Диффур
.pdf
Теорема-4. Егер ϕ1( t ),...,ϕn( t ) функциялары (1) жүйенің a,b аралығындағы сызықты
тəуелсіз шешімдері болса, онда осы аралықтың кез келген нүктесінде вронскиан нөлге тең болмайды.
Дəлелдеуі. Кері жориық. Айталық, |
кейбір t0 a,b |
нүктеде |
|||||||
α1 ,...,αn сандары арқылы төмендегідей теңдік құрайық: |
|
||||||||
α ϕ1( t |
) + ...+α ϕn( t |
) =0 |
|
|
|||||
1 |
0 |
|
|
n |
0 |
|
|
|
|
немесе координаттары бойынша: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α1ϕ11( t0 ) + ...+αnϕ1n( t0 ) =0 |
|||||||||
.......................................... |
|
|
|||||||
|
|
||||||||
α ϕ |
|
( t |
0 |
) + ... +α ϕ |
nn |
( t |
) =0 |
|
|
1 n1 |
|
|
n |
0 |
|
|
|||
W( t0 ) =0 болсын. Белгісіз
(9)
(10)
Бұл жүйенің анықтауышы нөлге тең, өйткені ол анықтауыш W( t0 ) . Сондықтан, оның
нөлдік емес шешімі бар: α10 ,...,αn0 .
Берілген шешімдердің сызықты комбинациясын қарастырайық:
|
|
|
|
x( t ) =α10ϕ1( t ) + ...+αn0ϕn( t ) |
(11) |
Бұл вектор-функция берілген жүйенің шешімі болады (теорема-1). |
|
||||
Осындағы |
α 0 |
,...,α |
0 |
сандары (9) теңдікті қанағаттандырғандықтан, |
x( t ) =0 теңдігі |
|
1 |
|
n |
|
0 |
орындалады, яғни (11) шешімнің бастапқы мəні нөлге тең. Шешімнің жалғыздық шарты бойынша x( t ) нөлдік шешім. Сондықтан,
x( t ) =α10ϕ1( t ) + ...+αn0ϕn ( t ) = 0, t a,b |
(12) |
Соңғы тепе-теңдік ϕ1( t ),...,ϕn( t ) векторларының сызықты тəуелділігін көрсетеді. |
Бұл - |
теореманың шартына қайшы.
Соңғы екі теореманы біріктіріп айтсақ, мынандай қорытындыға келеміз: (1) жүйенің n
шешімі a,b |
аралығында сызықты тəуелсіз болу үшін олардың вронскианының a,b |
аралығының бірде-бір нүктесінде нөлге тең болмауы қажетті жəне жеткілікті. |
|
Теорема-5. |
Егер P( t ) матрицасы a,b аралығында үздіксіз болса, онда (1) жүйенің |
базисы əрқашанда бар болады жəне егер ϕ1( t ),...,ϕn( t ) |
жүйенің базисы болса, онда оның |
|||
жалпы шешімі мына түрде жазылады: |
|
|
|
|
x( t ) = C ϕ1( t ) + ...+C ϕn( t ) |
|
(13) |
||
1 |
|
n |
|
|
мұндағы, C1 ,...,Cn - кез келген тұрақты сандар. |
|
|
|
|
Дəлелдеуі. Кез келген сызықты тəуелсіз |
n векторлар: a1 ,...,an |
үшін кейбір t a,b |
||
|
|
|
|
0 |
нүктесінде |
|
|
|
|
ϕ1(t0 ) = a1,..., ϕn (t0 ) = an |
|
(14) |
||
шартын қанағаттандыратын шешімдер |
жиынын |
алсақ, |
жеткілікті. |
Бастапқы |
ϕ1( t0 ),...,ϕn( t0 ) мəндері сызықты тəуелсіз болғандықтан, бұл шешімдер a,b |
аралығында |
|||
да тəуелсіз, яғни олар (1) жүйенің базисын құрайды. |
|
|
|
|
Енді (13) қатынастың жалпы шешім болатынын көрсетейік. Біріншіден, бұл қатынас шешімдердің сызықты комбинациясы болғандықтан, C1 ,...,Cn сандарының барлық
мəндерінде жүйенің шешімі болады (теорема-1). Екіншіден, одан кез келген Коши есебінің шешімін алуға болады. Ол үшін
|
|
x( t ) = x0 |
|
|
(15) |
шартын қоялық, яғни |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C ϕ1( t |
0 |
) + ...+C ϕn( t |
0 |
) = x0 |
(16) |
1 |
n |
|
|
Бұл векторлық теңдікті координаттары бойынша ашып жазсақ,
C ϕ |
11 |
( t |
0 |
) + ...+ C ϕ |
1n |
( t |
0 |
) = x |
|
|
|
|||
1 |
|
n |
|
|
10 |
|
(17) |
|||||||
.......... |
|
.......... |
|
.................... |
|
|
|
|
.. |
|
|
|
|
|
C ϕ |
n1 |
( t |
0 |
) + ... +C ϕ |
nn |
( t |
0 |
) = x |
n0 |
|
|
|||
1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||
жүйесін аламыз. Оның анықтауышы нөлге тең емес. Сондықтан, (17) жүйенің тек жалғыз ғана шешімі бар: C10 ,...,Cn0 . Осы тұрақтыларды (13) қатынасқа қойсақ, (15) шартты қанағаттандыратын дербес шешім аламыз.
2.3. Жалпы шешімді фундаменталь матрица арқылы жазуға болады. Айталық, Φ( t )
берілген (1) жүйенің фундаменталь матрицасы болсын. Оның əрбір бағанасы тəуелсіз векторлардың координаттары болғандықтан, бұл матрица матрицалық
|
|
dX |
= P( t )X |
|
(18) |
теңдеудің шешімі болады, яғни |
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
dΦ( t ) |
= P( t )Φ( t ), t a,b |
(19) |
||
|
dt |
|
|
|
|
Осы матрицаны пайдалансақ, жалпы шешім |
|
(20) |
|||
|
|
|
x( t ) =Φ( t )C |
|
|
түрінде жазылады. Мұнда C - кез келген тұрақты вектор. Бұл қатынастан Коши есебінің |
|||||
шешімін анықтауға болады: (15) бастапқы шартты пайдалансақ, |
|
||||
|
|
|
x0 =Φ( t )C |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
теңдігін аламыз. Осыдан |
C0 =Φ−1( t |
)x0 . Сонда |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
x( t ) =Φ( t )Φ |
−1( t )x0 |
(21) |
|
|
|
|
0 |
|
түріндегі дербес шешім |
аламыз. |
Егер Φ( t )Φ−1( t0 ) = K( t,t0 ) белгілеуін |
енгізсек, соңғы |
||
теңдік былай жазылады: |
|
|
|
)x0 |
|
|
|
|
x( t ) = K( t,t |
(22) |
|
|
|
|
0 |
|
|
Осындағы K( t,t0 ) матрицасын Коши матрицасы деп атайды. |
|
Егер соңғы қатынастағы t -ді тұрақталған сан, ал x0 -ді тұрақталмаған вектор деп |
|
0 |
|
есептесек, онда (22) қатынасты жүйенің Коши түріндегі жалпы шешімі деп атайды. |
|
Егер кейбір t0 a,b нүктесінде Φ( t0 ) = E теңдігі орындалса, онда Φ( t ) |
матрицасы t0 |
нүктесінде қалыпталған (нормаланған) деп аталады. Бұл жағдайда шешім |
|
x( t ) =Φ( t )x0 |
(23) |
түрінде жазылады. |
|
Теорема-6. Егер Φ( t ) фундаменталь матрица болса, онда Ψ ( t ) =Φ( t )C |
матрицасы да |
фундаменталь матрица болады. Мұнда C - тұрақты (n ×n) - өлшемді ерекше емес матрица. Шынында да,
|
|
dΨ ( t ) |
= |
d(ΦC ) |
= |
dΦ |
C |
|
|
|
|
|
dt |
|
|||
|
|
dt |
|
dt |
||||
Ал Φ( t ) матрицасы (18) матрицалық теңдеуді қанағаттандыратындықтан, |
||||||||
|
d(ΦC ) |
=( PΦ )C = P(ΦC ) |
||||||
|
|
|||||||
|
dt |
|
|
|
|
|||
тепе-теңдігін аламыз, яғни Ψ ( t ) =Φ( t )C |
матрицасы да (18) матрицалық теңдеуді |
|||||||
қанағаттандырады. Оның үстіне
detΨ ( t ) = detΦ( t ) det C ≠ 0
2.4. Лиувилль формуласын келтірейік.
Алдымен, n -ші ретті анықтауыштың туындысы қалай ашылатынын көрсетейік.
n -ші ретті анықтауыштың туындысы сол анықтауыштың əр бағанасы (немесе əр жатық жолы) кезекпен туындыларымен ауыстырылған n анықтауыштардың қосындысынан тұрады. Осы ереже бойынша вронскианның туындысын ашайық:
|
|
ϕ11 ... ϕ•1i ... ϕ1n |
|
|
|
|
....................... |
|
|
• |
n |
ϕj1 |
• |
(24) |
W (t) = ∑ |
... ϕji ... ϕjn |
|||
|
i=1 |
....................... |
|
|
|
|
ϕn1 |
... ϕ•ni ... ϕnn |
|
Мұндағы, ϕ ji берілген жүйенің шешімі болғандықтан,
• n
ϕji (t) = ∑ p jk (t)ϕki (t), (i, j =1,..., n)
k =1
Осы өрнектерді анықтауыштың i -нші бағанасына қойсақ, анықтауыштың қасиеттері бойынша, k = j болатын қосындыдан басқа анықтауыштардың бəрі нөлге тең болады,
өйткені олардың екі бағанасы өзара пропорционал болады. Сондықтан,
• |
n |
|
W (t) = ∑ p jj (t)W (t) |
|
|
|
j =1 |
|
Осыдан |
t |
|
|
|
|
|
∫trP( t )dt |
|
|
W( t ) =W( t )et0 |
(25) |
|
0 |
|
n
Мұндағы, trP( t ) = ∑ p jj ( t ) - берілген P( t ) матрицасының ізі деп аталады.
j =1
Осы (25) теңдікті Лиувилль формуласы деп атайды. Бұл формуладан мынандай қорытынды шығады: егер a,b аралығының бір нүктесінде вронскиан нөлге тең болса, ол
бүкіл аралықта нөлге тең болады, ал a,b аралығының бір нүктесінде нөлге тең болмаса, онда ол бүкіл аралықта нөлге тең болмайды.
2.5.Айталық, Φ( t ) - фундаменталь матрица болсын.
Φ−1( t )Φ( t ) = E тепе-теңдігін дифференциалдайық:
|
|
d |
−1 |
|
|
|
dΦ−1 |
|
|
|
|
−1 |
dΦ |
|
|||||
|
|
|
|
(Φ |
Φ) = |
|
|
|
|
Φ + Φ |
|
|
= 0 |
||||||
|
|
dt |
|
dt |
|
dt |
|||||||||||||
Осыдан |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
dΦ−1 |
= −Φ−1 |
dΦ |
Φ−1 |
= −Φ−1PΦΦ−1 = −Φ−1P |
||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
dt |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
немесе |
|
|
dΦ−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= −Φ−1P |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Соңғы қатынастағы матрицаларды аударсақ, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
d (Φ−1)T |
|
T |
|
−1 T |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= −P |
|
(Φ |
|
) |
|
||
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ψ(t) = (Φ−1)T матрицасы |
|||||||||
теңдігін аламыз. Бұдан шығатын қорытынды, |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
= −P(t) y |
|
|
|
(27) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
теңдеуінің фундаменталь матрицасы болатынын көреміз. Осы (27) жүйені берілген (1) жүйенің түйіндесі деп атайды. Егер Ψ1( t ) осы жүйенің кейбір фундаменталь матрицасы
болса, онда
Ψ1(t) = (Φ−1)T C
қатынасы орын алады. Мұнда C -ерекше емес матрица. Осыдан
Ψ1T (t) = CT Φ−1
немесе
Ψ1T (t)Φ(t) = CT = B
Соңғы теңдіктен мынаны көреміз: Ψ1T ( t ) - матрицасының жатық жолы (27) жүйенің шешімдері болатынын, Φ( t ) матрицасының бағаналары (1) жүйенің шешімдері болатыны,
ал олардың көбейтіндісі тұрақты екенін көреміз. |
|
10-ЛЕКЦИЯ. Біртексіз сызықты жүйелер. |
|
Лекция мақсаты: Біртексіз сызықты жүйелердің қасиеттерімен таныстыру. |
|
Негізгі сөздер: |
|
Қысқаша мазмұны |
|
Біртексіз сызықты жүйелер |
|
3.1. Біртексіз сызықты теңдеулер жүйесін қарастырайық: |
|
• |
(1) |
x = P( t )x + f ( t ) |
|
Айталық, кейбір ϕ( t ) функциясы (1) жүйенің дербес шешімі болсын. Осы жүйеге |
|
x = y +ϕ |
(2) |
түрінде алмастыру жасайық. Екі жағынан да туынды алып, сол жүйенің өзін пайдалансақ, төмендегідей теңдік аламыз:
• •
P( t )( y +ϕ ) + f ( t ) = y+ϕ
Ал бұдан шығатыны
• |
(3) |
y = P( t )y |
|
Бұл біртекті сызықты жүйе. Осы жүйенің жалпы шешімін тауып, оны (2) қатынастағы |
y -тің |
орнына қойсақ, (1) жүйенің жалпы шешімін табамыз.
Қорытындылап айтсақ, біртексіз жүйенің жалпы шешімі осы жүйенің дербес шешімі мен оның сəйкес біртектісінің жалпы шешімінің қосындысына тең.
Ал біртекті (3) жүйенің жалпы шешімі
y =Φ( t )C |
(4) |
түрінде жазылатыны белгілі. Мұндағы, Φ( t ) - (3) жүйенің фундаменталь матрицасы, C |
- бір |
бағаналы матрица. Сондықтан, (1) жүйенің жалпы шешімі |
|
x =Φ( t )C +ϕ |
(5) |
түрінде жазылады. Бұл шешімнің жалпы шешім болатынын көрсету үшін одан кез келген Коши есебінің шешімін алуға болатынын дəлелдесек, жеткілікті. Ол үшін t = t0 болғанда x( t0 ) = x0 болатын шартты қанағаттандыратын векторды табу мүмкіншілігін қарастырайық:
|
x0 =Φ( t |
)C +ϕ( t ) |
(6) |
|
0 |
0 |
|
Теңдіктегі Φ( t0 ) |
фундаменталь матрица болғандықтан, a,b аралығындағы кез |
келген |
|
нүктеде оның анықтауышы нөлге тең емес, яғни оның кері матрицасы бар. Сондықтан, |
|
||
|
C =Φ −1( t )( x0 −ϕ( t )) |
(7) |
|
|
0 |
0 |
|
Осы векторды (5) қатынасқа қойып, керекті шешімді аламыз: |
|
||
немесе |
x( t ) =Φ( t )Φ −1( t0 )( x0 −ϕ( t0 )) +ϕ( t ) |
|
|
x( t ) = Κ( t,t )( x0 |
|
|
|
|
−ϕ( t )) +ϕ( t ) |
(8) |
|
|
0 |
0 |
|
Мұндағы, Κ( t,t ) =Φ( t )Φ −1( t ) - Коши функциясы. |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
3.2. Біртексіз сызықты жүйенің жалпы шешімін табу үшін əдетте, тұрақтыларды вариациялау əдісі қолданылады. Мұны Лагранж əдісі деп те атайды. Ол үшін біртекті жүйенің жалпы шешіміндегі тұрақты C векторын t - ға байланысты функция деп, біртексіз жүйенің шешімін
X ( t ) =Φ( t )C( t ) |
(9) |
түрінде іздейміз. Екі жағынан туынды алып, берілген (1) жүйені пайдаланып, мынандай теңдеу аламыз:
••
Φ( t )C( t ) +Φ( t )C( t ) = P( t )Φ( t )C( t ) + f ( t )
Ал
|
|
|
• |
|
(10) |
|
|
|
Φ( t ) = P( t )Φ( t ) |
|
|
тепе-теңдігін ескерсек, онда |
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
|
|
|
|
Φ( t )C( t ) = f ( t ) |
|
|
Осыдан |
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
|
(11) |
|
|
|
C( t ) =Φ −1( t ) f ( t ) |
|
|
Бұл теңдеудің шешімі интегралдау арқылы былай жазылады: |
|
|
|||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
C( t ) = C0 + ∫Φ −1(τ )f (τ )dτ |
|
(12) |
|
|
|
t0 |
|
|
мұндағы, C0 = C( t |
) = colon( C 0 |
,...,C |
0 ) - тұрақты вектор. Табылған C( t ) - |
ның мəнін (9) – |
|
0 |
1 |
n |
|
|
|
қатынасқа қойып, біртексіз (1) жүйенің жалпы шешімін табамыз: |
|
|
|||
|
|
|
t |
|
|
|
x( t ) =Φ( t )C0 + ∫Φ( t )Φ −1(τ )f (τ )dτ |
|
(13) |
||
|
|
|
t0 |
|
|
Бұл жалпы шешімдегі тұрақты C0 |
- векторын анықтау үшін формулада t = t |
0 |
деп алсақ, онда |
||
|
|
|
|
|
|
C0 =Φ −1( t )x0 . Сондықтан |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
x( t ) =Φ( t )Φ −1( t0 )x0 + ∫Φ( t )Φ −1(τ )f (τ )dτ |
|
(14) |
||
|
|
|
t0 |
|
|
немесе Коши функциясын енгізсек, онда шешім мына түрде жазылады: |
|
|
|||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
x( t ) = K( t,t0 )x0 + ∫K( t,τ )f (τ )dτ |
|
(15) |
|
|
|
t0 |
|
|
Бұл қатынас Коши формуласы деп аталынады. Осындағы фундаменталь Φ( t ) матрицасы t = t0 нүктесінде нормаланған болса, яғни Φ( t0 ) = E болса, онда формула мына түрде жазылады:
t
x( t ) =Φ( t )x0 + ∫K( t,τ )f (τ )dτ
t0
Егер P( t ) матрицасы тұрақты болса, яғни P( t ) = A - тұрақты болса жəне Φ( t0 ) = E болса, онда Φ( t ) = eA( t −t0 ) . Бұл жағдайда жалпы шешім мына түрде жазылады:
x( t ) = eA( t −t0 )x0 |
t |
|
+ ∫eA( t −τ ) f (τ )dτ |
(16) |
|
|
t0 |
|
Соңғы формулада t - тұрақталған сан деп, ал x0 |
- векторын кез келген тұрақты вектор деп |
|
0 |
|
|
қарастырсақ, онда (16) формула Коши түріндегі жалпы шешімді білдіреді.
3.3. Тұрақты сандарды вариациялаудың екінші түрін келтірейік.
Біртексіз жүйенің жалпы жəне дербес шешімін іздегенде C( t ) векторын координаттары
бойынша іздеген қолайлы. Олардың туындылары сызықты алгебралық жүйенің шешімдері ретінде анықталады.
Айталық, ϕ1( t ),...,ϕn( t ) вектор - функциялары (3) жүйенің фундаменталь шешімдер жүйесі болсын. Онда осы жүйенің жалпы шешімі
n
y = ∑Ciϕi ( t )
i=1
түрінде жазылады. Мұндағы, Ci - еркін тұрақтылар.Енді (1) жүйенің жалпы шешімін табу үшін
осы Ci - лерді t - ға байланысты үздіксіз дифференциалданатын |
белгісіз функциялар деп |
есептейік, яғни |
|
n |
|
y = ∑Ci ( t )ϕi ( t ) |
(17) |
i=1 |
|
|
• |
Егер осы вектор-функцияны (1) жүйеге қойсақ, белгісіз Ci ( t ) жəне оның туындысы Ci ( t ) бойынша төмендегідей векторлық теңдеу алынады:
n |
• |
n |
• |
n |
|
|
|
||||
∑Ci ( t )ϕi ( t ) + ∑Ci ( t )ϕi ( t ) = P( t )∑Ci ( t )ϕi ( t ) + f ( t ) |
|
||||
i=1 |
|
i=1 |
|
i=1 |
|
• |
|
|
|
|
|
Осыдан, ϕi ( t ) = P( t )ϕi ( t ) |
екенін ескерсек, |
|
|
|
|
|
|
n |
• |
|
|
|
|
∑Ci ( t )ϕi ( t ) = f ( t ) |
(18) |
||
|
|
i=1 |
|
|
|
түріндегі векторлық теңдеу аламыз. Оны координаттары бойынша ашып жазсақ, төмендегідей n скалярлық теңдеулер жүйесін аламыз:
• |
• |
• |
|
|
|
C1( t )ϕ11( t ) +C2( t )ϕ12( t ) +...+Cn( t )ϕ1n( t ) = |
f1( t ) |
|
|
||
• |
• |
• |
|
|
|
C1( t )ϕ21( t ) +C2( t )ϕ22( t ) + ...+Cn( t )ϕ2n( t ) = |
|
|
(19) |
||
f2( t ) |
|||||
............................................................................... |
|
|
|||
• |
• |
• |
|
|
|
|
|
|
|||
C1( t )ϕn1( t ) +C2( t )ϕn2( t ) +...+Cn( t )ϕnn( t ) = |
|
|
|||
fn( t ) |
|
||||
Бұл жүйе алгебралық сызықты біртексіз жүйе. Ал оның негізгі анықтауышы Вронский
•
анықтауышы болғандықтан, ол нөлге тең емес. Крамер ережесі бойынша барлық Ci ( t ) функциялары бір мəнді болып анықталады:
• |
|
|
|
|
Ci ( t ) = Wi ( t ) |
= gi ( t ),( i =1,...,n ) |
(20) |
||
W( t ) |
|
|
||
Осыдан |
|
0 + ∫gi ( t )dt,( i =1,...,n ) |
|
|
Ci ( t ) = Ci |
(21) |
|||
Бұл функцияларды (17) қатынасқа қойсақ, |
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
y = ∑Ci |
0ϕi ( t ) + ∑ϕi ( t )∫gi ( t )dt |
(22) |
||
i=1 |
|
|
i=1 |
|
түріндегі (1) жүйенің жалпы шешімін аламыз. Мұндағы, бірінші қосынды біртекті (3) жүйенің жалпы шешімін береді де, екінші қосынды (1) жүйенің дербес шешімін береді. Сонымен, бастапқы тұжырымға қайта келдік: біртексіз сызықты жүйенің жалпы шешімі сəйкес біртекті жүйенің жалпы шешімі мен біртексіз жүйенің дербес шешімінің қосындысынан тұрады.
11-ЛЕКЦИЯ. Тұрақты коэффициентті сызықты жүйелерді интегралдау.
Лекция мақсаты: Сызықты жүйелерді интегралдау əдістерімен тансытыру.
Негізгі сөздер: Сипаттаушы теңдеу, меншікті сандар, меншікті векторлар, квазикөпмүшелік.
Қысқаша мазмұны Тұрақты коэффициентті сызықты жүйелерді интегралдау
4.1. Коэффициенттері тұрақты біртекті сызықты жүйені қарастырайық:
dx |
= Ax |
(1) |
dt |
|
|
Мұнда x = colon( x1 ,...,xn ), A =( aij ) - тұрақты нақты квадрат матрица. Бұл жүйенің шешімін Эйлер əдісі бойынша
x =αeλt |
(2) |
түрінде іздейміз. Мұнда λ -белгісіз сан, α -нөлдік емес белгісіз тұрақты вектор. |
|
Осы (2) өрнекті (1) жүйеге қойсақ, |
(3) |
( A −λE )α =0 |
түріндегі векторлық алгебралық теңдеу аламыз. Бұл теңдеуді ашып жазсақ,
( a11 −λ )α1 + a12α2 +...+ a1nαn |
=0 |
|
|||||||||
a21α1 +( a22 −λ )α2 + + a2nαn |
=0 |
|
|
||||||||
|
(4) |
||||||||||
..................................................... |
|
||||||||||
|
|
||||||||||
a α |
1 |
+ a |
α |
2 |
+ ...+( a |
nn |
−λ )α |
n |
=0 |
|
|
n1 |
|
n2 |
|
|
|
|
|
||||
түріндегі сызықты теңдеулер жүйесін аламыз. Жүйенің нөлдік емес шешімі бар болуы үшін оның анықтауышы нөлге тең болуы керек:
немесе |
|
|
|
|
A −λE |
|
=0 |
|
|
|
(5) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
( a11 −λ ) a12 |
... |
a1n |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
a21 |
( a22 |
−λ ) ... |
a2n |
=0 |
|
|
(6) |
|||
|
|
|
.................................. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
an1 |
an2 |
|
...( ann −λ ) |
|
|
|
|
|||
Осы |
теңдеу |
берілген жүйенің |
сипаттаушы теңдеуі деп аталады. |
Оның |
түбірлері |
||||||||
A матрицасының меншікті сандары (мəндері), ал əрбір меншікті санға сəйкес α векторын |
|||||||||||||
A матрицасының меншікті векторы деп атайды. |
|
|
|
|
|||||||||
Меншікті |
сандардың түрлеріне |
|
байланысты фундаменталь |
|
матрица |
əртүрлі |
|||||||
болады.Сол жағдайларды қарастырайық. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
10. |
Айталық, меншікті сандар əртүрлі нақты сандар болсын: λ ,...,λ . Осындағы белгілі |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n |
|
|
бір λi |
меншікті санына сəйкес αi |
векторының координаттары (4) жүйеден табылады. Ол |
|||||||||||
үшін λ -ның орнына λi -ді қою керек. Егер xi = colon( x1i ,...,xni ), ал αi = colon(α1i ,...,αni ) деп алсақ, онда λi -ге сəйкес шешім
x ( t ) =α |
1i |
eλit ,..., x |
ni |
( t ) =α |
ni |
eλit |
(7) |
1i |
|
|
|
|
түрінде жазылады. Сондықтан, бұл жағдайда фундаменталь матрица былай жазылады:
x |
|
... x |
|
|
11 |
1n |
|
(8) |
|
Φ( t ) = ................ |
|
|||
x |
n1 |
... x |
|
|
|
nn |
|
||
Бұл матрицаның анықтауышы нөлге тең емес, өйткені оның əрбір бағанасы өзара тəуелсіз. Сондықтан, жалпы шешім
|
|
|
|
|
|
x( t ) = C α eλ1t +...+C α |
eλnt |
(9) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
n |
n |
|
|
түрінде жазылады немесе матрица түрінде |
|
|
|
(10) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x( t ) =Φ( t )C |
|
|
|
|
Мұндағы, C -бір бағаналы тұрақты матрица. |
|
|
|
|
||||||||
20. Айталық, |
λ = a +ib |
- |
сипаттаушы теңдеудің |
|
жəй түбірі болсын. Онда |
оның |
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
түйіндесі |
|
1 = a −ib |
саны да сол теңдеудің түбірі болады. Бұл жағдайда сəйкес шешім |
|
||||||||
λ |
|
|||||||||||
|
|
|
|
x1 ( t ) = ( γ 11 + iγ 12 |
)e ( a + ib )t |
(11) |
||||||
түрінде жазылады. Соңғы қатынастың нақты жəне жорамал бөліктерін ажыратайық: |
|
|||||||||||
|
|
|
x ( t ) =(γ |
11 |
+iγ |
12 |
)eat (cos bt +i sinbt ) = |
|
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
= eat (γ11 cos bt −γ12 sinbt ) +ieat (γ12 cos bt +γ11 sinbt )
Жүйенің коэффициенттері нақты болғандықтан, комплекс шешімнің нақты жəне жорамал бөліктері өз алдарына нақты шешімдер болып табылады. Сондықтан,
x |
( t ) = Re x ( t ) = eat (γ |
11 |
cos bt −γ |
12 |
sinbt ) |
|
11 |
1 |
|
|
(12) |
||
x |
( t ) = Im x ( t ) = eat (γ |
|
cos bt +γ |
|
sinbt ) |
|
12 |
11 |
|
||||
12 |
1 |
|
|
|
функциялары берілген жүйенің нақты шешімдері болады. Бұл шешімдер өзара сызықты тəуелсіз.Түйіндес a −ib түбірі жаңа тəуелсіз шешімдер тудырмайды. Демек, бір пар комплексті түбірге өзара тəуелсіз екі нақты шешім сəйкес келеді. Олар өзара сызықты тəуелсіз болғандықтан, фундаменталь шешімдер жүйесіне кіреді. Осы сияқты, барлық түбірлер үшін нақты шешімдерді құрып шығуға болады. Олардың сызықты комбинациясы жүйенің жалпы шешімін береді.
30. Сипаттаушы теңдеудің түбірлерінің кейбіреулері еселікті түбірлер болатын жағдайды қарастырайық.
Айталық, λ1 -саны k - еселікті түбір болсын. Бұл түбірге бір немесе бірнеше меншікті
векторлар сəйкес келуі мүмкін. Олардың саны жалпы алғанда k -дан аспайды. Сондықтан,
(2) формула бойынша анықталатын шешімдердің саны k -дан кем болуы мүмкін. Осы жетпей жатқан шешімдерді толықтыру үшін төмендегідей əдіс қолданылады.
Айталық, векторы (1) жүйенің шешімі болсын.
D = dtd - дифференциалдық оператор енгізу арқылы берілген жүйені координаттары бойынша ашып жазайық:
ai1x1 +...+ ain xn − Dxi =0,( i =1,...,n ) |
(13) |
|||||||||
Бұл сызықты жүйенің анықтауышы |
|
A − ED |
|
= M ( D ) . Ол D -операторы |
бойынша |
n |
||||
|
|
|||||||||
дəрежелі көпмүшелік. Егер |
D -ның орнына λ -ны қойсақ, ол сипаттаушы көпмүшелікке |
|||||||||
айналады. |
|
|
|
анықтауышының алгебралық толықтауышы Aij ( D ) - |
||||||
Құрылған (13) қатынасты |
|
A − ED |
|
|||||||
|
|
|||||||||
ға көбейтіп, i -индексі бойынша қосындыласақ, |
(14) |
|||||||||
|
|
M ( D )xi =0,( i =1,...,n ) |
||||||||
теңдеуін аламыз. Бұл xi бойынша n -ретті дифференциалдық теңдеу. Оның сипаттаушы |
||||||||||
көпмүшелігі (1) жүйенің сипаттаушы көпмүшелігіне тең. Сондықтан, (5) |
теңдеудің |
k - |
||||||||
еселікті λ1 түбіріне сəйкес келетін (1) жүйенің |
x( t ) шешімінің i -інші компоненті мына |
|||||||||
түрде жазылады: |
|
|
+ C 2 i t + ... + C ki t k −1 )e λ1 t |
|
||||||
|
xi ( t ) = ( C 1i |
|
||||||||
Мұнда Cki - тұрақты сандар. Сонымен, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
C |
+C |
t +...+C |
|
tk −1 |
|
|
|
||
|
11 |
|
21 |
|
k1 |
|
|
λ1t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(15) |
|
|
x( t ) = ................................. |
e |
|
|||||||
|
C |
+C |
2n |
t +...+C |
kn |
tk −1 |
|
|
|
|
|
1n |
|
|
|
|
|
|
|
||
Бұл шешімдегі |
Cij ( i =1,...,k; j =1,...,n ) |
тұрақты сандарының бəрі |
бірдей еркін бола |
|||||||
алмайды, өйткені |
x( t ) шешімінің компоненттері (13) қатынас арқылы өзара сызықты |
|||||||||
байланысқан. Бұл тұрақтылардың ішінде тəуелсіздерінің саны λ1 - түбірінің еселігіне тең, яғни k -ға тең. Осы еркін тұрақтыларды C1 ,...,Ck - деп белгілейік. (15) шешімді (1) жүйеге
қойып, алдын ала eλ1t - ға қысқартып, t -ның бірдей дəрежелерінің коэффициенттерін теңестірсек, k біртекті теңдеулердің сызықты жүйесін аламыз. Ондағы белгісіз Cij
тұрақтыларының саны k ×n . Оларды C1 ,...,Ck еркін тұрақтылары арқылы өрнектесек, |
онда |
||||
(15) шешімді былай жазуға болады: |
|
|
|
( t )]eλ1t |
|
x( t ) = [C |
p ( t ) +...+C |
k |
p |
(16) |
|
1 |
1 |
k |
|
|
|
Мұндағы, pi ( t ) - векторларының |
компоненттері t бойынша дəрежелері k −1 - |
ден |
|||
аспайтын көпмүшеліктер құрайды. |
|
|
|
|
|
Сонымен, сипаттаушы теңдеудің k еселікті λ1 түбіріне pi ( t )eλ1t түріндегі шешім сəйкес қойылды. Осы сияқты кез келген ks еселікті λs түбіріне де сəйкес шешім құрып
шығуға болады. Олардың жиыны берілген жүйенің фундаменталь шешімдер жүйесі болатынын көрсету үшін вронскианның t =0 нүктесінде нөлге айналмайтынын көрсетсе, жеткілікті (дəлірек, дəлелдеуді [5] оқу құралынан көруге болады).
4.2. Тұрақты коэффициентті біртексіз жүйені қарастырайық:
dx |
= Ax + f ( t ) |
(17) |
|
dt |
|
|
|
Мұнда x = colon( x1 ,...,xn ) , f ( t ) = colon( f1 ,..., fn ) , |
A =( aij ) - квадрат матрица. |
Оның сəйкес |
|
біртектісі: |
dx |
|
|
|
= Ax |
(18) |
|
|
dt |
|
|
жүйесінің жалпы шешімі элементар функциялар арқылы өрнектелетіні өткен пунктте көрсетілді. Жалпы жағдайда біртексіз жүйенің жалпы шешімі тұрақтыларды вариациялау арқылы оңай табылады.
Егер (17) жүйедегі вектор-функция квазикөпмүшелік түрінде берілсе, онда
жүйенің дербес шешімін анықталмаған коэффициенттер əдісін қолданып табуға болады. Табылған дербес шешімді біртекті жүйенің жалпы шешімімен қоссақ, берілген (17) жүйенің жалпы шешімін аламыз.
Айталық, біртексіз жүйе төмендегідей түрде берілсін:
dx = Ax + P ( t )eαt |
(19) |
|
dt |
m |
|
|
|
|
Мұндағы, Pm (t) - дəрежесі m -нен аспайтын көпмүшелікті вектор, яғни
m
Pm (t) = ∑ pktk , (20)
k =0
мұндағы pk - тұрақты векторлар.
Бұл жерде екі жағдай қарастырылады.
10. Резонанс емес жағдай: α саны A матрицасының меншікті саны емес. Бұл жағдайда дербес шешім
x( t ) = Q ( t )eαt |
(21) |
m |
|
түрінде ізделінеді. Мұнда Qm ( t ) - вектор:
m
Qm (t) = ∑qktk (22)
k =0
мұнда qk - белгісіз тұрақты вектор.
Осы өрнекті (19) теңдікке қойып, t -ның əртүрлі дəрежелерінің алдындағы коэффициенттерін теңестіреміз:
(αE − A )Q ( t ) = P ( t ) − dQm( t ) |
(23) |
|||
m |
m |
dt |
|
|
Осыдан |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(αE − A )qm = pm , |
|
|
|
|
|
|
|
|
(24) |
(αE − A )qm−1 = pm−1 −mqm , |
||||
.......................................... |
|
|
||
|
|
|||
Мұнда αE − A матрицасы ерекше емес. Сондықтан, |
(24) |
жүйеден сатылап барлық qm |
||
векторларын бірмəндес түрде анықтауға болады: |
|
|
|
|
qm =(αE − A )−1 pm |
|
|
(25) |
|
екінші теңдеуден qm−1 векторын, осылай барлық векторларды табамыз.
20. Резонанс жағдай: α саны A матрицасының меншікті саны. Бұл жағдайда дербес шешім
x( t ) = Q |
( t )eαt |
(26) |
m+1 |
|
|
түрінде ізделінеді. Мұнда Qm+1( t ) - вектор-функция, оның əрбір компоненті дəрежесі
m +1-ден аспайтын көпмүшелік.
Егер α саны A матрицасының еселікті меншікті саны болса, онда Q( t ) векторының
компоненттерінің t бойынша дəрежелері сəйкес еселік көрсеткішіне өседі (толық дəлелдеуін [4] оқу құралынан көруге болады).
12-ЛЕКЦИЯ. Автономды жүйелердің қасиеттері.
Лекция мақсаты: Автономды жүйелердің шешімдерінің қасиеттерімен таныстыру. Траектория түрлерімен таныстыру.
Негізгі сөздер: автономды жүйе, траектория, фазалық кеңістік, тыныштық нүктесі.
Қысқаша мазмұны Автономды жүйелердің қасиеттері
1.1. Егер дифференциалдық теңдеулер жүйесіне тəуелсіз айнымалы айқын түрде енбесе, онда оны автономды жүйе деп атайды. Оның қалыпты түрі былай жазылады:
dxi = f |
(x , ..., x |
n |
), (i =1, ..., n) |
|
||
dt |
i |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ал векторлық түрде қысқаша былай жазылады: |
|
|
|
|||
|
dx |
= f (x) |
(1) |
|||
|
dt |
|
|
|
|
|
Мұндағы, f (x) векторы кейбір D Rnx облысында үздіксіз жəне осы облыстың шектелген
тұйық бөлігінде Липшиц шартын қанағаттандыратын функция деп есептелінеді.
Жалпы, кез келген автономды емес қалыпты жүйені қосымша белгілеу енгізу арқылы автономды жүйеге келтіруге болады.
Мысалы,
dxdt = f (t, x)
жүйесі үшін t = xn+1 белгілеуін енгізсек, онда
dxdt = f (xn+1, x), dxdtn+1 =1
түріндегі автономды жүйе аламыз. Бұл жүйенің белгісіз функциялар саны бірге өсті. Жалпы, жүйенің өлшемінің өсуі ұтымсыз жағдай болып есептелінеді.
Автономды жүйелерді динамикалық, консервативтік жүйелер деп те атайды. Мұндай жүйелерді зерттеудің өзіндік ерекшеліктері бар.
Автономды жүйенің кез келген x =ϕ(t) шешімі Rnx -кеңістігінде кейбір қисықты айқындайды. Бұл қисықты {ϕ(t)}, t I , нүктелер жиыны деп қарастыруға болады. Осы қисықты берілген жүйенің фазалық траекториясы (қысқаша, траектория) деп атайды. Ал осы траекториялар орналасқан Rnx кеңістігін автономды жүйенің фазалық кеңістігі деп атайды. Фазалық кеңістік n = 2 болғанда фазалық жазықтыққа айналады.
Автономды (1) жүйенің |
x =ϕ(t) шешіміне сəйкес интегралдық қисық n +1 - өлшемді |
Rtn,+x1 кеңістігінде жатады. |
Ол қисық {ϕ(t), t}, t I нүктелердің жиыны. Сондықтан, (1) |
жүйенің x =ϕ(t) шешімінің траекториясы сол шешімге сəйкес интегралдық қисықтың Rnx
кеңістігіне түсірілген көлеңі (проекциясы) болып табылады.
Əрбір дифференциалдық теңдеу берілген облыста векторлар өрісін айқындайды. Осы өрістің кейбір нүктелерінде f (x) векторы нөлге тең болса, ондай нүктелерді ерекше
нүктелер деп, ал нөлге тең болмайтын нүктелерді регулярлық нүктелер деп атайды.