Диффур

1.2. Автономды жүйенің кейбір қасиеттеріне тоқталайық.

10. Егер x =ϕ(t) векторы (1) жүйенің шешімі болса, онда кез келген тұрақты C -саны үшін x =ϕ(t +C) векторы да сол жүйенің шешімі болады.

Шынында да, егер (1) жүйеде t -ның орнына t +C -ны қойсақ, жүйе өзгермейді:

	dϕ(t +C)	=	dϕ(t +C)	= f (ϕ(t +C))
	d (t +C)		dt

Мұнда, егер x =ϕ(t) шешімі кейбір m1 < t < m2 аралығында анықталса, онда x =ϕ(t +C) шешімі m1 −C < t < m2 −C аралығында анықталады.

20. Екі фазалық траекториялардың ортақ нүктелері болмайды, ал болған жағдайда олар

бір траетория болып есептелінеді.

Шынында

да,

айталық, γ1, γ2 -

сəйкес

x =ϕ(t)

жəне

x =ψ (t)

шешімдерінің

траекториялары болсын жəне олардың ортақ x0

нүктесі болсын, яғни ϕ(t ) = x0 =ψ (t

2

) .

1

Енді ψ (t +(t

2

−t

)) = χ(t) векторын қарастырайық. Бұл вектор 10 -қасиет бойынша (1)

1

жүйенің шешімі болады (C = t2 −t1) жəне χ(t1) =ϕ(t1) .

Шешімнің жалғыздығы бойынша

бұл екі шешім бір шешім: χ(t) =ϕ(t) .

Бұдан γ1

жəне

γ2

траекторияларының бір екенін

көреміз.

Анықтама-1.

a -нүктесі автономды (1) жүйенің теңбе-теңдік қалпы немесе тыныштық

нүктесі деп аталынады, егер

f (a) = 0

30. Егер a -нүктесі жүйенің теңбе-теңдік қалпы

болса,

онда x(t) = a фазалық

траектория болады жəне ол траектория бір нүктеден тұрады.

Шынында да, бұл жағдайда x(t) = a

шешім болады:

dx(t)

= da = 0, f (x(t)) = f (a) = 0

dt

dt

40. Тынықтық нүктесінен басқа фазалық траекториялар тегіс қисық болады, яғни олардың əрбір нүктесіне жүргізілген жанама вектор анықталған болады.

Шынында да, егер x =ϕ(t) жүйенің шешімі болса, онда x0 =ϕ(t0 ) нүктесіндегі жанама

вектор dϕdt(t0 ) -ға тең. Ал ол f (x0 ) -ға тең жəне f (x0 ) ≠ 0 . (Егер f (x0 ) = 0 болса, онда x0 - нүктесі тыныштық нүктеге айналған болар еді).

50. Автономды жүйенің шешімдері топтық қасиетті қанағаттандырады. Айталық, x =ϕ(t, x0 ) бастапқы Коши есебін қанағаттандыратын шешім болсын:

ϕ(t, x0 ) t =0 = x0

Осы шешім үшін мынандай қатынастар орындалады:

ϕ(t1 +t2 , x0 ) =ϕ(t2 , ϕ(t1, x0 )) =ϕ(t1, ϕ(t2 , x0 ))

Дəлелдеуі. Төмендегідей екі вектор-функция құрайық:

ϕ1(t) =ϕ(t, ϕ(t1, x0 )), ϕ2 (t) =ϕ(t +t1, x0 )

Бұлардың екеуі де 10 -қасиет бойынша (1) жүйенің шешімдері болады. Егер t = 0 деп алсақ, онда

ϕ (0) =ϕ(0, ϕ(t , x0 )) =ϕ(t , x0 ),
1		1	1
ϕ	2	(0) =ϕ(t , x0 )
		1

яғни ϕ1(0) =ϕ2 (0) . Шешімнің жалғыздығы бойынша ϕ1(t) ≡ϕ2 (t) . Осыдан

ϕ(t1 +t2 , x0 ) =ϕ(t2 , ϕ(t1, x0 ))

Осы сияқты ϕ1(t) жəне ϕ2 (t) функцияларын

ϕ1(t) =ϕ(t, ϕ(t2 , x0 )),

ϕ2 (t) =ϕ(t +t2 , x0 )

түрінде алсақ, онда

ϕ(t1 +t2 , x0 ) =ϕ(t1, ϕ(t2 , x0 ))

теңдігін аламыз, яғни қасиетте келтірілген екі теңдіктің де орындалатынын көреміз. 60. Егер x =ϕ(t) шешімінің фазалық траекториясы тегіс тұйық қисық болса, онда

шешім периодты болады.

Дəлелдеуі. x =ϕ(t) шешімінің тұйық траекториясын γ -деп белгілейік. Шешімнің периодты екенін көрсетейік. Траектория бойынан кейбір a γ нүктесін алайық. 10 -қасиет бойынша a =ϕ(0) деп алуға болады. γ -тұйық қисығының ұзындығын L -деп белгілейік. Дифференциалдық геометриядан белгілі, доға ұзындығы былай есептелінеді:

dS =		dx		=	dx	dt =		f (ϕ(t))		dt
					dt

γ -тұйық шектелген көптік болғандықтан жəне осы γ							бойында f (x) ≠ 0 шарты
орындалғандықтан, кейбір 0 < m < M сандары үшін
0 < m ≤		f (x)		≤ M < ∞, x γ
теңсіздіктері орындалады.
Айталық, γt доғасы γ қисығының бір бөлігі болсын:							x =ϕ(τ), 0 ≤τ ≤ t . Ол доғаның
ұзындығы l(t) былай анықталады:
			t
l(t) = ∫					f (ϕ(τ))	dτ
0
Осыдан

l(t) ≤ Mt < L , егер t < L / M болса.

Мұнда l(t) функциясы монотонды өсетін функция жəне ол шексіздікке ұмтылады, өйткені l(t) ≥ mt . Сондықтан, тек жалғыз ғана T > 0 саны табылады жəне сол сан үшін l(T ) = L теңдігі орындалады. Осыдан ϕ(T ) =ϕ(0) , яғни T саны x =ϕ(t) шешімінің ең кіші периоды болғаны. Кері жағдайда, яғни ϕ(T ) ≠ϕ(0) болғанда γT -доғасы γ -қисығының бір бөлігі ретінде, оның ұзындығы L -ден кіші болар еді. Ал дəлелдегеніміз бойынша l(T ) = L .

Сонымен, периодтылықтың қажетті орындалғандықтан, x =ϕ(t) функциясы T

жəне жеткілікті шарты:

ϕ(T ) =ϕ(0)

периодты шешім болады, яғни ϕ(t +T ) =ϕ(t) .

Егер соңғы теңдіктегі t -ның орнына t −T -ны қойсақ, онда ϕ(t) =ϕ(t −T ) теңдігін аламыз.

Бұдан шығатын қорытынды: егер шешімнің периоды T болса, онда −T саны да сол шешімнің периоды болады. Жалпы, кез келген бүтін N саны үшін NT -саны период болады (N = ±1, ± 2, ...) .

Сонымен, жоғарыда келтірілген қасиеттерді қорытындылай келе мынандай тұжырым аламыз.

Теорема-1. Автономды жүйенің фазалық траекториясы төмендегідей үш түрлі болады:

1)теңбе-теңдік қалып – нүкте;

2)өзін-өзі қимайтын тегіс қисық;

3)тұйық тегіс қисық - цикл.

13-ЛЕКЦИЯ. Шешімнің орнықтылығы.

Лекция мақсаты: Орнықтылықтың Ляпунов мағынасымен таныстыру. Оның геометриялық мəн-мағынасын таныстыру. Зерттеу əдістерімен таныстыру.

Негізгі сөздер: асимптотикалық орнықтылық, Ляпунов функциясы, анықталған оң таңбалы, теріс таңбалы функциялар.

Қысқаша мазмұны Шешімнің орнықтылығы

2.1. Автономды теңдеулердің қалыпты жүйесін қарастырайық:

dx

= f (x)

(1)

dt

Мұндағы f (x) векторы

кейбір

D Rn

облысында анықталған

жəне үздіксіз дифференциалданатын функция деп

есептелінеді.

Айталық, a -нүктесі (1) жүйенің теңбе-теңдік қалпы болсын:

f (a) = 0

(2)

ал x =ϕ(t, x0 ) функциясы жүйенің бастапқы

ϕ(0, x0 ) = x0

(3)

шартын қанағаттандыратыг шешім болсын.

Анықтама-1.

Жүйенің

теңбе-теңдік

қалпы x = a Ляпунов

бойынша орнықты деп аталынады, егер:

1) кез келген

δ0 > 0

саны

үшін

x0 −a

<δ0

теңсіздігін

қанағаттандыратын x =ϕ(t, x0 ) шешім t -ның барлық оң мəндерінде анықталса, 2) кез келген ε > 0 саны үшін δ =δ(ε) > 0 саны табылып,

x0 − a ≤ δ теңсіздігінен ϕ(t, x0 ) − a ≤ ε, t ≥ 0 теңсіздігі шықса.

Анықтама-2. Теңбе-теңдік қалып асимптотикалы орнықты деп аталынады, егер ол Ляпунов бойынша орнықты болса жəне қосымша

lim ϕ(t, x0 ) = a

t →+∞

шарты орындалса.

Анықтама-3. Теңбе-теңдік қалып Ляпунов бойынша орнықсыз деп аталынады, егер қаншалықты кіші δ =δ(ε) > 0 саны табылмасын, x0 − a ≤ δ теңсіздігінен ϕ(t, x0 ) −a ≤ ε

теңсіздігі шықпаса.

2.2. Бұл анықтамалардың бəріне геометриялық түсініктеме беруге болады.

Алдын ала ескерте кететін жағдай: теңбе-теңдік x = a қалпы үшін координат жүйесінің бас нүктесін алуға болады, яғни a = 0 деп алуға болады (ол үшін параллельдік көшіру

жасасақ, жеткілікті).

теңбе-теңдік x = 0 қалпы

Бұл жағдайда орнықтылықты қысқаша анықтауға болады:

Ляпунов бойынша орнықты деп аталынады, егер кез келген

ε > 0 саны үшін кейбір

δ =δ(ε) > 0 саны табылып, мынандай теңсіздіктер орындалса:

x0

≤ δ

ϕ(t, x0 )

≤ ε, t ≥ 0

(4)

Ал асимптотикалық орнықты болу үшін қосымша

limϕ(t, x0 ) = 0

(5)

t →∞

шарты орындалуы керек.

Соңғы теңсіздіктерге төмендегідей геометриялық түсініктеме беруге болады.

Фазалық Rnx	кеңістігінде центрлері координат жүйесінің басында жатқан радиустері
сəйкес δ жəне	ε	сандарына тең центрлес сфералар жүргізейік. Бұлардың радиустері
əртүрлі қатынаста		болуы мүмкін. Айқын болуы үшін δ <ε болсын. Сонда орнықты

дегеніміз – радиусы δ -ға тең сфераның ішінен басталған траектория радиусы ε -ге тең сфераның ішінен шықпайды дегенді білдіреді. Ал асимптотикалық орнықты дегеніміз – радиусы сол δ -ға тең сфераның ішінен басталған траектория t -ның мəні өскен сайын координат жүйесінің бас нүктесіне шексіз жақындайды дегенді білдіреді. Орнықсыздық дегеніміз – қаншалықты кіші мəнді δ > 0 саны табылмасын, кіші сфераның ішінен

басталған траектория белгілі бір мезеттен бастап үлкен сфераның сыртына шығады дегенді білдіреді.

Негізгі теоремалар

3.1. Теңдеудің белгілі бір шешімінің орнықтылығын зерттеу оның жалпы, не дара шешімдері белгілі болса, қиындық тудырмайды. Ал шешім айқын түрде табыла бермейді. Ляпунов өз зерттеулерінде кейбір шарттарды қанағаттандыратын арнаулы функциялар енгізу арқылы теңдеуді шешпей-ақ, оның нөлдік шешімінің орнықтылығын анықтауға болатынын көрсетті. Бұл əдісті Ляпуновтың екінші əдісі деп атайды. Енді осы əдістен шығатын кейбір тұжырымдарды келтірейік.

Анықтама-1. Үздіксіз дифференциалданатын V (x) функциясы x = 0 нүктесінің кейбір

U аймағында анықталған оң таңбалы деп аталынады, егер

V (x) > 0, x ≠ 0, V (0) = 0

Ал егер V (x) < 0, x ≠ 0, V (0) = 0 болса, онда V (x) функциясы анықталған теріс таңбалы деп

аталынады.

Анықтама-2. V (x) функциясы U аймағында тұрақты таңбалы деп аталады, егер ол

осы аймақта тек бір ғана таңбалы мəн қабылдаса, ал нөлге координат жүйесінің бас нүктесінен басқа нүктелерде де айналып жатса.

Анықтама-3. Анықталған оң таңбалы V (x) функциясы Ляпунов функциясы деп

аталынады, егер оның берілген жүйе, не теңдеу бойынша алынған туындысы теріс таңбалы болса.

Бұл анықтаманы теріс таңба арқылы беруге де болады: анықталған теріс таңбалы V (x)

функциясы Ляпунов функциясы деп аталады, егер оның берілген жүйе, не теңдеу бойынша алынған туындысы оң таңбалы болса. Жалпы, V (x) функциясы Ляпунов

функциясы болу үшін оның жүйе бойынша алынған туындысының таңбасы кері болуы немесе нөлге тең болуы шарт.

Теорема-1 (Ляпуновтың орнықтылық туралы теоремасы). Егер жүйенің теңбе-теңдік қалпы x = 0 нүктесінің кейбір U аймағында V (x) Ляпунов функциясы бар болса, онда

x = 0 теңбе-теңдік қалып Ляпунов мағынасында орнықты болады.

Дəлелдеуі. V (x) функциясы анықталған оң таңбалы болсын. x = 0 нүктесінің U аймағында Kε : x ≤ε шарын қарастырайық. Sε -сол шардың сферасы (шекарасы) болсын, Sε : x =ε . Sε - шектелген тұйық жиын болғандықтан, ал V (x) - үздіксіз функция болғандықтан, əрі V (x) > 0 деп алынғандықтан,

minV (x) = K > 0

x Sε

Енді Kδ : x ≤δ шарын алайық. V (0) = 0 болғандықтан, δ > 0 санын соншалықты кіші етіп алуға болады жəне сол δ үшін

V (x) < K, x Kδ .

Енді егер	x0	≤δ	деп	алсақ, онда		x(t, x0 )	≤ε	болатынын		көрсетейік	(0 ≤ t < ∞) .
U аймағында		•		болғандықтан,		яғни V (x)		монотонды өспейтін			функция
		V (x) ≤ 0
болғандықтан,		V (x0 ) < K		жəне кез келген 0 ≤ t < ∞				аралығында		x = x(t, x0 )	шешімінің
бойында V (x) < K			теңсіздігі орындалады. Сондықтан, Kδ						шарының ішінен басталатын
траектория	Kε	шарынан		шығып кете	алмайды, өйткені				x Sε	болғанда V (x) ≥ K , ал

траектория бойында V (x) < K . Осыдан x(t, x0 ) ≤ε болатынын көреміз, яғни нөлдік шешім

орнықты.

Теорема-2 (Ляпуновтың асимптотикалық орнықтылық туралы теоремасы). Егер жүйенің теңбе-теңдік нөлдік қалпының кейбір аймағында анықталған оң таңбалы V (x)

функциясы бар болса, ал оның жүйе бойынша алынған толық туындысы анықталған теріс таңбалы болса, онда теңбе-теңдік қалып асимптотикалық орнықты болады.

Дəлелдеуі. Алдыңғы теореманың дəлелдеуінде келтірілген Kε жəне Kδ шарлары үшін

	x0	≤δ болғанда	x(t, x0 )	≤ε	теңсіздігі орындалатыны көрсетілді. Енді W (t) =V (x(t, x0 ))
функциясын қарастырайық.					•	болғандықтан, W (t)	функциясы кемімелі болады
					V (x) < 0

жəне оның шегі бар: lim W (t) = A .

t →∞

Осындағы A санының нөлге тең болатынын көрсетейік (егер A = 0 болса, онда теорема орындалып тұр). Кері жориық, A > 0 болсын. Бұл жағдайда шекке көшкенге дейін t ≥ 0

үшін W (t) ≥ A шарты орындалады жəне

кейбір α саны

үшін (0 <α <ε)

x(t, x0 )

≥α

теңсіздігі орын алады (Кері жағдайда, V (x)

функциясы траектория бойында өте кіші аз

мəн қабылдаған болар еді). Теореманың шарты бойынша

α ≤

x(t, x0 )

≤ε теңсіздіктері

•

арқылы анықталатын екі шар аралығында V (x(t, x0 )) ≤ −β, (β > 0) , яғни

•

W ′(t) =V (x(t, x0 )) ≤ −β

Осыдан [0, t) аралығында интеграл алсақ:

W (t) −W (0) ≤ −βt

немесе

W (t) ≤ −βt +W (0)

Бұл қатынастың оң жағы t > Wβ(0) болғанда теріс мəн қабылдайды, бұл V (x)

функциясының анықталған оң таңбалы екеніне қарама-қарсы. Осы қайшылық теореманы дəлелдейді.

Теорема-3 (Четаевтың орнықсыздық туралы теоремасы). Айталық, кейбір U1 U аймағында үздіксіз дифференциалданатын V (x) функциясы төмендегідей шарттарды қанағаттандырсын:

•

1) V (x) > 0, V (x) > 0, x U1 ,

2) U1 аймағының U облысына жататын ішкі шекара нүктелерінде V (x) = 0 болсын. Бұл жағдайда жүйенің теңбе-теңдік қалпы орнықсыз.

Дəлелдеуі. U1 аймағының x0 нүктесінен шығатын x = x(t, x0 ) шешімнің траекториясы γ болсын. Осы траектория бойымен алынған W (t) =V (x(t, x0 )) функциясы γ U1 болғанда

	′	•	қанағаттандырады. Сондықтан, сол γ U1 үшін
W (0) > 0, W (t) =V (x) > 0 теңсіздіктерін
W (t) > 0	теңсіздігі орын алады, яғни		ол қатаң өсетін функция. Бұл жағдайда траектория
V (x) = 0	теңдігі орындалатын ішкі шекара нүктелерді басып өте алмайды, бірақ ол өсіп

отыратын болғандықтан, U1 аймағынан шығып кетеді. Сондықтан, теңбе-теңдік қалып

орнықсыз.

Теорема-4. Автономды жүйенің анықталған оң таңбалы интегралы бар болса, ол жүйенің теңбе-теңдік қалпы орнықты.

Дəлелдеуі. Егер анықталған оң таңбалы V (x) функция жүйенің интегралы болса, онда

•

анықтама бойынша V (x) ≡ 0 тепе-теңдігі орындалады. Сондықтан, V (x) функциясы

Ляпуновтың бірінші теоремасының шарттарын қанағаттандырып тұр, яғни нөлдік шешім орнықты.

Теорема-5. Айталық, x = 0 нүктесі берілген жүйенің теңбе-теңдік қалпы болсын, ал V (x) Ляпунов функциясы үшін

•

β , (α > 0, β > 0)

(6)

V (x) ≤ −αV (x), V (x) ≥ A

x

шарттары орындалсын. Бұл жағдайда кейбір C саны үшін

x(t, x0 )

≤ Ce−αβt

, t [0, ∞)

(7)

теңсіздігі орындалады.

Дəлелдеуі. x = x(t, x0 ) шешімі үшін W (t) =V (x(t, x0 )) функциясын құрайық.

Теорема

′

′

[0,t) аралығында интеграл

шарты бойынша: W (t) ≤ −αW (t) немесе

(lnW (t)) ≤ −α . Осыдан

алсақ, W (t) ≤W (0)e−αt қатынасын аламыз. (6) теңсіздіктердің екіншісін пайдалансақ,

A x(t, x0 )β ≤V (x(t, x0 )) ≤V (x0 )e−αt , t > 0

қатынастары шығады, ал бұдан (7) теңсіздік оңай шығады. Ол үшін теңсіздіктің екі жағын A санына бөліп, түбір тапсақ, жеткілікті.

Сызықты жүйенің орнықтылығы

4.1. n теңдеуден тұратын тұрақты коэффициентті сызықты біртекті жүйені қарастырайық:

dx	= Ax	(1)
dt

Бұл жүйенің теңбе-теңдік қалпы x = 0 нүктесінің орнықтылық, орнықсыздық шарттарын келтірейік.

Теорема-1. Егер A матрицасының барлық меншікті сандарының нақты бөліктері теріс болса, онда (1) жүйенің теңбе-теңдік қалпы асимптотикалы орнықты, ал егер сол меншікті сандардың ең болмағанда біреуінің нақты бөлігі оң болса, онда теңбе-теңдік қалып орнықсыз.

Дəлелдеуі. Айталық, λ1, λ2 , ..., λn

- сандары

A матрицасының

меншікті

сандары

болсын жəне

Re λi ≤ −α < 0, (i =1, ..., n) .

Бұл жағдайда Ляпунов функциясын құру үшін

A

матрицасын

алдын ала

диагоналды

дерлік түрге келтіреміз. Алгебрадан белгілі,

A

матрицасы үшін кейбір

T

матрицасын табуға

болады жəне ол

мынандай

теңдікті

қанағаттандырады:

T −1AT = Λ + B

Мұнда Λ = diag{λ1, ..., λn},

ε

ал

Bε = (bij )

- матрицасының əрбір элементі

bij

≤ ε, (i, j =1, ..., n)

шартын қанағаттандырады.

(1) жүйе үшін x =Ty алмастыруын қолдансақ,

dy

= (Λ + Bε )y

(2)

dt

жүйесіне келеміз. Осы жүйеге Ляпунов функциясын төмендегідей түрде алайық:

n		2			(3)
V ( y) = ∑	yi	= ( y,	y	)
i=1

Бұл функция x = 0 нүктесінің (немесе y = 0 нүктесінің) кез келген аймағында анықталған оң таңбалы. Енді оның туындысын есептейік:

	•
		d			) = ( dy				d y
	V ( y) =		( y,	y		,	y	) + ( y,			) =
		dt
					dt				dt

((Λ + Λ)y, y)+[(Bε y, y)+( y, Bε y)]

Осындағы бірінші қосындыны бағаласақ,

n				2	n		2	n		2
∑(λi +	λi	)	yi		= 2∑Re λi	yi		≤ −2α∑	yi
i=1					i=1			i=1

теңсіздігін аламыз. Екінші қосындыны бағалайық:

n

n

n

2

n

2

(Bε y, y)

=

(y, Bε y)

≤ ∑

bij

yi

y j

≤ ε ∑

yi

y j

= ε ∑

yi

≤ nε∑

yi

Осыдан

i, j =1

i, j =1

i=1

i=1

•

n

2

(4)

V ( y) ≤ −2(α − nε)∑

yi

= −2(α −nε)V ( y)

Соңғы қатынастағы ε санын

0 < ε < α

i=1

•

теңсіздігі орындалатындай етіп алсақ, онда

V ( y)

n

функциясының анықталған теріс таңбалы болатынын көреміз. Сондықтан, Ляпуновтың екінші теоремасы бойынша теңбе-теңдік қалып асимптотикалы орнықты.

Теореманың екінші бөлігіне келетін болсақ, кейбір λi0 меншікті санның нақты бөлігі оң болсын: Re λi0 > 0 . Бұл санға сəйкес шешім

x(t) = eλi0 t f

(5)

түрінде жазылады. Мұндағы, f - сəйкес меншікті вектор. Осыдан

x(t)

= eαt

f

, α = Re λ

i0

(6)

α > 0 болғандықтан, t шексіздікке ұмтылғанда

x(t)

нөлге ұмтылмайды,

яғни теңбе-

теңдік қалып орнықсыз.

Ескерту-1. Егер A матрицасының меншікті сандарының нақты бөліктері нөлге тең болып, қалғандарының нақты бөліктері теріс болса, онда теңбе-теңдік қалып орнықты да, орнықсыз да болуы мүмкін. Егер таза жорамал санға сəйкес жордан шаршысының реті бірден аспаса, онда теңбе-теңдік қалып орнықты. Кері жағдайда теңбе-теңдік қалып орнықсыз.

Мысалы, λ1 меншікті саны таза жорамал сан болса, ал оған екінші ретті жордан шаршысы сəйкес келсе, онда шешім

x(t) = eλ1t ( f +tg)

(7)

түрінде жазылады. Мұндағы, f , g - тұрақты меншікті векторлар. Осыдан

x(t)

=

f +tg

≥ t

g

−

f

→ ∞ егер t → ∞,

яғни теңбе-теңдік қалып орнықсыз.

Ескерту-2. Жоғарыда айтылған тұжырымдарды (1) жүйенің айқын шешімін пайдаланып дəлелдеуге де болады. Ол шешім былай жазылады:

x(t, x0 ) = etA x0

(8)

Мұнда тек etA матрицасының түрін анықтау керек. Жоғарғы əдістің бір артықшылығы – оны сызықты емес жүйеге де қолдануға болатындығы.

Соңғы екі тұжырымның дəлелдеулерін [4] оқу құралынан көруге болады.

Сызықты жуықтау арқылы орнықтылықты зерттеу

5.1. Айталық,

x = 0 нүктесі автономды

dx

= f (x)

(1)

dt

f (0) = 0 . Осы x = 0

нүктесінің кейбір U

жүйенің теңбе-теңдік қалпы болсын, яғни

аймағында f (x)

функциясы екінші ретке дейін үздіксіз дифференциалдансын. Тейлор

формуласы бойынша:

′

+ g(x)

(2)

f (x) = f (0) + f (0)x

Мұнда f (0) = 0 ,

′

оның əрбір элементі

∂fi (0)

, (i, k =1. ..., n) ,

f (0) - Якоби матрицасы,

∂x

түрінде анықталады. Ал g(x) функциясы үшін

k

g(x)

≤ C

x

2 , x U

(3)

шарты			орындалады. Сондықтан, жуықтап, f (x) ≈	′	деп алуға	болады. Егер
				f (0)x
	∂fi (0)
			= A деп белгілесек, төмендегідей сызықты жүйе аламыз:
	∂x
	k
			dx = Ax			(4)
			dt

Сызықты емес (1) жүйеден (4) жүйеге көшуді жүйені сызықтандыру деп атайды. Ол белгілі бір шешімнің аймағында орындалады.

Сызықтандырылған (4) жүйе – тұрақты коэффициентті сызықты жүйе. Ол оңай интегралданады. Сондықтан, оның x = 0 теңбе-теңдік қалпының орнықтылығы толық зерттелген. Оны өткен параграфта келтірдік.

Енді осы сызықтандырылған (4) жүйенің теңбе-теңдік қалпының орнықтылығына қарап бастапқы сызықты емес (1) жүйенің теңбе-теңдік қалпының орнықтылығын анықтау мүмкіншілігін қарастырайық. Бұл жөнінде Ляпуновтың іргелі тұжырымы төмендегідей.

Теорема-1. Айталық, f (x) вектор-функциясы теңбе-теңдік қалыптың кейбір

аймағында екі рет үздіксіз дифференциалдансын. Егер Якоби матрицасының меншікті сандарының нақты бөліктері теріс болса, онда сызықты емес (1) жүйенің теңбе-теңдік қалпы асимптотикалы орнықты жəне кез келген шешім үшін төмендегідей шарт орындалады:

x(t, x0 )

≤ Ce−αt

x0

, t [0, ∞)

(5)

мұнда α > 0, C > 0, x 0 -мейлінше аз шама.

Дəлелдеуі. Берілген (1) жүйені (2) жіктеуді пайдаланып төмендегідей түрде жазайық:

							dx	= Ax + g(x)			(5)
							dt
					∂fi (0)
Мұндағы,							- тұрақты матрица, ал g(x)		функциясы (3)		теңсіздікті
				A =	∂x
					k
қанағаттандырады. Өткен параграфта көрсетілгендей, кейбір T -										матрицасы арқылы A
матрицасын диагоналды дерлік түрге келтіреміз. Ол үшін x = Ty										алмастыруын жасасақ,
жүйе мына түрге келеді:							dy = (Λ + B )y + h( y)
											(6)
							dt	ε
Мұнда Λ-
				диагоналды			матрица, Bε = (bij ) -	матрицасының	əрбір элементі		шектелген:
	b		≤ ε, ал h( y) =T −1g(Ty) .
	ij

Ляпунов функциясы үшін сол алдыңғы параграфта көрсетілген функцияны алайық:

n				2 = ( y,
V (x) = ∑		yi			y	)	(7)
i=1

Бұл функция анықталған оң таңбалы. Енді осы функцияның (6) жүйе бойынша алынған

туындысын есептейік:

d

dy

d y

•

V ( y) =

(y, y)=

=

dt

, y + y,

dt

dt

(8)

= [((Λ + Bε )y,

)+ (y, (

+

)y

)]+

[(h( y),

)+ (y,

)]≡ A1 + A2

y

Λ

Bε

y

h( y)

Мұнда A1 жəне A2 сəйкес бірінші жəне екінші квадрат жақшалардың ішіндегі өрнектерді

білдіреді. Осындағы A1 қосындысы сызықты

dy = (Λ + B )y

(9)

dt

ε

жүйе бойынша алынған туындыны білдіреді. Сондықтан §3

•

бойынша (онда V ( y) ≤ −αV ( y) ) деп көрсетілген):

A ≤ −γ

x

2 , γ > 0

1

Осы сияқты

y

=

T −1x

≤ C

x

,

1

h( y)

=

T −1g(Ty)

≤ C

2

g(x)

≤ C

C

x

2

2

3

Осыдан

3

A

≤ 2

y

h( y)

≤ C

x

2

мұндағы C = 2C2C3 .

Сондықтан,

•

2 (γ −C

)

V (x) ≡ A + A

≤ −

x

x

1

2

Егер кейбір U1

U аймағында

x

≤

γ

C деп алсақ, онда

2

•

V (x) ≤ −

γ

x

2

, x U1

2

параграфтағы теорема-5

(10)

(11)

(12)

(13)

•

яғни U1 облысында V (x) функциясы анықталған теріс таңбалы мəн қабылдайды жəне

	•
	V (x) ≤ −αV (x), x U1	(14)
мұндағы α > 0 .	Ляпуновтың екінші теоремасы бойынша теңбе-теңдік қалып	x = 0
асимптотикалы орнықты. (14) теңсіздіктен (5) шарты оңай шығады (§3).
Теорема-2.	Айталық, f (x) вектор-функциясы теңбе-теңдік қалыптың	кейбір

аймағында екі рет үздіксіз дифференциалдансын. Егер Якоби матрицасының меншікті сандарының кейбіреуінің нақты бөлігі оң болса, онда теңбе-теңдік қалып орнықсыз.

Дəлелдеуі. Айталық, λn меншікті санының нақты бөлігі оң болсын: Reλn > 0 . Бұл

жағдайда

A

матрицасына

T

түрлендіруін

пайдаланып, оны төменгі

үшбұрышты

диагоналды түрге келтірсек, соңғы теңдеу

dyn

= λ

n

y

n

+ h ( y)

(15)

dt

n

түрінде жазылады. Осы теңдеу үшін Четаев функциясын мына түрде алайық:

V (x) =

yn

2 = (yn ,

)

(16)

yn

Осы функцияның (15) теңдеу бойынша туындысын есептейік:

•

dy

d y

n , y

,

= (λ

y

+ h ( y), y

)+

V (x) =

n

+ y

n

n

n

n

n

dt

dt

n

+ (yn ,

n +

n (

))= 2 Re λn ( yn ,

) + h( y) = 2 Re λn

yn

2 + h( y)

λ

n

y

h

y

yn

мұндағы,

h

≤ C

y

3 .

Соңғы теңдіктен

•

2 −C

3

V (x) ≥ 2 Reλn

yn

y

(17)

теңсіздігін аламыз. Осы (16) жəне (17) қатынастардан x = 0 нүктесінің кейбір аймағында

V (x) > 0 жəне	•
	V (x) > 0 болатынын көреміз. Мысалы, y1	= 0, y2	= 0, ..., yn−1	= 0, yn ≠ 0
нүктесінде V (x)	•			U1 аймағы
	жəне V (x) функциялары анықталған оң таңбалы. Сондықтан,

үшін yn ≠ 0 облысын алсақ, жеткілікті. Егер yn жеткілікті аз шама болса, онда U1 U

жəне оның ішкі шекарасында x = 0 нүктесі жатыр. Четаев теоремасы бойынша теңбетеңдік қалып орнықсыз.

Теорема-3. Егер Якоби матрицасының меншікті сандарының кейбіреулерінің нақты бөліктері нөлге тең болып, қалғандарының нақты бөліктері теріс болса, онда (5) жүйедегі g(x) функциясының берілуіне қарай теңбе-теңдік қалып орнықты да, орнықсыз да бола

алады.Мұндай жағдайларды ерекше жағдайлар деп атайды. Олар туралы мағлұматтарды арнаулы [8] кітабынан алуға болады.

14-ЛЕКЦИЯ. Екінші ретті сызықты жүйенің траекториялары.

Лекция мақсаты: Екінші ретті тұрақты коэффициентті біртекті жүйенің траекторияларының фазалық бейнесімен таныстыру.

Негізгі сөздер: Фазалық кеңістік, траектория, теңбе-теңдік қалып, түйін, фокус, центр.

Қысқаша мазмұны Екінші ретті сызықты жүйенің траекториялары

6.1. Тұрақты нақты коэффициентті біртекті сызықты жүйені қарастырайық:

	dx1 = a			x + a				x
	dt	11			1	12			2
									(1)
	dx2
		= a	21		x + a		22		x
	dt				1				2

Бұл жүйенің x1 = 0, x2 = 0 нөлдік шешімі барлық уақытта бар. Осы шешімге сəйкес (0, 0)

нүктесі жүйенің теңбе-теңдік қалпы немесе тыныштық нүктесі деп аталынады.

Жүйенің нөлдік емес шешімдерінің фазалық траекторияларының кескіндерін

анықтайық. Олар A = (aij ) матрицасының меншікті сандарына байланысты.
Айталық,		λ1, λ2 - сандары A матрицасының меншікті сандары болсын,								яғни олар
сипаттаушы			a11 − λ	a12
						= 0
			a21	a22 − λ
теңдеуінің түбірлері болсын.
Төмендегідей жағдайларды қарастырайық.
10. λ , λ	2	- нақты əртүрлі сандар. Жүйенің жалпы шешімі
1				x(t) = C αeλ1t				+C βeλ2t
										(3)
					1			2
түрінде жазылады. Мұндағы, α жəне β меншікті векторлар,							C1, C2 - тұрақты сандар.
Жалпы шешімнің α,β базисындағы координаттарын ξ1, ξ2 - деп белгілейік:
				ξ = C eλ1t , ξ			2	= C	eλ2t	(4)
				1	1			2

Траекториялардың кескінін жəне бағытын байқау үшін C1 ≥ 0, C2 ≥ 0 болатын бірінші квадрантты қарастырсақ, жеткілікті. Сəйкес төмендегідей үш жағдайды қарастырайық:

а)	λ2 < λ1 < 0 болсын. Бұл жағдайда C1 = C2 = 0				болса, онда (0, 0) тыныштық нүктесін
аламыз. Егер C1 > 0, C2 = 0 болса, онда ξ2			осі фазалық траектория, ал C1 = 0, C2 > 0 болса,
онда	ξ осі фазалық траектория болады. C > 0, C			2	> 0 болғанда eλit → 0 егер t → +∞ , яғни
	1		1
фазалық траектория тыныштық нүктесіне ұмтылады жəне
	lim	ξ2	= lim e(λ2 −λ1 )t = 0
	t →+∞	ξ1	t →+∞

Соңғы қатынас траекторияның ξ2 осін координаттың бастапқы нүктесінде жанай өтетінін

көрсетеді.

Егер λ1 < λ2 < 0 болса, онда