Диффур

ϕ(x ) = y0	(9)
0

шартты қанағаттандыратын y =ϕ( x ) шешімін табу керек. Мұнда y0 = colon( y01 , ..., y0n ) -

бастапқы вектор, ( x0 , y0 ) D - бастапқы нүкте.

Бұл Коши есебіне жауапты төмендегідей теорема айқындайды.

Теорема-1. Егер f ( x, y ) функциясы бастапқы нүктені қамтитын ашық D Rn+1 облысында үздіксіз болса, ал оның кез келген шектелген тұйық ішкі бөлігінде y векторы

ьойынша Липшиц шартын қанағаттандыратын болса, онда Коши есебінің кейбір кішірейген аралықта анықталған жалғыз ғана шешімі болады.

Бұл теореманы глобалды теорема дейді. Біз теореманың дəлелдеуін келтірмейміз (оны [5] оқулықтан көруге болады).

Шешімнің басқада қасиеттерін білдіретін кейбір тұжырымдарды қысқаша түрде дəлелдеусіз келтіре кетейік.

Теорема-2. Егер (8) теңдеу үшін 1-теореманың шарттары орындалса, онда Коши есебін қанағаттандыратын шешім бастапқы мəндер бойынша үздіксіз болады.

Теорема-3. Егер (8) теңдеудің оң жағындағы функция қосымша кейбір параметрлерге байланысты болса жəне сол параметрлер бойынша үздіксіз болса, онда Коши есебін қанағаттандыратын шешім параметрлер бойынша да үздіксіз болады.

Бұл теоремалардың да дəлелдеулерін жоғарыда көрсетілген оқу құралынан алуға болады.

1.4. Қалыпты (8) жүйедегі f ( x, y ) вектор-функциясы кейбір ашық (не тұйық) D Rn+1

облысында шешімнің бар болу жəне жалғыздық шарттарын қанағаттандырсын.	Осы D
облысты шешімнің бар болу жəне жалғыздық облысы деп атайды.
Анықтама-4. D облысында анықталған, тəуелсіз айнымалы бойынша	үздіксіз
дифференциалданатын, тұрақты C = colon( C1 ,C2 , ...,Cn ) векторы бойынша үздіксіз	(10)
y =ϕ( x,C )

функциясы (8) жүйенің жалпы шешімі деп аталынады, егер ол төмендегідей екі шартты қанағаттандырса:

1) оны тұрақты C векторы бойынша шешуге болатын болса, яғни

C =ψ( x, y )

(11)

2) тұрақты C векторының (11) формула бойынша

анықталған барлық мəндерінде (10) қатынас (8) жүйенің шешімі болса. Бұл анықтама Коши есебінің шешімін табу жолын көрсетеді.

Егер (8) жүйе үшін

y( x0 ) = y0

бастапқы шарты қойылса, онда (11) қатынастан:

C =ψ( x0 , y0 ) = C0

Осы C0 векторын (10) қатынасқа қойсақ,

y =ϕ( x,C0 )

түріндегі Коши есебінің шешімін аламыз.

Анықтама-5. D облысында анықталған, өздігінен тұрақты санға айналмайтын, үздіксіз дифференциалданатын ψ( x, y ) функциясы (8) жүйенің интегралы деп аталады,

егер ол функция y векторының орнына (8) жүйенің кез келген шешімін қойғанда тұрақты

санға тепе-тең болса.

Осы функцияны еркін тұрақты санға теңестіру арқылы алынған

ψ( x, y ) = C

(12)

қатынасты жүйенің бірінші интегралы деп атайды.

Интегралдың бір қасиетін айта кетейік, ψ( x, y ) - үздіксіз диффренциалданатын

функция болсын.

Айталық, бірінші интегралдағы y -тің орнына (8) жүйенің бір дербес шешімі қойылған деп. Бұл жағдайда ψ( x, y( x )) функциясы тек x айнымалысынан ғана тəуелді болады. Осы функцияны x бойынша дифференциалдасақ, онда (12) қатынастан

	dψ		=	∂ψ	n	∂ψ dy		x a,b
	dx			∂x	+ ∑		i ≡0,
					i=1	∂y dx
тепе-теңдігін аламыз. Бұдан						i
∂ψ( x, y( x ))		+	n	∂ψ	( x, y( x ))		fi ( x, y( x )) ≡0,		x a,b
∂x			∑		∂yi
			i=1

тепе-теңдігі алынады. Бұдан шығатын қорытынды – жүйе бойынша алынған интегралдың толық туындысы нөлге тепе-тең, яғни

	dψ ( x , y )	= 0 , x a , b
	dx
		( 8 )

Осыдан

ψ( x, y( x )) = C, x a,b

Кей жағдайда интегралдың бұл қасиетін оның анықтамасы ретінде қолданады.

Қалыпты жүйенің n бірінші интегралдары белгілі болса, онда олар жүйенің жалпы шешімін береді.

Жалпы шешімнен C векторының белгілі бір мəнінде шығатын шешімді дербес шешім дейді, ал C векторының тұрақты мəндерінде алынбайтын шешімді ерекше шешім дейді. Бұл түсініктерді басқаша да беруге болатынын 1-тарауда айтқанбыз: əрбір нүктесінде Коши есебінің жалғыздық шарты орындалатын шешімді дербес шешім, ал əрбір нүктесінде Коши есебінің жалғыздық шарты орындалмайтын шешімді ерекше шешім дегенбіз.

Ерекше шешімдер əдетте, теңдеудің оң жағындағы функцияның y бойынша алынған

туындыларының шексіздікке айналатын нүктелер жиыны ішінен ізделінеді.

Реті төмендетілетін теңдеулер

2.1. Жоғарғы ретті дифференциалдық теңдеулерді айқындалмаған

F( x, y, y′, y′′,..., y( n ) ) =0	(1)
теңдеу түрінде, немесе, жоғарғы туындысы бойынша шешілген
y( n ) = f ( x, y, y′,..., y( n−1 ) )	(2)

теңдеу түрінде жазуға болатыны айтылған.

Енді осы теңдеулердің ретін қандай жағдайларда төмендетіп, интегралдауды оңайлатуға болатынын көрсетейік.

10. Тəуелсіз айнымалы айқын түрде кірмеген теңдеу:

F( y, y′, y′′,..., y( n ) ) =0

(3)

Бұл жағдайда тəуелсіз айнымалы үшін y -ты аламыз да,

y′ = z( y )

түрінде жаңа белгісіз

енгіземіз.

Сонда

dy′

dy′

dy

dz

y′′ =

=

dx = z dy

dx

dy

dy′′

dy′′ dy

d

dz

d

2

z

dz

2

y′′′ =

=

=

z

z = z

z

+

2

dx

dy

dx

dy

dy

dy

dy

..............................................................................

( n )

dz

d n−1z

y

=ω z,

, ...,

n−1

dy

dy

Бұдан

F( y, z, zz′, ...,ω( z,z′,...,z( n−1 ) )) =0

түріндегі теңдеу аламыз. Бұл ( n −1 ) -ретті теңдеу. Егер осы теңдеуді интегралдау мүмкін болса, онда оның жалпы интегралы

Φ( y, z,C1 ,...,Cn−1 ) =0

немесе

Φ( y, y′,C1 ,...,Cn−1 ) =0

түрінде болады. Соңғы қатынас бірінші ретті теңдеу. Сондықтан, оның аралық интегралы берілген (3) теңдеудің жалпы интегралы болады.

20. Белгісіз функция мен оның алғашқы туындылары кірмейтін теңдеу:

F( x, y( k ) ,..., y( n ) ) =0					(4)
Бұл жағдайда y( k ) = z белгілеуін енгізсек,
F( x,z,z′,...,z( n−k ) ) =0					(5)
түріндегі ( n −k ) - ретті теңдеу аламыз. Демек, (4)			теңдеудің реті		k - бірлікке төмендеді.
Егер соңғы теңдеудің
Φ( x, z,C1 ,...,Cn−k ) =0
түріндегі аралық интегралы белгілі болса, онда берілген теңдеудің жалпы интегралы
y( k ) = f ( x,C	, ...,C	n	−k	)	(6)
1
теңдеуді интегралдау арқылы табылады.
30. Белгісіз функция мен оның туындылары бойынша біртекті теңдеу.
Егер (1) теңдеудегі F функциясы үшін
F( x,ty,ty′, ...,ty( n ) ) = t m F( x, y, y′, ..., y( n ) )

шарты орындалса, онда ол функция m дəрежелі біртекті функция деп аталынады да, сəйкес теңдеу функция мен оның туындылары бойынша біртекті деп аталынады. Бұл жағдайда y′ = ty алмастыруы арқылы теңдеудің реті бір ретке төмендетіледі. Шынында да,

y′′ = y′t + yt′ = y( t2 +t′),

y′′′ = y′( t2 +t′) + y( 2tt′+t′′) = y( t3 +3tt′+t′′)

...................................................................

y( n ) = yω( t,t′, ...,t( n−1 ) )

Бұл өрнектерді (1) теңдеуге қойсақ,

F( x,t,t′+t2 , ...,ω( t,t′,...,t( n−1 ) )) =0

түріндегі ( n −1 ) -ретті теңдеу аламыз. Егер бұл теңдеудің

t = ϕ( x , C1 , ..., C n −1 )

түріндегі жалпы шешімін таба алсақ, онда берілген теңдеудің жалпы шешімі

y′ = yϕ( x,C1 , ...,Cn−1 )

теңдеуін интегралдаудан алынады.

40. Теңдеудің сол жағы басқа бір функцияның туындысы болса, онда теңдеудің реті бір ретке төмендейді. Шынында да,

F( x, y, y′, y′′,..., y( n ) ) = dxd Φ( x, y, y′, y′′,..., y( n−1 ) ) =0

болғандықтан, бір аралық интеграл белгілі:

Φ( x, y, y′, y′′,..., y( n−1 ) ) = C1 ,

яғни бастапқы теңдеудің реті бір өлшемге кеміді.

50. Жалпыланған біртекті теңдеу, яғни F функциясы үшін

F( tx,tk y,tk −1 y′, ...,tk −n y( n ) ) = t m F( x, y, y′, ..., y( n ) )

шарты орындалатын теңдеу. Бұл жағдайда x = et , y = zet алмастыруы арқылы теңдеудің

ретін бірге кемітуге болады.

6-ЛЕКЦИЯ. n - ретті біртекті сызықты теңдеулер.

Лекция мақсаты: Сызықты теңдеулердің қасиеттерімен таныстыру.

Негізгі сөздер: Сызықты оператор, Вронский анықтауышы, сызықты тəуелділік, тəуелсіздік, Лиувилль формуласы.

Қысқаша мазмұны

n- ретті сызықты теңдеулер

3.1.Жоғарғы ретті теңдеулердің ең қарапайымы жəне оңай зерттелетіні – сызықты теңдеулер.

Белгісіз функция мен оның туындыларын сызықты түрде байланыстыратын теңдеулерді сызықты теңдеулер деп татйды.

n - ретті сызықты теңдеудің жалпы түрі былай жазылады:

a ( x )y( n ) + a ( x )y( n−1 ) +...+ a			( x )y = q( x )
0	1	n
Мұндағы, ai ( x ) ( i =0,...,n ), q( x ) - функциялары кейбір		a,b аралығында анықталған нақты
үздіксіз функциялар.
Егер a0 ( x ) ≠ 0, x a,b болса, онда соған бөлу арқылы
	y( n ) + p ( x )y( n−1 ) + ...+ p		n	( x )y = f ( x )	(1)
	1

теңдеуін аламыз. Соңғы түрдегі теңдеуді теңдеудің келтірілген, не қалыпты түрі деп атайды. Мұндағы, f ( x ) функциясы бос мүше деп аталынады. Егер ол нөлге тең болмаса,

(1) теңдеу біртексіз сызықты теңдеу деп, ал нөлге тең болса, біртекті сызықты теңдеу деп аталынады. (1) теңдеудің сəйкес біртектісі былай жазылады:

y( n ) + p ( x )y( n−1 ) + ...+ p			n	( x )y =0	(2)
1
Əдетте, (1) теңдеудің сол жағын қысқартып, былай белгілейді:
L[y]= y( n ) + p ( x )y( n−1 ) +...+ p	n	( x )y			(3)
1

Сонда (1) жəне (2) теңдеулерді былай жазуға болады:

L[y]= f ( x )

жəне

L[y]= 0

Енгізілген (3) өрнекті сызықты дифференциалдық оператор деп атайды. Бұл оператор дифференциалдау амалының сызықтығынан шығатын төмендегідей екі шартты қанағаттандырады:

10. L[Cy]= CL[y]

20. L[y1 + y2 ]= L[y1 ]+ L[y2 ]

Бұлардың салдары ретінде тағы бір қатынасты жазуға болады:

30. L ∑Ci yi	= ∑Ci L[yi ]
m	m
i=1	i=1

Бұл шарттар дифференциалдық оператордың сызықтығын білдіреді. 3.2. Сызықты теңдеулердің ортақ екі қасиетін келтірейік.

10. Тəуелсіз айнымалыны кейбір c,d аралығында анықталған n рет үздіксіз

дифференциалданатын, бірінші туындысы нөлге тең емес функция арқылы жаңа тəуелсіз айнымалымен алмастырғаннан теңдеудің сызықтығы өзгермейді.

Шынында да, x =ϕ(τ ),ϕ′(τ ) ≠ 0, τ c, d алмастыруын жасайық. Сонда

y′ = dy

=

dy dτ

=

1

dy ,

dτ dx

′

dx

ϕ (τ ) dτ

y′′ =

dy

′

dy

′

dτ

1 d

1 dy

=

=

=

′

′

dx

dτ dx ϕ (τ ) dτ

ϕ (τ ) dτ

2

′′

1

1 d y

=

−

ϕ

(τ ) dy

′

′

dτ

2

ϕ′

2

(τ ) dτ

ϕ (τ )

ϕ (τ )

	Осылай кез келген y( k ) -ның сызықты түрде	dy	,	d 2 y	, ...,	d k y	арқылы өрнектелетінін
		dτ		dτ 2		dτ k

көреміз. Осы қатынастарды (1) жəне (2) теңдеулерге апарып қойсақ, қайтадан сызықты теңдеулер аламыз.

20. Белгісіз функцияны басқа бір функциямен сызықты түрде алмастырғаннан

теңдеудің сызықтығы өзгермейді.

түрінде

алмастыру

жасалсын.

Шынында да, айталық,

y =α( x )z + β( x ),α( x ) ≠ 0

Мұндағы, α( x ) жəне β( x )

функциялары

a,b

аралығында анықталған n

рет үздіксіз

дифференциалданатын функциялар болсын.

Сонда

′

′

′

′

y

=α( x )z

+α ( x )z + β ( x ),

y

′′

=α( x )z

′′

′

′

+α

′′

′′

+ 2α ( x )z

( x )z + β ( x ),

...............................................................

y

( n )

=α

( x )z

( n )

′

( n−1 )

+...+α

( n )

( x )z + β

( n )

( x )

+ nα ( x )z

Осы туындыларды (1) теңдеуге апарып қойсақ, қайтадан біртексіз сызықты теңдеу аламыз.

Ал (2) теңдеуге апарып қойсақ, онда біртекті теңдеуіміз біртексіз сызықты теңдеуге айналады. Біртектілікті сақтау үшін y =α( x )z түріндегі біртекті алмастыру алу керек.

Сызықты теңдеулердің бір ерекшелігі – олардың бастапқы шартты қанағаттандыратын шешімі бар болу үшін бір-ақ шарттың орындалуы жеткілікті.

Дəлірек айтсақ, мынандай тұжырым орын алады.

Теорема-1. Егер сызықты теңдеудің коэффициенттері мен бос мүшесі кейбір a,b

аралығында анықталған үздіксіз функциялар болса, онда оның бастапқы шартты қанағаттандыратын жалғыз ғана шешімі болады жəне ол шешім a,b аралығының өн

бойында анықталады.

Бұл тұжырымды дəлелдеу қиындық туғызбайды.

Біртекті сызықты теңдеулер

4.1. Біртекті сызықты теңдеудің шешімдерінің қасиеттерін келтірейік. Коэффициенттері кейбір a,b аралығында үздіксіз болып келетін мына n -ретті теңдеуді

қарастырайық:

L[y]= y( n ) + p ( x )y( n−1 ) +...+ p	n	( x )y =0	(1)
1

Ең алдымен ескеретін жəй – біртекті сызықты теңдеудің барлық жағдайда нольдік шешімі бар. Ол шешім

′	) =0, ..., y	( n−1 )	( x0	) =0	(2)
y( x0 ) =0, y ( x0

бастапқы шартты қанағаттандыратын Коши есебінің шешімі: y( x ) =0 . Бұл шешім жалғыз.

Теорема-1.	Егер ϕ1( x ), ...,ϕm( x ) функциялары (1) теңдеудің a,b	аралығындағы
шешімдері болса, онда олардың сызықты комбинациясы		(3)
	ϕ( x ) =α1ϕ1( x ) + ...+αm ϕm( x )
сол теңдеудің	a,b аралығындағы шешімі болады.
Дəлелдеуі. Шарт бойынша əрбір ϕi ( x ) шешім:

L[ϕi ( x )]=0 ( i =1, ..., m ), x a,b

Енді сызықты дифференциалдық оператордың қасиетін пайдалансақ, онда

L	m			m	L[ϕ	( x )]=0 , x a,b
		∑α ϕ	( x )	= ∑α
		i i		i	i
	i=1			i=1

Теорема-2. Егер (1) теңдеудің ϕ( x ) = u( x ) +iv( x ) түріндегі комплекс шешімі бар болса,

онда оның нақты жəне жорамал бөліктері өз алдына сол теңдеудің шешімдерін береді. Дəлелдеуі. Шарт бойынша

L[ϕ( x )]= L[u( x ) +iv( x )]=0 , x a,b

оператордың қасиеті бойынша

L[u( x ) +iv( x )]= L[u( x )]+iL[v( x )]=0 Осыдан L[u( x )]=0, L[v( x )]=0, x a,b .

Анықтама-1. Егер a,b аралығында анықталған

ϕ1( x ), ...,ϕm( x ) функциялары үшін бəрі бірдей нөлге тең емес α1 , ...,αm сандары табылып,

α1ϕ1( x ) + ...+αm ϕm( x ) =0, x a,b

(4)

теңдігі орындалса, онда берілген функциялар жиыны a,b аралығында сызықты тəуелді деп аталынады, ал (4) теңдік α1 , ...,αm сандарының тек нөлдік мəндерінде ғана орындалса, онда берілген функциялар жиыны a,b аралығында сызықты тəуелсіз деп аталады.

4.2. Айталық, ϕ1( x ),...,ϕn( x ) функциялары (1) теңдеудің a,b аралығында анықталған

нақты шешімдері болсын. Осы функциялар мен олардың туындыларынан құрылған төмендегідей n ретті анықтауыш

	ϕ1( x )	... ϕn( x )
	ϕ1′( x )	... ϕn′( x )	=W [ϕ1( x ),...,ϕn( x )]	(5)
	.................................

ϕ(1n−1 )( x ) ...ϕ(nn−1 )( x )

Вронский анықтауышы деп аталады. Қысқаша, оны функциялардың вронскианы дейді. Бұл анықтауышты қысқаша, W( x ) деп белгілейді.

	Теорема-3. Егер ϕ1( x ),...,ϕn ( x ) шешімдері				a,b	аралығында сызықты тəуелді болса,
	онда олардың вронскианы осы аралықта нөлге тепе-тең.
	Дəлелдеуі. Анықтама бойынша бəрі бірдей нөлге тең емес α1 , ...,αn								сандары үшін
	α1ϕ1( x ) + ...+αn ϕn( x ) =0, x a,b								(6)
	теңдігі орындалады.
	Осы қатынасты n −1 рет дифференциалдау					арқылы		сызықты	алгебралық жүйе
	құрайық:
	α1ϕ1( x ) + ...+αn ϕn( x ) =0
	α ϕ ′( x )	+ ...+α		ϕ	′( x ) =0
			n
	1 1			n					(7)
	...................................................
	( n−1 )				( n−1 )		( x ) =0
	α1 ϕ1	( x ) + ...+αn ϕn

Бұл біртекті сызықты алгебралық жүйенің нөлдік емес шешімі бар болуы үшін оның анықтауышы нөлге тең болуы керек, ал ол анықтауыш Вронский анықтауышы, яғни

W( x ) =0 .

Теорема-4. Егер ϕ1( x ),...,ϕn ( x ) шешімдері a,b аралығында сызықты тəуелсіз болса, онда олардың вронскианы осы аралықтың бірде-бір нүктесінде нөлге айналмайды.

Дəлелдеуі. Кері жориық, кейбір

x0 a,b

нүктесі үшін W( x0 ) =0 болсын. (7) жүйені

бір нүкте үшін қайта құрайық:

α1ϕ1( x0 ) + ...+αn ϕn( x0 ) =0

α ϕ ′( x

) + ...+α

ϕ

′( x

) =0

n

1

1

0

n

0

...................................................

α

1

ϕ

( n−1 )( x ) + ...+α

n

ϕ

( n−1 )( x

)

=0

1

0

n

0

Бұл жүйенің анықтауышы W( x0 ) =0 болғандықтан, нөлге тең емес шешім бар:

α1 =α10 , ...,αn =αn0

Осы сандар арқылы құрылған

ϕ( x ) =α10ϕ1( x ) + ...+αn0 ϕn( x )

функцияны қарастырайық. Бұл қосынды (1) теңдеудің шешімі болатыны 1-теоремада көрсетілген жəне ол (2) бастапқы шарттарды қанағаттандырып тұр. Сондықтан, шешімнің жалғыздығы бойынша ϕ( x ) =0 . Демек,

α10ϕ1( x ) + ...+αn0 ϕn( x ) =0

Мұндағы, α10 , ...,αn0 бəрі бірдей нөлге тең емес. Соңғы қатынас ϕ1( x ),...,ϕn ( x )

функцияларының сызықты тəуелділігін көрсетеді. Ал бұл теореманың шартына қайшы. Сондықтан, W( x ) бірде-бір нүктеде нөлге тең болмайды. Бұл шарт əрі жеткілікті – егер

берілген шешімдердің вронскианы нөлге тең болмаса, онда олар берілген аралықта сызықты тəуелсіз. Бұл тұжырымды да кері жору арқылы оңай дəлелдеуге болады.

4.3. Анықтама-2. Сызықты біртекті теңдеудің кез келген n сызықты тəуелсіз шешімдер жүйесі осы теңдеудің базисы немесе фундаменталь шешімдер жүйесі деп аталады.

Теорема-5. Біртекті сызықты теңдеудің берілген аралықта базисы əрқашанда бар болады жəне егер ϕ1( x ),...,ϕn ( x ) базис болса, онда теңдеудің жалпы шешімі төмендегідей

түрде жазылады:

ϕ( x ) = C1ϕ1( x ) + ...+Cn ϕn( x )

(8)

Дəлелдеуі. Кез келген нөлге тең емес n ретті анықтауыш алып, кейбір x0 a,b

нүктесі үшін

′( x ) = a

ϕ

j

( x

) = a

,ϕ

2 j

, ...,ϕ

( n−1 )( x

) = a

nj

,( j =1, ..., n )

(9)

0

1 j

j

0

j

0

шартын қанағаттандыратын

ϕ j ( x ), ( j =1, ..., n )

шешімдерін құрсақ, онда олардың

вронскианы W( x0 ) =W [ϕ1( x0 ), ...,ϕn( x0 )]≠ 0 .

Ал

бұл

шешімдердің a,b

аралығында

сызықты тəуелсіздігін көрсетеді. Мұндай анықтауыштарды шексіз көп ала беруге болады. Енді (8) қатынастың жалпы шешім болатынын көрсетейік. Біріншіден, бұл қатынас шешімдердің сызықты комбинациясы болуы себепті, C1 , ...,Cn сандарының барлық

мəндерінде шешім болады. Екіншіден, одан кез келген Коши есебінің шешімін алуға болады. Мынандай бастапқы шарт қоялық:

ϕ( x	) = y	,ϕ′( x	) = y	1 , ...,ϕ( n−1 )( x	) = y	n−1	(10)
0	0	0	0	0		0

Сонда тұрақты C1 , ...,Cn сандарын табу үшін сызықты алгебралық біртексіз жүйе аламыз:

C1ϕ1( x0 ) + ...+Cn ϕn( x0 ) = y0
C ϕ ′( x ) + +C					ϕ	′( x ) = y 1
				n
1	1		0			n		0	0			(11)
...........................................................
C	ϕ	( n−1 )( x ) + ...+C					n	ϕ( n−1 )( x ) = y			n−1
1		1	0					n	0	0

Бұл жүйенің анықтауышы W( x0 ) жəне ол нөлге тең емес. Сондықтан, (11) жүйенің

жалғыз ғана шешімі бар: C10 , ...,Cn0 . Осы табылған мəндерді (8) қатынасқа қойсақ, (10)

бастапқы шартты қанағаттандыратын жалғыз дербес шешім аламыз.

Əдетте, бастапқы анықтауыштың мүшелері ретінде Кронекер символын алуға болады:

1, j = k a jk =δ jk = 0, j ≠ k

Осыған сəйкес бастапқы шартты да мына түрде

ϕ j( k )( x0 ) =δ jk ,( j =1, ..., n; k =1, ..., n )

алсақ, онда W( x0 ) =1 болады. Бұл жағдайда фундаменталь шешімдер жүйесі x0

нүктесінде нормаланған (қалыпталған) деп аталады.

Теорема-6. Берілген фундаменталь шешімдер жүйесі бойынша дифференциалдық теңдеу құруға болады жəне ол жалғыз болады.

Дəлелдеуі. Айталық, кейбір a,b аралығында ϕ1( x ),...,ϕn ( x ) базисы берілсін. Онда

іздеп отырған теңдеудің кез келген шешімі (8) түрде болатыны белгілі. Осы (8) шешімді пайдаланып ( n +1 ) - ретті анықтауышты қарастырайық:

	ϕ1	...	ϕn	ϕ
W [ϕ1 , ... ,ϕn ,ϕ]=	ϕ1′	...	ϕn′	ϕ′	(12)
	..............................
	ϕ1( n )	...	ϕn( n )	ϕ( n )

Бұл анықтауыш нөлге тең, өйткені соңғы бағананың мүшелері басқа бағаналарының мүшелерінің сызықты комбинациясы. Соңғы бағанадағы мүшелерді жалпы жағдайда y

деп белгілеп, осы бағана бойынша жіктеп жазсақ, n ретті біртекті сызықты теңдеу аламыз. Мұнда ең жоғарғы ретті y( n ) туындысының коэффициенті W [ϕ1 , ... ,ϕn ]-ға тең. Ал ол a,b аралығында нөлге тең емес. Сондықтан, жіктелудің мүшелерін осы W [ϕ1 , ... ,ϕn ]

анықтауышына бөлсек, n ретті сызықты теңдеудің қалыпты түрін аламыз: y( n ) + p1( x )y( n−1 ) + ...+ pn( x )y =0

4.4. Жоғарыда келтірілген жіктеуден шығатын Лиувилль формуласын келтірейік. Құрылған теңдеудің бірінші p1( x ) коэффициенті былай анықталады:

				ϕ1	...	ϕn
				ϕ ′	...	ϕ	′
				1		n
				............................
				ϕ (n−2)	...	ϕ	(n−2)
				1		n
				ϕ (n)	...	ϕ	(n)
p	(x) = −			1		n			(13)
1					W (x)

Анықтауыштың туындысын табу ережесін еске алсақ, (13) қатынастың алымы бөлімінің туындысы болып шығады, яғни

= −W ′( x ) p1( x ) W( x )

Осы қатынасты интегралдасақ,

lnW( x ) = −∫ p1( x )dx +ln C

теңдігін аламыз. Осыдан

W( x ) = Ce−∫ p1( x )dx

немесе

x

− ∫ p1 ( x)dx
W (x) =W (x )e x0	(14)
0

Осы қатынасты Лиувилль формуласы деп атайды.

Лиувилль формуласын пайдаланып бір шешімі белгілі екінші ретті біртекті сызықты теңдеудің жалпы шешімін құруға болады.

••

•

x1 =ϕ1( t ) шешімі белгілі болса, онда Лиувилль

Егер x

+ p1( t ) x+ p2( t )x =0 теңдеуінің

формуласы былай жазылады:

ϕ1

x

= C e−∫ p1( t )dt

•

•

ϕ1

x

1

немесе

ϕ

•

•

x− x

ϕ = C e−∫ p1 (t)dt

1

1

1

1

Соңғы теңдікті

функциясына көбейтіп интегралдасақ, онда

ϕ 2

1

′

x

1

−∫ p1( t )dt

= C1

e

ϕ1

2

теңдігінен

ϕ1

x

e−∫ p1( t )dt

= C1 ∫

ϕ12

dt +C2

теңдігін аламыз. Осыдан

ϕ1

x( t ) = C ϕ

( t ) +C ϕ

1

( t )

e−∫ p1( t )dt dt

(15)

2

1

1

∫

ϕ 2

1

Мұндағы,

ϕ

( t ) =ϕ

( t )

e−∫ p1( t )dt dt

функциясы теңдеудің екінші дербес шешімін береді.

2

1

∫

ϕ12

Оған – теңдеуге қойып көз жеткізуге болады жəне бұл ϕ1( t ) жəне ϕ2( t ) шешімдер өзара

тəуелсіз. Сондықтан, (15) қатынас жалпы шешім болады.

7-ЛЕКЦИЯ. Біртексіз сызықты теңдеулер.

Лекция мақсаты: Біртексіз сызықты теңдеулердің қасиеттерімен таныстыру. Негізгі сөздер: Тұрақты санды вариациялау, суперпозиция, жалпы шешім.

Қысқаша мазмұны Біртексіз сызықты теңдеулер

5.1. Төмендегідей біртексіз сызықты теңдеуді қарастырайық:

L[y]= y( n ) + p ( x )y( n−1 ) + ...+ p	n	( x )y = f ( x )	(1)
1

Мұнда да коэффициенттер мен бос мүше кейбір a,b аралығында үздіксіз функциялар деп есептелінеді. Осы теңдеудің сəйкес біртектісін қоса қарастырайық:

				L[y	]= y( n ) + p ( x )y( n−1 ) +...+ p		( x )y =0	(2)
					1	n
Бұл екі теңдеудің шешімдерінің арасында тығыз байланыстар бар.
	0		~
1 .			Егер y біртексіз (1) теңдеудің шешімі, ал y1 біртекті (2)
теңдеудің шешімі болса, онда					~	функциясы (1) теңдеудің шешімін береді.
					y = y + y1
				~		a,b . Осыдан
Шынында да, L[y ]= f ( x ), L[y1]=0, x
~			~	]+ L[y1 ]= f ( t ), x a , b .
L[y + y1 ]= L[y
2	0	.	~	~				онда олардың
			Егер y1	жəне y2 функциялары (1) теңдеудің шешімдері болса,
айырмасы (2) теңдеудің шешімін береді.
Шыныда да,				~	~	. Осыдан
				L[y1 ]= f ( x ), L[y2 ]= f ( x )

~	~		~	~	]= f ( x ) − f ( x ) =0, x a,b .
L[y1	− y2	]= L[y1		]− L[y2
				m			L[y]= f
30. Егер (1) теңдеуде	f ( x ) = ∑ fi ( x ) болса, ал y функциясы							( x )
				i = 1		i	i
теңдеуінің шешімі болса, онда
	L	m		m	m	( x ), x a,b
		∑ y	= ∑L[y		]= ∑ f
			i	i	i
	i=1			i=1	i=1

Бұл қасиетті суперпозиция қасиеті деп атайды.

40. Егер (1) теңдеудің оң жағы комплексты функция болса f ( x ) = u( x ) +iv( x ) , ал y( x ) =α( x ) +iβ( x ) комплексты функция сол теңдеудің шешімі болса, онда нақты α( x )

жəне β( x ) функциялары сəйкес L[y]= u( x )	жəне L[y]= v( x ) теңдеулерінің шешімдері
болады.	Осыдан L[α( x )]≡ u( x ), L[β( x )]≡ v( x ) тепе-
Шынында да, L[α( x ) +iβ( x )]≡ u( x ) +iv( x ) .

теңдіктері шығады.

Осы қасиеттерді пайдалансақ, төмендегідей қорытындыға келеміз.

Теорема. Біртексіз (1) теңдеудің жалпы шешімі осы теңдеудің бір дербес шешімі мен сəйкес біртекті (2) теңдеудің жалпы шешімінің қосындысынан тұрады.

Дəлелдеуі. Айталық, y1 , y2 , ..., yn біртекті (2) теңдеудің фундаменталь шешімдер жүйесі

болсын, ал	y функциясы біртексіз (1) теңдеудің бір дербес шешімі болсын. Бұл жағдайда
	~
	~	n	(3)
	y( x ) = y( x ) + ∑Ci yi ( x )
		i=1

қосындысы берілген аралықта (1) теңдеудің жалпы шешім болатынын көрсетейік. Мұнда C1 , ..., Cn - еркін тұрақтылар. 10 - қасиет бойынша (3) қосынды (1) теңдеудің шешімі:

	~	n		~	n
L y		+ ∑Ci yi		= L[y	]+ ∑Ci L[yi ]= f ( x ), x a,b
		i=1			i=1

Енді осы шешімнен кез келген Коши есебінің жалғыз ғана шешімін алуға болатынын көрсетсек, жеткілікті. Бастапқы шартты

′	) = y0	1	, ..., y	( n−1 )	( x0	) = y0	n−1	(4)
y( x0 ) = y0 , y ( x0

түрінде алсақ, онда төмендегідей жүйе аламыз:

y0		~	n
	= y( x0		) + ∑Ci yi ( x0 )
			i=1
y0	1	~′	n	′	( x0	)
		= y ( x0 ) + ∑Ci yi
			i=1

...........................................

	n−1	~( n−1 )	n
			( x0 ) + ∑Ci yi
	y0	= y
			i=1

(5)

( n−1 )( x )

0

Бұл жүйе C1 , ...,Cn сандары бойынша сызықты біртексіз алгебралық жүйе. Оның анықтауышы ∆ =W( x0 ) ≠ 0 . Сондықтан, жүйенің нөлдік емес жалғыз ғана шешімі бар:

C10 , ..., Cn0 . Осы сандарды (3) қатынасқа қойсақ, (1) теңдеудің (4) шартты қанағаттандыратын жалғыз ғана шешім аламыз.

5.2. Біртексіз теңдеудің жалпы шешімін табу үшін əдетте, тұрақтыларды вариациялау əдісі қолданылады. Бұл əдістің мəнісі – сəйкес біртекті теңдеудің жалпы шешімі белгілі деп, ондағы еркін тұрақтыларды x -қа байланысты айнымалы шамалар деп есептелініп, шешім мына түрде ізделінеді:

n

y = ∑Ci ( x )yi (6)

i=1