Диффур

14.n - ретті біртекті сызықты теңдеудің шешімдерінің қасиеттері.

15.Шешімдердің өзара тəуелділігі, тəуелсіздігі. Вронский анықтауышы.

16.n - ретті тұрақты коэффициентті сызықты біртекті теңдеуді интегралдау. Эйлер

əдісі.

17.Лиувилль формуласы.

18.n - ретті біртексіз сызықты теңдеулердің шешімдерінің қасиеттері.

19.n - ретті тұрақты коэффициентті біртексіз теңдеуді интегралдау. Вариациялау əдісі.

20.Сызықты теңдеулер жүйесі. Жалпы қасиеттері.

21.Біртекті сызықты жүйенің шешімдерінің қасиеттері.

22.Біртексіз сызықты жүйенің шешімдерінің қасиеттері.

23.Тұрақты коэффициентті сызықты жүйені интегралдау.

6-ТАРАУ СӨЖ бойынша ұсынылатын тақырыптар

Кейбір тақырыптарды студенттердің өздерінше оқып, талдап отыруы олардың əдебиетпен жұмыс істеу қабілетін жəне жауапкершілігін арттырады. Сондықтан оларға нақты тақырыптармен қоса есептерді көрсету керек. Бұны үй жұмысы түрінде де беруге болады.

1-2. Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулерді интегралдау əдістері.

а) айнымалылары ажыратылатын теңдеулер б) толық дифференциалды теңдеулер в) сызықты теңдеулер

[1]: §§1-4, 1-тарау [3]: №№ 51-64, 101-128, 136-160, 186-220 (жұптар)

3-4. Туынды бойынша шешілмеген теңдеулер.

а) жалпы параметр енгізу əдістері б) Лагранж жəне Клеро теңдеулері

[1]: §5, 1-тарау [3]: №№ 241-296 (жұптар)

5-6. Жоғарғы ретті теңдеулер.

а) реті төмендетілетін теңдеулер б) біртекті теңдеулер

[1]: §§1-2, 2-тарау [3]: №№ 421-450 (жұптар)

7-8. n ретті сызықты теңдеулер.

а) тұрақты коэффициентті біртекті теңдеулер б) тұрақты коэффициентті біртексіз теңдеулер

[1]: §§1-4, 1-тарау [3]: №№ 51-64, 101-128, 136-160, 186-220 (жұптар)

9-10. Біртексіз сызықты теңдеудің шешімін табу.

а) n тұрақты коэффициентті біртексіз теңдеу үшін вариациялау əдісі

б) оң жағы квазиполином болып келетін теңдеулер үшін анықталмаған коэффициент

əдісі

[1]: §§1-5, 2-тарау [3]: №№ 531-588 (жұптар)

11-13. Екінші ретті тұрақты коэффициентті біртекті сызықты теңдеулердің фазалық кескіні

а) түйін, фокус болатын жағдайлар б) центр болатын жағдайлар в) ерекше нүктелер

[1]: §6, 5-тарау [3]: №№ 961-978 (жұптар)

14-15. Дербес туындылы сызықты теңдеулерді интегралдау.

а) Біртекті сызықты теңдеулер. Сипаттама əдісі. б) Біртексіз сызықты теңдеулер. Коши есебі. [1]: §1, Қосымша [3]: №№ 1167-1260 (жұптар)

Əдебиеттер:

1.Мырзалыұлы Ж. Дифференциалдық теңдеулер, Алматы, Қазақ Университеті баспасы, 2006ж., 148 бет.

2.Сүлейменов Ж. Дифференциалдық теңдеулер курсы, Алматы, Рауан, 1991ж.

3.Филипов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям, М., 1983г.

4.Қадыкенов Б.М. Дифференциалдық теңдеулер есептері мен жаттығулары, Алматы, 2002ж.

Негізгі сұрақтар

1.Айнымалылары ажыратылатын теңдеулер.

2.Сызықты бірінші ретті теңдеулер.

3.Бернулли теңдеуі.

4.Толық дифференциалды теңдеулер.

5.Туынды бойынша шешілмеген теңдеулер.

6.Параметр енгізу əдісі. Клеро, Лагранж теңдеулері.

7.Реті төмендетілетін теңдеулер.

8.n -ретті тұрақты коэффициентті теңдеулерді интегралдау. Эйлер əдісі.

9.Тұрақты санды вариациялау əдісі.

10.Оң жағы квазиполиномды болып келетін біртексіз сызықты теңдеуді интегралдау.

11.Сызықты теңдеулер жүйесін интегралдау.

12.Орнықтылықты зерттеу əдістері.

13.Бірінші жуықтау арқылы орнықтылықты зерттеу.

1-Аттестациялық бақылау есептері

1.x( y2 + 2 y)dx − dy = 0

2.exdx − (1 + ex ) ydy = 0

3.y'+y cos x = e−sin x

4.y'+ytgx = cos1 x

5.y'+2 y = ex y2

6.y'+ 2xy = y2

7.y'= xy + tg xy

8.xy'''=1

9.(2xy + 3y2 )dx + (x2 + 6xy − 3y2 )dy = 0

10.(xchy + shx)dy + ( ychx + shy)dx = 0

11.y = xy'−( y')2

12.y = 3xy'−7( y')3

13.y''+6 y'+5y = 5ex − x2

14.y''−6 y + 9 y = 3x −8ex

15.y'''+4 y'=8e2x

16.yIV + 2 y''+y = cos x

17.y''−9 y = e3x + cos3x

18.yIV − y = 5ex sin x

19.y''+4 y = sin 2x

20.y''+y = cos x + cos 2x

2-Аттестациялық есептер

1.Бастапқы шартты қанағаттандыратын шешімдерді табу:

1.y''−2 y'+y = 0 , y(2) =1, y'(2) = −2

2.y''+y = 4ex , y(0) = 4, y'(0) = −3

3.y''−2 y'= 2ex , y(1) = −1, y'(1) = 0

4.y''+2 y'+2 y = xe−x , y(0) = y'(0) = 0

5.y'''−y'= 0 , y(0) = 3, y'(0) = −1, y''(0) =1

2. Шеттік шарттарды қанағаттандыратын шешімдерді табу

6.y''−y = 2x, y(0) = 0, y(1) = −1

7.y''+y =1, y'(0) = 0, y(1) =1

8.y''+y =1, y(0) = 0, y(π2 ) = 0

9.y''+y =1, y(0) = 0, y(π) = 0

10.y''−y'= 0, y(0) = −1, y'(1) − y(1) = 2

3. Жүйелердің шешімін табу.			x = 2x + y
	x = 2x + y
11.	&	14.	&
	&		&
	y = 3x + 4 y		y = 4 y − x
12.	x& = x − 3y	15.	x& = x + y
	y& = 3x + y		y& = 3y − 2x
	x = 3x − y		x = 2 y − 3x
13.	&	16.	&
	&		&
	y = 4x − y		y = y − 2x

7-ТАРАУ СОӨЖ бойынша тақырыптар

Сабақ мақсаты: студенттерді оқу құралдарымен жұмыс істеуге үйрету. Жұмыс реферат жазу арқылы орындалады.

1-2. Дифференциалдық теңдеулердің геометриялық жəне механикалық мəнмағынасы.

а) векторлар өрісі б) изоклина

в) траекториялар, интегралдық қисықтар г) Коши есебінің геометриялық жəне механикалық кескіні

[1]: 1-тарау, §1-4.

3-4. Коши есебін қанағаттандыратын шешімнің бар болуы жəне жалғыздығы

а) негізгі тоерема б) Гронуолл лемасы

в) шешімнің параметр жəне бастапқы шарттарға тəуелділігі, үздіксіздігі, дифференциалдануы

г) Коши есебінің геометриялық жəне механикалық кескіні

[2]: 2-тарау, §3.

5-6. Шешімдердің өзара тəуелділігі, тəуелсіздігі

а) Вронский анықтауышы б)Лиувилль формуласы

[1]: 3-тарау, §2.

7-8. Сызықты жүйелерді интегралдау

а) тұрақты коэффициентті теңдеуді интегаралдау б) тұрақты коэффициентті жүйелерді интегаралдау

9-10. Автономды жүйелер жəне орнықтылық

а) Шешімдерінің қасиеттері б) Шешімнің орнықтылығы

в) Орнықтылықтың геометрилық мəн-мағынасы г) Ляпунов функциялары

[1]: 5-тарау, §1-2.

11-12. Орнықтылық туралы Ляпунов теоремалары

а) Орнықтылық туралы 1-теорема б) Асимптотикалық орнықтылық туралы 2-теорема

в) Орнықсыздық туралы Четаев теоремасы г) Ляпунов функциялары

[1]: 5-тарау, §3.

13-14. Орнықтылықты зерттеудің бірінші жуықтау əдісі

а) Тұрақты коэффициентті біртекті сызықты жүйенің нөлдік шешімінің орнықтылығы б) Сызықты емес автономды жүйенің нөлдік шешімін бірінші жуықтау əдісімен

зерттеу

[1]: 5-тарау, §3-4.

15. Дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер үшін Коши есебінің шешімдерін табу

əдістері

а) Сызықты біртекті теңдеулерді шешу б) Сызықты біртексіз теңдеулерді шешу в) Жазықтықтағы Коши есебі [1]: Қосымша.

Əдебиеттер:

5.Мырзалыұлы Ж. Дифференциалдық теңдеулер, Алматы, Қазақ Университеті баспасы, 2006ж., 148 бет.

6.Сүлейменов Ж. Дифференциалдық теңдеулер курсы, Алматы, Рауан, 1991ж.

7.Филипов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям, М., 1983г.

8.Қадыкенов Б.М. Дифференциалдық теңдеулер есептері мен жаттығулары, Алматы, 2002ж.

МСӨЖ бойынша негізгі тақырыптар (реферат үшін)

1.Дифференциалдық теңдеулер үшін Коши есебі. Локалдық жəне глобалдық теоремалар.

2.Шешімнің бастапқы шарттар, параметр бойынша үздіксіздігі туралы теоремалар.

3.Автономды жүйелердің негізгі қасиеттері, ерекшеліктері.

4.Орнықтылықты зерттеудің əдістері. Ляпуновтың екінші əдісі. Негізгі теоремалар.

5.Екінші ретті сызықты теңдеулердің жазықтықтағы фазалық бейнесі(түйін, фокус, центр)

6.Дербес туындылы дифференциалдық теңдеулер үшін Коши есебі. Жазықтықтағы Коши есебінің геометриялық мағынасы.

7.Дифференциалдық теңдеулер жүйесін интегралдау əдістері.

8-ТАРАУ Бақылау – бағалау құралдары

Тест есептері

1. Теңдудің жалпы шешімін тап: y'= y tgx +cos x

А) y = 14 sin x +C cos x

	В) y =	x	+	C			+	1 sin x
		2cos x		cos x
								2
	С) y = C1 cos x +sin x
	Д) y = cos x +C sin x
	Е) y =	2sin 2x +C			x
					cos x

2. Теңдеудің түрін анықта: (x2 + y2 + 2x)dx + 2xydy = 0

А) Сызықты В) Біртектес С) Бернулли

Д) Толық дифференциалды Е) Клеро

3. Теңдеудің жалпы интегралын анықта: (x + y)dx +(x + 2y)dy = 0

А) x2 + y(x + y) = C В) xy = x2 + y2 +C

С) x2 + xy + y2 = C

2

Д) x +(x2 + y2 ) = C Е) x2 + 2xy + y2 = C

4. Теңдеудің түрін анықта: xy2 y'= x2 + y3

А) Сызықты В) Біртектес С) Бернулли

Д) Айнымалылары бөлінетін Е) Лагранж

5. Клеро теңдеуінің ерекше шешімін тап: y = xy'+ 1+ y'2

А) y = x + 2 В) y = 2x + 5 С) x2 + y2 =1

Д) y = 2x + x

Е) x2 − y2 =1

6. Теңдеудің жалпы шешімін тап: y''+ky = 0 (k > 0)

А) y = C1e k x +C2e− k x

В) y = C1 cos k x +C2 sin k x

С) y = C1e k x +C2 xe k x

Д) y = C1e− k x +C2 xe− k x Е) y = C1 cos kx +C2 sin kx

7. Коши есебінің шешімін тап: y''+2 y'= 0 , y(0) =1, y'(0) = 0

А) y = e−2 x +1 В) y =1

С) y = x −e−2 x Д) y = e2 x − x Е) y = e−2 x

8. Теңдеудің жалпы шешімін тап: y'=					4	y + x y
А)	y = C ex + x2				x
		1
В)	y =	x2	ln x +Cx	2
		2
С) y = (x2 +C)2
Д)	y = x4 (1 ln x +C)2
			2

Е) y = x2 C + 1 x2

9. Теңдеудің түрін анықта: y'− xy = x

А) Сызықты В) Біртектес С) Бернулли

Д) Толық дифференциалды Е) Риккати

10. Клеро теңдеуінің ерекше шешімін тап: y = xy'+y'2

А) y = x +1

В) y = − x2

4 С) y = 2x + 4

Д) y = 12 x + 14 Е) y = 3x +6

11. Теңдеудің түрін анықта: y'= y2 − 2xy

А) Сызықты В) Біртектес С) Бернулли

Д) Толық дифференциалды Е) Риккати

12. Теңдеудің жалпы шешімін тап: y''−9 y = 0

А) y = C1e3x +C2e−3x

В) y = C1 cos3x +C2 sin 3x

С) y = C1e3x +C2 xe3x

Д) y = C1e−3x +C2 xe−3x

Е) y = C1e−3x sin 3x +C2e−3x cos3x

13.Коши есебінің шешімін тап: y''+4 y = 0 , y(0) = 0, y'(0) = 2

А) y = sin 2x

В) y = cos 2x +2x С) y = sin 2x + x

Д) y = cos 2x + xsin x Е) y = cos 2x +sin 2x

14.Теңдеудің жалпы шешімін тап: y''−y = 2sin x

А) y = C1 sin x +C2 cos x

В) y = C1ex +C2e−x +cos x С) y = C1ex +C2e−x +sin x

Д) y = C1 sin x +C2 cos x +ex

Е) y = C1ex +C2e−x −sin x

Дербес шешімді тап: 15. y''+4 y = 5ex

А) y = xex

В) y = 5ex

С) y = ex

Д) y = 12 ex x

Е) y = sin x

16.y''+9 y =8sin x А) y = cos x

В) y = tgx

С) y = sin x Д) y = xcos x Е) y = 2sin x

17.y'''−3y''+3y'−y = 6ex

А) y = x2ex В) y = 2xex С) y = x3ex Д) y =σex

Е) y = 12 ex

18. y''+4 y'+4 y = x2e2 x

А) y = x2e2 x В) y = 5xe2 x

С) y = x4 e2 x

12 Д) y =10e2 x

Е) y = x3e2 x

19.y'''−y = 2sin x А) y = 2cos x

В) y = cos x −sin x С) y = 2sin x

Д) y = sin x −cos x Е) y = sin 2x

20.y''−6 y'+9 y = e3x

А) y = x3e3x В) y = 3xe3x

С) y = 12 x2e3x Д) y = xe3x

Е) y = 2e3x

21. y''+4y = sin 2x А) y = sin 2x

В) y = cos 2x

С) y = −14 xcos 2x Д) y = cos x −sin x

Е) y = 2xcos 2x

22. y''−4 y = e2 x + 4x

А) y = −x + 14 xe2 x В) y = x +e2 x +

С) y = xe2 x Д) y = x2e2 x

Е) y = 12 x +e2 x

23. y'''+3y''+3y'+y =1

А) y =1

В) y = x3 С) y = x2

Д) y = x

Е) y = e−x

24. y''−2 y'+2 y = e2 x

А) y = e2 x

В) y = 2e2 x

С) y = xe2 x Д) y = x2e2 x

Е) y = 12 e2 x

Сынақ сұрақтары

1.Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер. Негізгі түсініктер.

2.Теңдеудің геометриялық мəн – мағынасы. Векторлар өрісі. Изоклина.

3.Бірінші ретті теңдеулер үшін Коши есебі.

4.Коши есебінің геометриялық мəн - мағынасы.

5.Айнымалылары ажыратылатын теңдеулер.

6.Айнымалылары ажыратуға келетін теңдеулер.

7.Бірінші ретті сызықты теңдеулер. Лагранж əдісі.

8.Бернулли, Риккати теңдеулері.

9.Толық дифференциалды теңдеулер. Интегралдық көбейткіш.

10.Шешімнің бар болуы туралы теорема. Гронуолл леммасы.

11.Туынды бойынша шешілмеген теңдеулер. Негізгі түсініктер.

12.Параметр енгізу əдісі.

13.Лагранж, Клеро теңдеулері.

14.Жоғарғы ретті теңдеулер. Негізгі түсініктер.

15.Жоғарғы ретті теңдеуді бірінші ретті теңдеулер жүйесіне келтіру.

16.Реті төмендетілетін теңдеулер.

17.n - ретті сызықты теңдеудің жалпы қасиеттері.

18.Сызықты дифференциалдық оператордың қасиеттері.

19.n - ретті біртекті сызықты теңдеудің шешімдерінің қасиеттері.

20.Шешімдердің өзара тəуелділігі, тəуелсіздігі. Вронский анықтауышы.

21.n - ретті тұрақты коэффициентті сызықты біртекті теңдеудің фундаменталь шешімдер жүйесін табу. Эйлер əдісі.

22.Лиувилль формуласы.

23.Лиувилль формуласын пайдаланып екінші ретті сызықты теңдеудің жалпы шешімін табу.

24.n - ретті біртексіз сызықты теңдеулердің шешімдерінің қасиеттері.

25.Біртексіз сызықты теңдеулер үшін вариациялау əдісі.

26.Біртексіз тұрақты коэффициентті n - ретті теңдеудің шешімін анықталмаған коэффициент түрінде іздеу.

27.Сызықты теңдеулер жүйесі. Жалпы қасиеттері.

28.Біртекті сызықты жүйенің шешімдерінің қасиеттері.

29.Біртексіз сызықты жүйенің шешімдерінің қасиеттері.

30.Біртексіз сызықты жүйелер үшін вариациялау əдісі.

31.Тұрақты коэффициентті сызықты жүйелерді интегралдау.

32.Автономды жүйелердің шешімдерінің қасиеттері.

33.Автономды жүйелердің шешімдерінің орнықтылығы.

34.Орнықтылықты зерттеудің əдістері. Негізгі теоремалар.

35.Ляпунов функциялары.

36.Тұрақты коэффициентті сызықты біртекті жүйенің нөлдік шешімінің орнықтылығы.

37.Сызықты емес жүйенің нөлдік шешімінің орнықтылығын бірінші жуықтау əдісімен зерттеу.

38.Екінші ретті біртекті тұрақты коэффициентті жүйенің фазалық траекториялары.

39.Дербес туындылы дифференциалдық теңдеулерді интегралдау əдісі. Сипаттаушы жүйелер.

40.Дербес туындылы теңдеулер үшін Коши есебі.