = p

(6)

(7)

(8)

қатынастары (1) теңдеудің жалпы шешімінің параметрлік түрін береді.

5.2. Параметр енгізу əдісінің ерекшелігін байқау үшін Лагранж теңдеуін қарастырайық:

		y = xϕ( y′) +ψ( y′)					(9)
Бұл теңдеуге y′ = p ( dy = pdx ) алмастыруын жасап, толық дифференциалын табайық;
			′			′
	dy = pdx =ϕ( p )dx + xϕ ( p )dp +ψ ( p )dp .
Осыдан			′		′
	[p −ϕ( p )]dx −[xϕ ( p ) +ψ ( p )]dp =0
немесе ( p −ϕ( p ) ≠ 0 ) :
		′			′
	dx −	ϕ ( p )	x =		ψ ( p )		(10)
					p −ϕ( p )
	dp p −ϕ( p )

түріндегі сызықтық біртексіз теңдеу аламыз. Тұрақты санды вариациялау əдісімен теңдеудің жалпы шешімін оңай жазамыз:

x =Φ( p,C )

Соңғы қатынасқа бастапқы теңдеудің параметрлік түрін қосып жазсақ, жалпы шешімнің параметрлік түрін аламыз:

x =Φ( p,C ) y = xϕ( p ) +ψ( p )

Егер p −ϕ( p ) = 0 болса, онда осы теңдеудің нақты шешімдерін: теңдеуге қойып,

___

y = pi x +ψ( pi ), ( i =1,n )

(11)

___

p = pi ( i =1,n ) , бастапқы

(12)

түріндегі шешімдер аламыз. Бұл шешімдер ерекше шешім болуы мүмкін. Енді осы Лагранж теңдеуінің дербес түрін қарастырайық:

y = xy′+ψ( y′)	(13)
Бұл теңдеуді Клеро теңдеуі деп атайды.
Жоғары айтылған əдіс бойынша y′ = p белгілеуін енгізейік:
y = xp +ψ( p )	(14)
Осыдан толық дифференциал тауып, dy = pdx қатынасын пайдалансақ, онда
′
pdx = pdx + xdp +ψ ( p )dp
теңдігін аламыз. Ал бұдан
′	(15)
[x +ψ ( p )]dp =0

Соңғы теңдеу екі теңдеуге бөлінеді:

dp =0 жəне x +ψ′( p ) =0

Осыдан, егер dp =0 болса, онда p = C . Мұны бастапқы теңдеуге апарып қойсақ, y = Cx +ψ( C )

түріндегі жалпы шешім аламыз.

Егер (16) теңдеудің екіншісі орын алса, онда

′
x = −ψ ( p )
′

y = −ψ ( p )p +ψ( p )

(16)

(17)

(18)

түріндегі Клеро теңдеуінің параметрлік ерекше шешімін аламыз.

5.3. Енді тұйық түрде интегралданатын теңдеулерді келтірейік.

10.	F( y′) =0	(19)
Бұл теңдеудің y′ = b түрінде нақты шешімі болуы мүмкін:		F( b ) =0 . Сонда y′ = b

қатынасын интегралдап, y = bx +C өрнегін табамыз. Осыдан: b =

y −C

. Бұл қатынасты (19)

теңдеуге апарып қойсақ,

x

y −C

=0

(20)

F =

x

түріндегі жалпы интеграл аламыз.

Мысал-1. y′3 + y′2 − y′+1 = 0 теңдеуінің жалпы интегралы мына түрде жазылады:

y −C 3

y −C 2

y −C

+1 =0

+

−

x

x

x

20.

(21)

F( x, y′) =0

Бұл теңдеуді y′

бойынша шешуге

мүмкіншілік болмаса, онда

жаңа

параметрді екі

қатынаспен енгізу

ыңғайлы:

x =ϕ( t ), y

′

=ψ( t ) .

′

болғандықтан, мынандай

Ал dy = y dx

теңдеу жазамыз:

dy =ψ( t )ϕ

′

( t )dt

Бұдан

′

y = ∫ψ( t )ϕ ( t )dt +C

Осы өрнектің қасына x -тың параметрлік түрін қосып жазсақ:

x =ϕ( t ),

(22)

′

y = ∫ψ( t )ϕ ( t )dt +C

түріндегі параметрлік шешімді аламыз.

Мысал-2. x 1 + y′2

= y′ теңдеуінің шешімін табу үшін

−

π

< t <

π

y′ = tgt ,

2

2

түрінде жаңа

параметр енгіземіз. Сонда: x = sint

болатынын берілген теңдеуден көреміз.

dy = y' dx dy = tgt cos tdt dy = sin tdt

Осыдан,	y = ∫sintdt + C = −cost + C
Сонда	x = sint
	y = −cos t +C

функциялары берілген теңдеудің параметрлік түрдегі жалпы шешімін береді.

30. F( y, y′) =0 (23)

Бұл теңдеуге де параметрді екі қатынаспен енгізу ыңғайлы: y =ϕ( t ), y′ =ψ( t ). Бұдан:

′	dy		′
			ϕ ( t )dt
dy = y dx dx =	y′	dx =	ψ( t )

Соңғы қатынасты интегралдасақ, онда

=ϕ′( t )dt +

x∫ ψ( t ) C

өрнегін аламыз. Бұған у-тың параметрлік түрін қосып жазсақ,

	y =ϕ( t )
		ϕ′( t )dt		(24)
	x = ∫		+C
		ψ( t )

түріндегі параметрлік шешім аламыз.
Мысал-3. y = 1 + y′2 теңдеуінің	жалпы шешімін табу үшін: y = cht , y′ = sht
алмастыруларын пайдаланамыз. Сонда:
′	shtdt = shtdx dx = dt
dy = y dx
Сондықтан,	x = t +С
	y = cht

теңдіктері берілген теңдеудің параметрлік түрдегі жалпы шешімі болады. 40. Жалпы жағдайда қарастырайық:

F( x, y, y′) =0

(25)

Егер бұл теңдеу екі параметрмен өрнектеледі деп есептесек, онда теңдеуді туынды бойынша шешілген түрге келтіруге болады.

Айталық,

	x =ϕ( u,v ), y =ψ( u, v ),				y′ = χ( u,v )				(26)
функциялары екі u жəне v параметрлерімен анықталған болсын.								Бұл функциялардың
								′	теңдігіне қоятын
күрделі функция түрінде толық дифференциалдарын тауып, dy = y dx
болсақ, онда
∂ψ	du +	∂ψ	dv	∂ϕ	du +	∂ϕ
∂u		∂v		= χ( u,v )		dv	dv
				∂u
қатынасын аламыз. Бұдан сəйкес мүшелерін жинастырып,
			dv	= f ( u,v )					(27)
			du

түріндегі теңдеуге келеміз. v = w( u,c ) - (27) теңдеудің жалпы шешімі болса, онда (25)

теңдеудің параметрлік жалпы шешімі былай жазылады:
x =ϕ[u,w( u,c )], y =ψ[u,w( u,c )]	(28)

Кері алмастыру арқылы берілген теңдеудің жалпы интегралын табуға болады.

4-ЛЕКЦИЯ. Шешімнің бар болуы жəне жалғыздығы.

Лекция мақсаты: Коши есебінің қойылуы, шешімнің бар болуының шарттарымен таныстыру.

Негізгі сөздер: Бастапқы есеп, Липшиц шарты, Пикар əдісі, Гронуолл леммасы.

Қысқаша мазмұны

Шешімнің бар болуы жəне жалғыздығы

6.1. Бұл параграфта туындысы бойынша шешілген бірінші ретті дифференциалдық теңдеудің Коши есебін қанағаттандыратын шешімнің бар болуы жəне оның жалғыздығы қарастырылады.

Сонымен, бірінші ретті теңдеудің қалыпты түрін алайық:

dy	= f ( x.y ) ,	(1)
dx
мұндағы, f ( x.y ) функциясы жазықтықтағы кейбір D R2	тұйық облысында анықталсын. Осы
теңдеу үшін бастапқы
у( х0 ) = у0		(2)
шартын қанағаттандыратын шешімді табу есебі қойылсын.	Бұл жерде ( x0 , y0 )	нүктесі сол D

облысының ішінде жатады деп есептелінеді, ал D облысын, əдетте, төртбұрыш түрінде алады:

D ={(х, у) :		х− х0		≤ а,		у− у0		≤ b}	(3)
мұндағы, a жəне b - белгілі оң сандар.
Теорема-1. Егер f ( x.y ) функциясы D облысында төмендегідей екі шартты қанағаттандырса:

1) екі аргументі бойынша үздіксіз, сондықтан ол шектелген:

sup

f ( x, y )

= M , M >0

D

2)

y аргументі бойынша Липшиц шартын қанағаттандырады, яғни кез келген екі нүкте үшін

орындалады, L >0 ,

f ( x, у1 ) − f ( x, y2 )

≤ L

y1 − y2

(4)

теңсіздігі

онда бастапқы

(2) шартты

қанағаттандыратын,

х − х

≤h, h = тiп( a,

b

), аралығында

анықталған үздіксіз

дифференциалданатын жалғыз ғана

0

M

y =ϕ( x )

шешім бар болады.

Дəлелдеуі.

10. Алдымен Коши есебінің интегралдық теңдеуге пара-пар екендігін көрсетейік. Айталық, y =ϕ( x ) функциясы (2) шартты қанағаттандыратын,

x − x0 ≤ h кесіндісінде анықталған (1) теңдеудің шешімі болсын:

dϕ( x ) = f [x,ϕ( x )], ϕ( x0 ) = y0 dx

Соңғы тепе-теңдікті х0-ден х-қа дейін интегралдасақ, мынандай тепе-теңдік аламыз:

x

ϕ( x ) =ϕ( x0 ) + ∫ f (τ ,ϕ(τ ))dτ

x0

Бұдан y =ϕ( x ) функциясының

x
y = y0 + ∫	f (τ , y )dτ	(5)
x0

интегралдық теңдеудің шешімі болатынын көреміз.

Енді керісінше, y =ϕ( x ) функциясы (5) теңдеудің шешімі болсын:

ϕ( x ) = y0 + ∫x f [τ ,ϕ(τ )]dτ , x [x0 −h, x0 + h]

x0

Бұдан ϕ( x0 ) = y0 болатынын көреміз. Егер осы тепе-теңдікті дифференциалдасақ,

dϕ( x ) = f [x,ϕ( x )] dx

тепе-теңдігін аламыз.

Бұдан шығатын қорытынды – Коши есебінің шешімін табу үшін интегралдық теңдеудің шешімінің барлығын жəне жалғыздығын дəлелдесек жеткілікті.

20. Интегралдық теңдеудің шешімін біртіндеп жуықтау əдісімен іздейміз. Бұл əдісті Пикар əдісі деп те атайды.

Бастапқы нөлдік жуықтау ретінде ізделініп отырған функцияның алғашқы y0 мəнін аламыз да, бірінші жуықтау үшін

	x
	y1( x ) = y0 + ∫ f (τ , y0 )dτ	(6)
өрнегін жазамыз, ал екінші жуықтау үшін	x0
	x
	y2( x ) = y0 + ∫ f (τ , y1 )dτ	(7)
	x0
өрнегін жазамыз. Жалпы, кез келген n -ші жуықтауды мына түрде жазамыз:
x
yn( x ) = y0 + ∫ f (τ , yn−1 )dτ	(8)

x0

Мұнда x [x0 − h, x0 + h]. Осы кесіндіні Пеано кесіндісі деп атайды.

Енді алынған {yn} тізбегінің əрбір мүшесі берілген облыстың ішінде жататынын көрсетуіміз керек. Айнымалы x -ты Пеано кесіндісінде өзгереді деп, жуықтаулардың бастапқы мəннен ауытқуларын есептейік.

Алдымен,

x

x

y1( x ) − y0

=

∫ f (τ , y0 )dτ

≤ M

∫dτ

= M

x − x0

≤ Mh ≤ b

x0

x0

Екінші жуықтау үшін:

x

y2( x ) − y0

=

∫ f (τ , y1(τ ))dτ

≤ M

x − x0

≤ Mh ≤ b

x0

Жалпы, кез келген n -ші жуықтау үшін төмендегідей теңсіздік аламыз:

x

yn( x ) − y0 = ∫ f (τ , yn−1(τ ))dτ ≤ M x − x0 ≤ Mh ≤ b (9)

x0

Бұл теңсіздіктер тізбектің барлық мүшелері D облысының кейбір кішірейген облысының ішінде жататынын көрсетеді.

30. Енді жуықтаулар тізбегінің жинақтылығын көрсетейік. Тізбектің жинақтылығын дəлелдеу үшін сол тізбектен құрылған функциялық қатарды қарастырамыз:

y0 +( y1 − y0 ) +( y2 − y1 ) +...+( yn − yn−1 ) +...	(10)
Осы қатар бірқалыпты жинақты болса, онда {yn} тізбегі де бірқалыпты жинақты	болады,

өйткені, Sn = yn .

Қатардың əрбір мүшесін, екіншісінен бастап, Пеано кесіндісінде абсолют шамасы бойынша бағалайық:

x

y1 − y0

=

∫ f (τ , y0 )dτ

≤ M

x − x0

≤ Mh ,

x

x0

x

y2 − y1

=

∫[f (τ , y1(τ )) − f (τ , y0 )]dτ

≤

∫

f (τ , y1(τ )) − f (τ , y0 )

dτ

x0

x0

Соңғы теңсіздікке Липшиц шартын пайдалансақ, онда

2

x

x

x − x0

h2

y2 − y1

≤ L

∫

y1(τ ) − y0

dτ

≤ ML ∫

τ −τ

0

dτ = ML

≤ ML

2!

2!

x0

x0

Осылайша,

x

x

y3 − y2

=

∫[f (τ , y2(τ )) − f (τ , y1(τ ))]dτ

≤ L

∫

y2(τ ) − y1(τ )

dτ

≤

x

x0

2

x − x

3

3

x0

2

τ −τ

0

2

2 h

0

≤ ML ∫

dτ = ML

≤ ML

2!

3!

3!

x0

теңсіздігі алынады. Кез келген n -ші мүше үшін де индукция əдісін пайдаланып, төмендегідей теңсіздік аламыз:

yn − yn−1

=

∫x [f (τ , yn−1(τ )) − f (τ , yn−2(τ ))]dτ

≤

x

x0

n−1

x − x0

n

n−1 hn

≤ L

∫

yn−1(τ ) − yn−2

(τ )

dτ

≤ ML

n!

≤ ML

n!

x0

Сонымен, функциялық (10) қатардың абсолют шамасынан құрылған қатар Пеано кесіндісінде төмендегідей сандық қатармен бағаланып отыр:

	h2	2 h3		n−1	hn	+ ...
| y | +Mh + ML		+ ML		+ ... + ML			(11)
0	2!		3!		h!

Бұл қатарды (10) функциялық қатардың мажоранты деп атайды.

Енді осы мажоранттық қатардың жинақтылығын көрсетейік. Даламбер белгісіне сүйенсек,

lim	an+1	= lim	MLnhn+1n!	= lim	Lh		=0 <1 ,
n→∞	an n→∞ MLn−1hn( n +1 )!			n→∞ n +1

яғни, (11) қатар жинақты. Сондықтан, Вейерштрасс теоремасы бойынша функциялық (10) қатар Пеано кесіндісінің ішінде бірқалыпты абсолютты жинақты. Егер қатардың қосындысын ϕ(x) деп

белгілесек, онда тізбектің шегі осы ϕ(x) болады:

lim yn( x ) =ϕ( x )

n→∞

(10) қатардың əрбір мүшесі x − x0 ≤ h кесіндінің ішінде үздіксіз функция болғандықтан жəне ол қатар бірқалыпты жинақты болғандықтан, Коши теоремасы бойынша осы кесіндінің ішінде ϕ(x) функциясы да үздіксіз болады.

40. Тізбектің бірқалыпты жинақтылығынан

yn( x ) −ϕ( x )

<ε, n > N( ε ) шарты шығады.

Липшиц шартын пайдаланып,

∫x

f [τ , yn(τ )]dτ − ∫x f [τ ,ϕ(τ )]dτ

∫x

f [τ , yn(τ )]− f [τ ,ϕ(τ )]

dτ

≤

≤

x0

x0

x0

x

≤ L ∫ yn(τ ) −ϕ(τ )dτ ≤ Lε x − x0 ≤ Lεh

x0

теңсіздігін аламыз. Бұл теңсіздік интегралдан шек алу үшін сол интеграл астындағы өрнектен шек алуға болатынын көрсетеді, яғни

x

x

x

lim

∫

f (τ , yn(τ ))dτ = ∫

f (τ ,lim yn (τ ))dτ = ∫ f (τ ,ϕ(τ ))dτ

n→∞ x

x

x

0

0

0

Осыны пайдаланып, (8) қатынастан шек алайық:

lim

y

+

x

f (τ

, y

= y +

x

f (τ ,ϕ(τ ))dτ

n

( x ) = lim y

∫

n−1

(τ ))dτ

∫

n→∞

n→∞

0

0

x0

x0

немесе

x

ϕ( x ) = y0 + ∫ f (τ , ϕ(τ ))dτ

(12)

x0

Бұл тепе-теңдіктен ϕ(x) функциясының Пеано кесіндісінде интегралдық теңдеудің шешімі болатынын көреміз. Сондықтан, ол Коши есебінің шешімін береді.

50. Коши есебінің шешімінің жалғыздығын дəлелдеу үшін алдымен Гронуолл леммасын

келтірейік.
Лемма. Кейбір a,b аралығында үздіксіз u( t ) ≥0, f ( t ) ≥0 функциялары жəне C >0							тұрақты
саны үшін
	t
u( t ) ≤ C +	∫ f (τ )u(τ )dτ	, t, t0 < a,b >					(13)
	t0
теңсіздігі орындалса, онда одан мынандай теңсіздік алуға болады:
				t
				∫ f (τ )dτ
	u( t ) ≤ Ce			t0			(14)
Дəлелдеуі. (13) теңсіздікті оң жағындағы қосындыға бөлейік(t ≥ t0 ):

u( t )	≤1
t
C + ∫ f (τ )u(τ )dτ
t0

Екі жағында оң f ( t ) функциясына көбейтіп, t0 -ден t -ға дейін интеграл алайық:

	t	f (τ )u(τ )dτ	t
	∫		≤ ∫ f (τ )dτ
		t
	t0 C + ∫ f (τ1 )u(τ1 )dτ1		t0
		t0

Мұнда бөлшектің алымы бөлімінің туындысы екенін ескерсек, онда

		t			t
					t
ln		C + ∫ f (τ1 )u(τ1 )dτ1			≤ ∫ f (τ)dτ
		t0			t0 t0
Осыдан
		t			t
ln	C + ∫ f (τ1 )u(τ1 )dτ		−ln C ≤ ∫ f (τ )dτ
		t0			t0

Потенциалдап, одан соң берілген (13) теңсіздікті пайдалансақ, (14) теңсіздікке келеміз ( t ≤ t0

болғанда лемманы дəлелдеу үшін интегралдың бағытын өзгертсе, жеткілікті). Енді осы (14) теңсіздікті пайдаланып, шешімнің жалғыздығын көрсетейік.

Айталық, ϕ(x) жəне ψ(x) функциялары əртүрлі екі шешім болсын:

					x
					ϕ( x ) = y0 + ∫ f (τ ,ϕ(τ ))dτ ,
					x0
					x
					ψ( x ) = y0 + ∫ f (τ ,ψ(τ ))dτ
					x0
Осы шешімдердің айырмасын бағалайық:
				x	[f (τ ,ϕ(τ )) − f (τ ,ψ(τ ))]dτ		x
	ϕ( x ) −ψ( x )		=	∫			≤ L ∫		ϕ(τ ) −ψ(τ )		dτ
				x0			x0

Мұнда u( x ) = ϕ( x ) −ψ( x ) , f(x)=L, C=0 екенін ескерсек, (14) теңсіздіктен ϕ( x ) −ψ( x ) =0 теңдігі шығатынын көреміз, яғни ϕ(x)=ψ(x), x [x0 −h, x + h].

Сонымен, Пеано кесіндісінде Коши есебінің тек жалғыз ғана шешімі бар екені толық дəлелденді.

Ескерту-1.	Шешім [x	− h, x + h] кесіндісінде анықталып отыр. Мұнда h = min a,	b		, яғни h
	0
			M

саны М санына кері тəуелді: М саны үлкен болса, h аз сан болады. Сондықтан, шешім x0

нүктесінің қысқа тұйық аумағында анықталып отыр. Осы себепті бұл тұжырымды локалды теорема деп атайды. Ал шындығында, шешімді берілген облыстың шекарасына дейін созуға болады.

Ескерту-2. Əдетте, Липшиц шартының орнына одан басымырақ жəне оңай тексерілетін шарт алынады. Дəлірек, f ( x, y ) функциясы берілген тұйық облыста у аргументі бойынша үздіксіз

дифференциалданады – деп.

Бұл шарт орындалғанда Липшиц шарты өзінен өзі орындалады. Шынында да, егер D облысында

sup | f ( x, y )|≤ L

D

теңсіздігі орын алса, онда өсімше туралы Лагранж теоремасын пайдаланамыз: f ( x, y1 ) − f ( x, y2 ) = ∂∂fy ( x, y1 +θ( y1 − y2 ))( y1 − y2 ),( 0 <θ <1 ) Осыдан,

| f ( x, y1 ) − f ( x, y2 )|≤ L | y1 − y2 |

яғни, Липшиц шартын алдық. Ал Липшиц шартынан функцияның дифференциалдануы шыға бермейді. Оған бір мысал, f ( x, y ) = y функциясы. Бұл функция Липшиц шартын кез келген аралықта қанағаттандырады:

f ( x, y1 ) − f ( x, y2 ) = | y1 | −| y2 | ≤| y1 − y2 |, L =1

Алайда, бұл функцияның ( x,0 ) нүктесінде у бойынша дербес туындысы анықталмаған. Жалпы, Липшиц шарты функцияның бір аргументі бойынша бірқалыпты өсуін көрсетеді.

Ескерту-3. Тіктөртбұрыштың орнына кез келген шектелген тұйық облыс алуға болады. Бұл жағдайда ( x0 , y0 ) нүктесі облыстың ішкі нүктесі болуы керек.

Ескерту-4. Теореманы ( x0 , y0 ) нүктесін ішінде ұстайтын ашық облыста да дəлелдеуге болады. Ол үшін f ( x, y ) функциясының осы облыста үздіксіз болуымен қатар, сол облыстың кез келген ішкі шектелген тұйық бөлігінде Липшиц шартын қанағаттандыруы тиіс.

Ескерту-5. Теоремадағы f ( x, y ) функциясы тек үздіксіз ғана болса, яғни Липшиц шарты

орындалмаса, онда теңдеудің бастапқы шартты қанағаттандыратын шешімі болады, бірақ ол жалғыз болмауы мүмкін. Бұл тұжырымды Пеано теоремасы айқындайды.

5-ЛЕКЦИЯ. Жоғарғы ретті дифференциалдық теңдеулер.

Лекция мақсаты: Жоғарғы ретті теңдеулерді интегралдау əдістерімен таныстыру. Негізгі сөздер: Жалпы шешім, Якоби анықтауышы, жалпы интеграл, аралық интеграл.

Қысқаша мазмұны

Негізгі түсініктер жəне анықтамалар

1.1. Жоғарғы ретті жəй дифференциалдық теңдеудің туынды бойынша шешілмеген түрі былай жазылады:

	F( x, y, y′, y′′,..., y( n ) ) =0	(1)
Мұндағы, x -тəуелсіз айнымалы,	y -белгісіз функция,	ал y′, y′′,..., y( n ) - белгісіз
функцияның туындылары ( n >1 ) .	F - кейбір G Rn+2	облысында анықталған нақты

үздіксіз функция.
Егер (1) қатынас жоғарғы y( n )	туындысы бойынша шешілсе, онда былай жазамыз:
y( n ) = f ( x, y, y′,..., y( n−1 ) )		(2)
Мұндағы, f - функциясы кейбір	D Rn+1 облысында анықталған үздіксіз функция деп

есептелінеді.

Бұл теңдеулердің шешімдері де бірінші ретті теңдеулердің шешімдеріне ұқсас түрде анықталады.

Анықтама-1. a,b аралығында анықталған y =ϕ( x ) функциясы (2) теңдеудің осы

аралықтағы шешімі деп аталынады, егер ол төмендегідей үш шартты қанағаттандырса: 4) ϕ( x ) функциясы a,b аралығында n рет

дифференциалданатын болса;

5)( x,ϕ( x ),ϕ′( x ), ...,ϕ( n−1 )( x )) D, x a,b ;

6)ϕ(n) (x) = f [x,ϕ(x), ϕ′(x), ..., ϕ(n−1) (x)], a,b .

Айқындалмаған (1) теңдеудің де шешімін осы түрде анықтауға болады. Анықтама-2. a,b аралығында анықталған y =ϕ( x ) функциясы (1) теңдеудің осы

аралықтағы шешімі деп аталынады, егер ол төмендегідей үш шартты қанағаттандырса: 1) ϕ( x ) функциясы a,b аралығында n рет

дифференциалданатын болса;

2)(x,ϕ( x ),ϕ′( x ),...,ϕ( n )( x )) G, x a,b ;

3)F (x,ϕ( x ),ϕ′( x ),...,ϕ( n )( x ))=0, a,b .

Жоғарғы ретті теңдеу үшін Коши есебі былайша қойылады: (2) теңдеудің барлық шешімдерінің ішінен

′	1	,...,ϕ	( n−1 )	n−1	(3)
ϕ( x0 ) = y0 ,ϕ ( x0	) = y0			( x0 ) = y0

шартын қанағаттандыратын шешімді табу керек. Мұндағы, x0 , y0 , y10 ,..., y0n−1 сандарын

бастапқы мəндер, ал (3) шартты бастапқы шарт деп атайды. Əрине, мұнда

(x0 , y0 , y10 ,..., y0n−1) D .

Бұл жерде де Коши есебіне геометриялық, механикалық мəн беруге болады. Бірақ, теңдеудің реті жоғары болған сайын бастапқы шартқа мəн-мағына беру қиынға соғады. Мысалы, екінші ретті теңдеу үшін қойылған бастапқы екі мəннің біріншісі, шешімнің қай нүкте арқылы өтетінін білдірсе, екіншісі, интегралдық қисықтың сол нүктедегі жанамасының x өсімен жасайтын бұрыштың тангенсін білдіреді, ал механикалық жағынан – қозғалыстың берілген қалыптан қандай жылдамдықпен өтетінін білдіреді.

1.2. Жоғарғы ретті теңдеулердің қасиеттерін зерттегенде оларды бірінші ретті теңдеулер жүйесіне келтіріп алу ыңғайлы.

Берілген (2) теңдеу үшін мынандай белгілеулер енгізейік:

y = y1 , y′ = y2 , y′′ = y3 , ..., y( n−1 ) = yn

Бұл жағдайда (2) теңдеудің орнына мынандай жүйе аламыз:

dy

= y2

,

1

dx

dy2

= y3

,

dx

...............

(4)

dyn−1

= yn ,

dx

dyn

= f ( x, y , y

,..., y

)

dx

1

2

n

Бұл жүйе жалпы қалыпты

dy1

= f

( x, y , y

,..., y

),

2

n

dx

1

1

dy2

= f

( x, y

, y

,..., y

dx

),

(5)

2

1

2

n

.......................................

dyn

= f

n

( x, y

, y

2

,..., y

n

)

dx

1

жүйенің дербес түрі. Сондықтан, алда біз (5) түрдегі қалыпты жүйелерді қарастырамыз. Жалпы, бірінші ретті n теңдеулердің қалыпты жүйесін n ретті бір теңдеуге келтіруге

болады. Ол үшін (5) жүйенің бір теңдеуін n −1 рет дифференциалдап, сол жүйенің басқа теңдеулерін пайдаланып отыру керек (мұнда fi функциялары керекті рет

дифференциалданады деп алу керек). (5) жүйенің бірінші теңдеуін алып n −1 рет дифференциалдайық:

d 2 y1

=

∂f1

∂f1 dy1

∂f1 dyn

∂x +

+... +

=

dx2

∂y

dx

∂y

n

dx

1

=

∂f1

+

∂f1

f1

+... +

∂f1

fn

= g2 (x,

y1 ,..., yn )

∂x

∂y1

∂yn

d

3

y

∂g

∂g

dy

∂g

dy

=

2

+

2

2

n

1

1

+... +

=

(6)

dx3.

∂x

∂y

∂y

dx

1

dx

n

=

∂g2

+

∂g2

f

+

... +

∂g2 f

= g

(x,

y

,..., y

n

n

)

∂x

∂y1

1

∂yn

3

1

.....................................................................

Егер

∂(

f1 , g2 ,..., gn−1 ) ≠ 0 ,

онда

(5) жүйенің

бірінші

теңдеуінен

жəне (6) жүйенің

∂( y2 , y3 ,..., yn )

алдыңғы n −2 - теңдеуінен құрылған жүйені y2 , y3 ,..., yn

бойынша шешуге болады жəне

олар x ,

y 1 ,

y 11 ,..., y (1 n − 1 )

арқылы өрнектеледі.

Осы табылған y2 , y3 ,..., yn өрнектерін (6) жүйенің соңғы теңдеуіне апарып қойсақ,

y(1n ) = f ( x, y1 , y11 ,..., y(1n−1 ) )

(7)

түріндегі n ретті бір теңдеу аламыз. (5) жүйе мен (7) теңдеудің интегралдық қисықтары бір болады.

1.3. Енді (5) түрдегі қалыпты жүйелерге байланысты кейбір түсініктерді келтірейік. Алдымен, бұл жүйелерді векторлық функциялар енгізу арқылы қысқартып жазуға

болады.

Егер y = colon( y1 , y2 , ..., yn ) жəне f = colon( f1 , f2 , ..., fn )		деп алсақ, онда (5) жүйені
былай жазамыз:
dy	= f ( x, y )	(8)
dx

Бұл қатынасты векторлық бір теңдеу деп те, қалыпты жүйе деп те атауға болады. Мұндағы, f ( x, y ) - вектор-функциясы кейбір D Rn+1 облысында анықталған үздіксіз функция. Бұл жүйенің шешімін де алдыңғы анықтамаларға ұқсас түрде анықтайды.

Анықтама-3. a,b аралығында анықталған y =ϕ( x ) вектор-функциясы (8) жүйенің

шешімі деп аталынады, егер ол төмендегідей үш шартты қанағаттандырса: 1) ϕ( x ) функциясы a,b аралығында дифференциалданатын

болса;

2)( x,ϕ( x )) D, x a,b ;

3)dϕ( x ) = f [x,ϕ( x )], x a,b . dx

Айталық, y =ϕ( x ) вектор-функциясы (8) жүйенің		a,b аралығында анықталған шешімі
болсын. Rnx,+y1 кеңістігіндегі	( x,ϕ( x )), x a,b - нүктелердің жиыны берілген жүйенің
интегралдық қисығын береді,	ал Rny кеңістігіндегі	(ϕ( x )), x a,b - нүктелердің жиыны

жүйенің траекториясын береді. Осы Rny кеңістігі фазалық кеңістік деп аталынады. Белгілі бір шешімге сəйкес траектория сол шешімнің Rnx,+y1 кеңістігіндегі интегралдық қисықтың Rny кеңістігіне x өсіне параллель түсірілген көлеңі (проекциясы) болып табылады.

Векторлық (8) теңдеу үшін Коши есебі былай қойылады: барлық шешімдердің ішінен