4. Структурные средние величины

Наряду с рассмотренными средними степенными величинами в качестве статистических характеристик вариационных рядов распределения рассчитывают структурные средние – моду и медиану.

В отличие от степенных средних, которые в значительной степени являются абстрактной характеристикой совокупности, мода и медиана выступают как конкретные величины, совпадающие с вполне определенными вариантами совокупности. Это делает их незаменимыми при решении ряда практических задач.

Мода - значение признака, наиболее часто встречающееся в исследуемой совокупности (т.е. варианта с наибольшей частотой).

Медиана - значение признака, которое лежит в середине ранжированного ряда и делит этот ряд на две равные по численности части.

Ранжированный ряд – это ряд, расположенный в порядке возрастания или убывания значения признака.

Определение моды и медианы по не сгруппированнным данным осуществляется несложно.

Например, предположим, что одинаковый товар в различных магазинах города продается по различным ценам, рублей:

93, 75, 84, 93, 71, 75, 89, 82, 93, 89,82, 76

Чаще всего встречается цена 93 руб. Следовательно, она является модальной.

Для определения медианы необходимо провести ранжирование (упорядочивание):

71, 75, 75, 76, 82, 82, 84, 89,89, 93,93, 93

Центральная цифра в данном ряду и будет медианой. Если ранжированный ряд, как в нашем случае, включает чётное число единиц, то медиана определяется как средняя из двух центральных значений - 82 и 84 - средняя – 83- медиана.

Что касается сгруппированных данных, то для дискретных вариационных рядов модой будет значение варианта с наибольшей частотой. Вычислениемедианы в дискретных рядах распределения имеет специфику.

Мода выбирается по максимальному значению частоты.

Для нахождения медианы (Me) определяют медианный интервал, который характеризуется тем, что его накопленная частота равна или превышает половину суммы всех частот ряда (.

В интервальном ряду значения Mo и Me вычисляются более сложным путем.

Мода определяется следующим образом:

1. По максимальному значению частоты определяется интервал, в котором находится значение моды. Он называется модальным.

2. Внутри модального интервала значение моды вычисляется по формуле:

,

где  Х_Mo – нижняя граница модального интервала;

iMo – величина модального интервала;

f_Mo – частота модального интервала;

f_Mo-1 – частота интервала, предшествующего модальному;

f_Mo+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Для расчета медианы в интервальных рядах используется следующий подход:

1. По накопленным частотам находится медианный интервал, который характеризуется тем, что его накопленная частота равна или превышает половину суммы всех частот ряда (.

2. Внутри медианного интервала значение Me определяется по формуле:

,

где X_Me – нижняя граница медианного интервала;

iMe – величина медианного интервала;

∑fi – сумма частот;

– сумма накопленных частот, предшествующих медианному интервалу;

f_Me – частота медианного интервала.

Моду и медиану в интервальном ряду можно определить графически. Мода определяется по гистограмме распределения. Для этого выбирается самый высокий прямоугольник, который является в данном случае модальным. Затем правую вершину модального прямоугольника соединяем с правым верхним углом предыдущего прямоугольника. А левую вершину модального прямоугольника - с левым верхним углом последующего прямоугольника. Далее из точки их пересечения опускают перпендикуляр на ось абсцисс. Абсцисса точки пересечения этих прямых и будет модой распределения.