Диффур

lim	ξ1	= lim e(λ1 −λ2 )t = 0
t →+∞ ξ2		t →+∞

Бұл қатынастан траекторияның ξ1 осін жанап өтетінін көреміз. Жалпы, траекторияның теңдеуін былай жазуға болады:

ξ	2	= Сξ		S , S = λ2	(5)
			1	λ1
Ол үшін (4) қатынастың біріншісін
			λ2	дəрежеге, екіншісін	λ1 дəрежеге көтеріп,

теңестірсек, жеткілікті. (5) қатынастан траекторияның парабола екенін көреміз.

Бұл парабола бойымен қозғалыс t → +∞ координат жүйесінің басы (0, 0) нүктесіне қарай бағытталған. Мұндай жағдайда (0, 0) нүктесі орнықты «түйін» деп аталады (1 –

суретті қараңыз).

б) λ1 > λ2 > 0 болсын. Бұл жағдайда фазалық траекторияның түрі алдыңғы түрдей

болады, тек қозғалыс кері бағытта болады. Сондықтан, координат жүйесінің бас нүктесі орнықсыз «түйін» деп аталады (2 – суретті қараңыз).

в) λ > 0, λ

2

< 0 болсын. Бұл жағдайда, егер C

= 0, C

2

> 0

болса, онда ξ = 0, ξ

2

= eλ2t

→ 0

1

1

1

егер t → +∞ ,

ал C > 0, C

2

= 0

болса, онда ξ

2

= 0, ξ = eλ1t

→ +∞ егер

t → +∞ .

C > 0, C

2

> 0

1

1

1

болса, онда

ξ1 → +∞, ξ2 → 0

егер t → +∞ . Сондықтан,

фазалық

траекторияның

түрі

гипербола болады да, координат жүйесінің бас нүктесі «ершік» деп аталады. Ал сол координат жүйесінің осьтері ершіктің «мұрттары» деп аталады (3, 4 – суреттерді қараңыз).

(Егер λ1 < 0, λ2 > 0 болса, онда траектория келбеті алдыңғыдай болады).

20. λ , λ

2

- комплексті түйіндес

түбірлер. Бұл

жағдайда жалпы шешім

былай

1

жазылады:

x(t) = Cαeλt

e

t

+

λ

(6)

C

α

Егер λ = a +bi, α = γ1 −iγ2 , C = S1 +iS2

- деп алсақ, онда (6) теңдіктен

x(t) = ξ1γ1 +ξ2γ2

ξ = 2eat (S

cosbt − S

2

sin bt)

(7)

1

1

ξ

2

= 2eat (S

2

cosbt + S sin bt)

1

теңдіктері шығады. Төмендегідей екі жағдайды қарастырайық.

а) a = 0 болса, онда λ = ±ib . Осыдан

(8)

ξ1 = ρcos(bt + ϕ), ξ2 = ρsin(bt +ϕ)

қатынастарын

аламыз. Мұндағы, ρ =

S 2 + S

2 , tgϕ = S2 . (8) қатынастарды квадраттап

1

2

S1

қосатын болсақ, шеңберлер жиынын аламыз. Бұл жағдайда координат жүйесінің бас нүктесі «центр» деп аталады. Бұл шеңбер (немесе эллипс) бойымен қозғалыс бағыты b - ның таңбасымен анықталады (5 – суретті қараңыз).

б) a ≠ 0 . Бұл жағдайда траекторияның теңдеуі төмендегідей:

ξ = ρeat cos(bt +ϕ), ξ	2	= ρeat sin(bt + ϕ)	(9)
1

Оның графигі спираль болып келеді. Мұнда егер a > 0 болса, онда ξ1 → +∞, ξ2 → +∞, ал a < 0 болса, онда ξ1 → 0, ξ2 → 0 егер t → +∞ . Сондықтан, координат жүйесінің бас нүктесі

бірінші жағдайда орнықсыз «фокус», екінші жағдайда орнықты «фокус» деп аталады (6, 7

– суреттерді қараңыз).

Ескерту. Меншікті сандардың өзара тең жəне нөлге тең болатын жағдайларын қарастырмадық. Олар туралы [6] оқу құралын қараңыз.

1 – сурет

2 – сурет

3 – сурет

4 – сурет

5 – сурет

6 – сурет

7 – сурет

15-ЛЕКЦИЯ. Бірінші ретті дербес туындылы сызықты дифференциал теңдеулер.

Лекция мақсаты: Дербес туындылы сызықты теңдеулерді интегралдау əдістерімен таныстыру. Жалпы шешімді құру əдісімен таныстыру.

u = ϕ(x1, ..., xn )

Негізгі сөздер: Квазисызықты теңдеулер, сипаттаушы теңдеулер, интеграл, симметриялы түрдегі теңдеулер.

Қысқаша мазмұны

1. Бірінші ретті дербес туындылы дифференциал теңдеудің жалпы түрі былай жазылады:

∂u

∂u

xn

, u,

, ...,

= 0

(1)

∂x

∂x

F x1 , ...,

n

1

Мұндағы u - белгісіз функция,

x , ..., x

n

-

тəуелсіз

айнымалылар.

F - кейбір D R2n+1

1

1

облысында екі рет үздіксіз дифференциалданатын функция болсын.

Анықтама.

Кейбір

D Rn

облысында анықталған үздіксіз дифференциалданатын

2

u = ϕ(x1, ..., xn )

функциясы (1) теңдеудің шешімі деп аталады, егер ол төмендегідей

шарттарды қанағаттандырса:

1)

∂ϕ

∂ϕ

(x1, ..., xn ) D2

x1, ..., xn ,

ϕ, ∂x , ...,

∂x

D1,

1

n

2)

∂ϕ

∂ϕ

F x1, ..., xn , ϕ, ∂x , ..., ∂x

= 0, (x1, ..., xn ) D2

1

n

Бұл u = ϕ(x1, ..., xn ) функциясы Rxn1+,1..., xn , u - кеңістігінде кейбір

бетті анықтайды. Осы бетті берілген теңдеудің интегралдық беті деп атайды.

Бірінші ретті дербес туындылы теңдеулерді интегралдау əдетте жəй дифференциал теңдеулер жүйесін интегралдауға келтіріледі. Сондықтан, мұндай теңдеулер жəй дифференциал теңдеулер бағдарламасына енгізілген.

Біз бұл жерде бірінші ретті дербес туындылы теңдеулердің тек екі сызықты түрін ғана қарастырамыз.

2. Алдымен, біртекті сызықты теңдеуді қарастырайық:

f

(x

, ..., x

n

)

∂u

+... + f

n

(x , ..., x

n

)

∂u

= 0

(2)

1

1

∂x

1

∂x

n

1

Мұндағы, fi - функциялары кейбір

D Rn

облысында үздіксіз

дифференциалданатын жəне

бəрі

бірдей

нөлге

айналмайтын

функциялар деп есептелінеді. Бұл (2) теңдеуге төмендегідей жəй дифференциал теңдеулердің симметриялық түрі сəйкес қойылады.

dx1

=

dx2

=... =

dxn

(3)

f

(x , ..., x

n

)

f

2

(x , ..., x

n

)

f

n

(x , ..., x

n

)

1

1

1

1

Осы жүйені (2) теңдеудің сипаттаушы жүйесі деп атайды. Оның интегралдық қисықтары

(2) теңдеудің сипаттауыштары (характеристикалары) деп аталады. Бұл жүйенің барлық уақытта шешімдері бар жəне ол жалғыз. Сондықтан, D облысының əрбір нүктесі арқылы тек бір ғана сипаттауыш өтеді жəне олардыңғ тəуелсіздерінің саны n −1 - ге тең, себебі, ол n −1 - ретті қалыпты жүйеге эквивалент.

Теорема-1. D облысында анықталған үздіксіз дифференциалданатын

функциясы (2) теңдеудің шешімі болуы үшін оның (3) жүйенің интегралы болуы қажетті жəне жеткілікті.

Дəлелдеуі. 1) қажеттілігі. Айталық,

u = ϕ(x1, ..., xn )

функциясы (2) теңдеудің шешімі

болсын:

∂ϕ

∂ϕ

f (x , ..., x

n

)

+...

+ f

n

(x , ..., x

n

)

= 0, (x , ..., x

n

) D

(4)

∂x

1 1

1

∂x

n

1

1

Бұл функцияның толық дифференциалы былай жазылады:

du =

∂ϕ

dx +... +

∂ϕ

dx

n

(5)

1

∂xn

∂x1

Осындағы əрбір dxi -дің орнына оған пропорционал fi

функциясын қойсақ, төмендегідей

қатынас аламыз:

∂ϕ

∂ϕ

du =

f1

(x1, ..., xn )+

... +

fn (x1, ..., xn ) K (x1, ..., xn )

(6)

∂x

∂x

n

1

Мұндағы, K (x1, ..., xn )≠ 0 - пропорция коэффициенті. Алдыңғы (4) тепе-теңдікті ескерсек,

квадрат жақшаның ішіндегі өрнек нөлге тепе-тең болады, яғни

dϕ =

∂ϕ

f (x , ..., x

)+... +

∂ϕ

f

(x , ..., x )= 0,

(x , ..., x

) D

(7)

∂x

1 1

n

∂x

n

n

1

n

1

n

1

Ал бұл тепе-теңдік ϕ(x1, ..., xn ) функциясының (3) жүйенің интегралы болатынын білдіреді.

2) жеткіліктілігі. Айталық, u = ϕ(x1, ..., xn ) функциясы (3) жүйенің интегралы болсын:

du /(3) =

∂ϕ

f (x , ..., x

)+... +

∂ϕ

f

(x , ..., x )= 0,

(x , ..., x ) D

(8)

∂x

∂x

1 1

n

n

1

n

1

n

1

n

Соңғы тепе-теңдік u = ϕ(x1, ..., xn ) функциясының (2) теңдеудің шешімі екенін көрсетеді.

Теорема-2. Берілген (2) теңдеудің жалпы шешімі

u = Φ(ϕ1, ..., ϕn−1 )

(9)

түрінде анықталады. Мұндағы, Φ - кез келген үздіксіз дифференциалданатын функция, ал ϕ1, ..., ϕn−1 - (3) жүйенің тəуелсіз интегралдары.

Дəлелдеуі. Айталық, кейбір u = ϕn (x1, ..., xn )

функциясы (2) теңдеудің D облысындағы

кез келген шешімі болсын. Бұл шешім ϕ1, ..., ϕn−1

функцияларымен қоса (2) теңдеуді тепе-

теңдікке айналдырады:

)∂ϕi

)∂ϕi = 0,

f

(x , ..., x

n

+... + f

n

(x , ..., x

n

(x

, ..., x

n

) D

(10)

1

1

∂x1

1

∂xn

1

(i =1, ..., n)

Бұл біртекті сызықты жүйенің нөлдік емес

u1 = ϕ1(x1, ..., xn ), ..., un = ϕn (x1, ..., xn )

шешімі бар. Сондықтан, бұл		жүйенің		анықтауышы нөлге тең. Ол			ϕ1, ..., ϕn
функцияларының якобианына тең.		,..., ϕn )
	∂(ϕ1		= 0,	(x ,..., x	n	) D	(11)
	∂(x1	,..., xn )		1

Соңғы қатынас ϕ1, ..., ϕn функцияларының өзара тəуелділігін көрсетеді. Олардың алдыңғы ϕ1, ..., ϕn−1 функциялары өзара тəуелсіз функциялар еді. Сондықтан тəуелділікті соңғы ϕn функциясы беріп тұр:

ϕn = Φ(ϕ1, ..., ϕn−1 )

(12)

Мұндағы, ϕn - кез келген шешім боғандықтан, (12) қатынас жалпы шешімді береді.

3. Біртексіз сызықты теңдеуді қарастырайық:

∂u

f (x , ..., x

, u)

∂u

+... + f

(x , ...,

x

, u)

= g(x , ..., x

, u)

(13)

∂x

1 1

n

n

1

n

∂x

n

1

n

1

Мұндағы, f

i

- функциялары кейбір D Rn+1 облысында үздіксіз дифференциалданатын

1

жəне бəрі бірдей нөлге тең емес деп есептелінеді: ∑n fi2 (x1, ..., xn , u)≠ 0

i=1

теңдеуі үшін Коши есебі былай қойылады:

Бұл теңдеуді біртекті сызықты түрге келтіру арқылы интегралдайды. Ол үшін шешімді

айқындалмаған функция түрінде іздейді:

v(x1, ..., xn , u)= 0

(14)

Мұндағы,

v - функциясын D облысында үздіксіз дифференциалданатын жəне

∂v

≠ 0 деп

1

∂u

аламыз. Осы қатынасты кез келген xi

бойынша дифференциалдайық:

∂v

+

∂v ∂u

= 0

∂x

∂u ∂x

Осыдан

i

i

∂v

∂u

= −

∂xi

,

(i =1, ..., n)

(15)

∂xi

∂v

∂u

∂v

(15) өрнекті (13) теңдеуге қойып, оны

−

бөлшегіне көбейтсек,

∂u

∂v

∂v

∂v

f (x , ...,

x

n

, u)

+... + f

n

(x , ..., x

n

, u)

+ g(x

, ..., x

n

,

u)

= 0 (16)

∂x

∂x

1 1

1

n

1

∂u

1

теңдеуін аламыз. Бұл v бойынша біртекті сызықты теңдеу. Сондықтан, алдыңғы пунктте көрсетілген тəсілді қолданамыз. Бұл теңдеудің сəйкес сипаттаушы жүйесі

dx1

=... =

dxn

=

du

(17)

f

(x , ..., x

n

, u)

f

n

(x , ..., x

n

, u)

g(x , ..., x

n

, u)

1

1

1

1

түрінде жазылады. Бұл жүйенің өзара тəуелсіз интегралдары

n - ге тең:

ϕ1(x1, ..., xn , u), ...,ϕn (x1, ..., xn , u)

v = Φ(ϕ1, ..., ϕn )

(18)

түрінде жазылады. Шешімді анықталмаған түрде іздеп отырғанымызды ескерсек,

(19)

Φ(ϕ1

(x1, ..., xn , u), ..., ϕn (x1, ..., xn , u))= 0

Бұл жағдайда (13) теңдеудің жалпы шешімі

қатынасын аламыз. Осындағы u -ды x1, ..., xn

арқылы өрнектеуге мүмкін болса, ол

функция (13) теңдеудің шешімі болады.

Бұл жерде арнайы шешімдер де болуы мүмкін. Ондай шешімдер сол уақытта пайда болады, егер (14) тепе-теңдік тек u = ϕ(x1, ..., xn ) болғанда ғана орындалса.

4. Біртекті жəне біртексіз сызықты теңдеулер үшін Коши есебі былай қойылады:

теңдеудің шешімдерінің ішінен оның бір аргументі тұрақталған жағдайда белгілі бір
n −1 - өлшемді			бетке айналатын дербес шешімді анықтау керек, яғни					u = ϕ(x1, ..., xn )
шешімінің x	n	= x0	болғанда белгілі α(x , ..., x			n−1	) функциясына тең болатын шешімді табу
		n	1
керек. Мұны қысқаша
			u		xn =xn0 = α(x1, ..., xn−1 )			(20)

түрінде жазады.

Мысалы, екі өлшемді дербес туындылы

P ∂∂xz +Q ∂∂yz = 0

z = ϕ(x, y)

шешімінің x = x0 болғанда z = α( y) шартын қанағаттандыратын шешімді іздеу. Ол барлық интегралдық беттердің ішінен z = α( y) қисығы арқылы өтетін бетті табу болып

есептелінеді.

Жалпы жағдайда Коши есебінің шешімін табу қиындық тудырмайды.

Мысалдар.

1.	x	∂u	+ y	∂u	+ z	∂u	= 0
		∂x		∂y		∂z

теңдеуінің жалпы шешімін табайық. Сəйкес сипаттаушы симметрия жүйесін құрайық: dxx = dyy = dzz

Осыдан

ϕ1 = xy = C1, ϕ2 = xz = C2

интегралдарын табамыз. Бұл жағдайда жалпы шешім

	y		z
u = Φ		,
x			x

түрінде жазылады. Дифференциалдау арқылы бұл функцияның шешім болатынына көз жеткізу оңай.

2.	x	∂u	− y	∂u	= x − y
		∂x		∂y

теңдеуінің жалпы шешімін құрайық. Сəйкес

dxx = −dyy = xdu− y

жүйесінің екі тəуелсіз интегралдары оңай табылады:

ϕ1 = xy = C1, ϕ2 = x + y −u = C2

Жалпы шешім айқындалмаған түрде жазылады:

Φ(xy, x + y −u)= 0

Осы қатынасты екінші аргументі бойынша шешсек, u = x + y − f (xy)

түріндегі шешім аламыз.

5-ТАРАУ ЛАБОРАТОРИЯЛЫҚ САБАҚТАР

1-Сабақ. Айнымалылары ажыратылатын теңдеулер.

Сабақ мақсаты. Студенттерді теңдеулерді интегралдау əдістерімен таныстыру.

Əдебиет: 8, № 51-65.

Бұл жерде айнымалылары ажыратылатын теңдеулердің жалпы түрін келтіру керек:

M1 (x)N1 ( y)dx + M 2 (x)N2 ( y)dy = 0 N1 ( y) ≠ 0, M 2 (x) ≠ 0 болғанда осы өрнектерге бөлу айнымалыларын ажыратуға болады. Осы жерде жалпы шешім немесе жалпы интеграл

туралы түсінік бере кету керек. Шешімдер қатары жоғалмас үшін N1 ( y) = 0, M 2 (x) = 0 болатын жағдайларды тексеру керек. Бұл жерде ерекше шешімдер болуы мүмкін.

Сұрақтар:

1.Айнымалылары ажыратылатын теңдеу деп қандай теңдеуді айтамыз?

2.Жалпы шешім, жалпы интеграл дегендер нені білдіреді?

3.Ерекше шешім деген нені білдіреді?

2-САБАҚ. Біртекті теңдеулермен оған келетін теңдеулер түрлерімен таныстыру.

Сабақ мақсаты: Бірінші ретті сызықты жəне Бернулли теңдеуін интегралдау əдістерімен таныстыру.

Əдебиет: 8, №№ 101-129

									y
	Біртекті теңдеулердің жалпы түрі								y'= f		түрінде жазылады. Мұндай
теңдеулер y = xt									x
					алмастыруы арқылы айнымалылары ажырайды.
y'=		a1x + b1 y + c1						түріндегі теңдеулерде біртектіге келтіріледі. Мұнда
	f a			x + b	y + c
			2	2		2

анықтауыштың нөлге тең, тең емес жағдайына байланысты алмастыру түрі əртүрлі болатынын көрсету керек.

Сұрақтар:

1.Қандай теңдеуді біртекті деп атаймыз?

2.Біртекті теңдеулерді интегралдау үшін қандай алмастыру қолданылады?

3.Жалпылама – біртекті теңдеу деп қандай теңдеуді айтамыз?

3-САБАҚ. Сызықты теңдеулер жəне оған келетін теңдеулер.

Сабақ мақсаты: Бірінші ретті сызықты жəне Бернулли теңдеуін интегралдау əдістерімен таныстыру.

Əдебиет: 8, №№ 136-160

1. Жалпы түрі: y'+p(x) y = q(x) . Бұл теңдеуге вариациялау əдісі арқылы жалпы шешімнің түрі анықталады:

y= e−∫ p(x)dx [C + ∫q(x)e∫ p(x)dxdx]

2.Бернулли теңдеуі: y'+p(x) y = q(x) yα , (α ≠ 0 , α ≠1) . Бұл теңдеу y1−α = z

алмастыруы арқылы сызықты теңдеуге келетінін көрсету керек. Бұл жағдайда жалпы шешім былай жазылады:

y1−α = e−(1−α)∫ p(x)dx [C + (1 −α)∫q(x)e(1−α)∫ p(x)dxdx]

Сұрақтар:

1.Қандай теңдеуді сызықты деп атаймыз?

2.Бернулли теңдеуі деп қандай теңдеуді атаймыз?

3.Риккати теңдеуі деп қандай теңдеуді атаймыз?

4-САБАҚ. Толық дифференциалды теңдеулер.

Сабақ мақсаты: Толық дифференциалды теңдеулерді интегралдау əдістерімен таныстыру.

Əдебиет: 8, №№186-220

Теңдеу сол жағы кейбір функцияның толық дифференциалы болып келетін теңдеулерді интегралдау үшін қажетті шарттың орындалуын тексеру керек.

	M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 теңдеуі үшін қажетті шарт:	∂M	=	∂N	түрінде
		∂y		∂x

жазылатынын көрсету керек. Бұл шарттың жеткілікті екенінде айту керек.

Қажетті шарт орындалғанда теңдеудің екі жағын бір белгісіз функцияға көбейтіп, толық түрге келтіруге болады. Мұндай функцияны интегралдық көбейткіш деп атайды.

Сұрақтар:

1. Қандай теңдеу толық дифференциалды теңдеу деп аталады?

2.Интегралдық көбейткіш дегеніміз не?

3.Көп айнымалы функцияның толық дифференциалы қалай жазылады?

5-САБАҚ. Туынды бойынша шешілмеген теңдеулер.

Сабақ мақсаты: Жалпы параметр енгізу əдісімен таныстыру.

Əдебиет: 8, №№241-266

Теңдеудің жалпы түрі: F(x, y, y') = 0 . Бұл теңдеу бірнеше теңдеуге ажырау мүмкін. Олардың əрқайсысын интегралдау арқылы жалпы шешімді табамыз.

Сұрақтар:

1.Коши есебі қалай қойылады?

2.Ерекше шешімдер дегеніміз не?

6-САБАҚ. Параметр енгізу əдісі.

Сабақ мақсаты: Шешімнің параметрлік түрі қалай анықталатынын көрсету.

Əдебиет: 8, №№267-286

Теңдеудің жалпы түрі x - бойынша, немесе y - бойынша шешуге болатын

жағдайда y'= p dy = pdx

өрнектері пайдаланылады. Бұл жағдайда теңдеу

симметриялық түрге келтіріледі. Сəйкес белгілі əдістерді қолдануға болады.

7-САБАҚ. Лагранж жəне Клеро теңдеулері.

Сабақ мақсаты: Лагранж жəне Клеро теңдеулерінің ерекшеліктерімен таныстыру.

Əдебиет: 8, №№287-296

Бұл теңдеулер параметр енгізу арқылы сызықты немесе екі теңдеуге ажырау арқылы оңай интегралданады. Бұл жерде ерекше шешімдер пайда болады.

Сұрақтар:

1.Лагранж теңдеуі деп қандай теңдеуді айтамыз?

2.Клеро теңдеуінің қандай айырмасы бар?

3.Ерекше шешімдер деп қандай шешімдерді айтамыз?

8-САБАҚ. Жоғарғы ретті теңдеулер. Реті төмендетілетін теңдеулер.

Сабақ мақсаты: Реті төмендетілетін теңдеулермен танысу.

Əдебиет: 8, № 421-450

Жалпы түрі: F(x, y, y',..., yn ) = 0 түрінде жазылады. Бұл теңдеулердің түрлеріне қарай əртүрлі алмастыру енгізу арқылы оның ретін төмендетіп интегралдауға болады.

1.Егер теңдеуге белгісіз функция мен оның k - ретке дейінгі туындылары кірмесе, онда теңдеудің ретін k - өлшемге келтіруге болады.

2.Егер теңдеуге тəуелсіз айнымалы кірмесе, онда оның ретін бір өлшемге кемітуге болады.

3.Егер теңдеу y жəне оның туындылары бойынша біртекті болса, онда y = e∫ zdx

алмастыруы арқылы оның реті бір өлшемге кемитінін көрсету керек. Басқа да жағдайлар қарастырылады.

Сұрақтар:

1. Біртекті теңдеу деп қандай теңдеуді айтамыз?

2. Жалпылама – біртекті теңдеулерге қандай алмастыру қолданылады?

9-САБАҚ. n - ретті тұрақты коэффициентті сызықты теғдеулерді интегралдау(Эйлер

əдісі).

Сабақ мақсаты: Тұрақты коэффициентті сызықты теңдеулерді интегралдау əдістерімен таныстыру.

Əдебиет: 8, №№ 511-532

Теңдеудің фундаменталь шешімдер жиынын құру. Сипаттаушы теңдеудің түбірлеріне байланысты шешімнің түрлері. Резонанс, резонанс емес жағдайлар.

Сұрақтар:

1.Сипаттаушы теңдеу қалай құрылады?

2.Фундаменталь шешімдер жүйесі деген не?

3.Базис бойынша жалпы шешім қалай құрылады?

10-САБАҚ. Оң жағы квазиполином болып келетін біртексіз сызықты теңдеулерді интегралдау.

Сабақ мақсаты: Біртексіз сызықты теңдеулерді интегралдау əдістерімен таныстыру.

Əдебиет: 8, №№ 533-547

Оң жағы квазиполином түрінде берілген теңдеулердің дербес шешімін табу үшін анықталмаған коэффициенттер əдісі қолданылады.

Сұрақтар:

1.Біртексіз сызықты теңдеудің жалпы шешімі қалай құрылады?

2.Суперпозиция қасиеті нені білдіреді?

11-САБАҚ. Тұрақты санды вариациялау əдісі№ Сабақ мақсаты: біртексіз сызықты теңдеулерді интегралдаудың əдісімен танысу.

Əдебиет: 8, №№ 575-581

Біртексіз сызықты теңдеулер үшін Лагранж əдісін қолдану.

Сұрақтар:

1.Вариациялау əдісі деп нені айтамыз?

2.Қай жағдайда вариациялау əдісі қолданылады?

12-САБАҚ. Сызықты жүйелерді интегралдау.

Сабақ мақсаты: Сызықты жүйелерді интегралдау əдістерімен таныстыру. Эйлер əдісін қолдану.

Əдебиет: 8, №№786-800

Тұрақты коэффициентті біртексіз сызықты жүйелерге де анықталмаған коэффициент əдісін қолдануға болады. Кейбір жағдайда жүйені бір теңдеуге келтіріп интегралдауға болады.

Сүрақтар:

1.Тұрақты санды вариациялау дегеніміз не?

2.Дербес шешім қалай анықталады?

13-САБАҚ. Орнықтылықты зерттеу əдісі.

Сабақ мақсаты: автономды жүйелер үшін орнықтылық туралы түсінікпен таныстыру.Ляпунов əдістерімен таныстыру.

Əдебиет: 8, №№ 899-906

Орнықтылықты білдіретін негізгі теоремаларды келтіру керек(Ляпунов, Четаев теоремалары).

Сұрақтар:

1.Орнықтылық деген нені білдіреді?

2.Асимптотикалық орнықтылық деген не?

14-САБАҚ. Дербес туындылы теңдеулерді интегралдау.

Сабақ мақсаты: Дербес туындылы еңдеулерді интегралдау əдісімен таныстыру.

Əдебиет: 8, №№ 1167-1188

Бірінші ретті дербес туындылы сызықты жəне квазисызықты теңдеулерді интегралдау үшін сипаттауыштар əдісі қолданылады. Бұл əдіс бойынша дербес туындылы теңдеуге жай дифференциалдық теңдеулер жүйесі сəйкес қойылады. Осы жүйенің өзара тəуелсіз интегралдарының кезкелген байланысы берілген дербес туындылы теңдеудің жалпы шешімін беретінін көрсету керек.

Сұрақтар:

1.Жүйенің интегралы деп нені айтамыз?

2.Өзара тəуелсіз шешімдер қалай анықталады?

15-САБАҚ. Дербес туындылы теңдеулер үшін Коши есебі.

Сабақ мақсаты: Дербес туындылы теңдеулер үшін Коши есебінің қалай қойылуымен таныстыру.

Əдебиет: 8, №№ 1189-1196

Екі айнымалы дербес туындылы теңдеу үшін Коши есебінің геометриялық мағынасы. Бастапқы шартты қанағаттандыратын дербес шешімді бөліп алу.

Сұрақтар:

1.Жүйенің симметриялық түрі дегеніміз не?

2.Симметриялыжүйенің интегралдары қалай анықталады?

Тексеру сұрақтары

1.Бірінші ретті дифференциалдық теңдеулер. Негізгі түсініктер.

2.Коши есебі. Дербес, ерекше шешімдер.

3.Айнымалылары ажыратылатын теңдеулер.

4.Айнымалылары ажыратуға келетін теңдеулер.

5.Бірінші ретті сызықты теңдеулер.

6.Бернулли теңдеуі.

7.Толық дифференциалды теңдеулер. Интегралдық көбейткіш.

8.Туынды бойынша шешілмеген теңдеулер.

9.Параметр енгізу əдісі. Лагранж, Клеро теңдеулері.

10.Жоғарғы ретті теңдеулер.

11.Реті төмендетілетін теңдеулер.

12.n - ретті сызықты теңдеудің жалпы қасиеттері.

13.Сызықты дифференциалдық оператордың қасиеттері.