15. Средняя арифметическая простая и взвешенная. Методика расчёта и условия применения средней арифметической.

Под средней арифметической понимается та­кое значение признака, которое имела бы каждая единица совокупности, если бы общий итог всех значений признака был распределен равномерно между всеми единицами совокупности. В общем случае ее вычисление сводится к суммированию всех значений варьирующегося признака и деле­нию полученной суммы на общее количество еди­ниц совокупности. Следует применить формулу простой средней арифметической:

Наряду с простой средней арифметической изу­чают среднюю арифметическую взвешенную, ко­торую используют, когда значения вариантов встречаются по несколько раз. Формула средней арифметической взвешенной имеет вид:

где х_i — варианты осредняемого признака;

f_i — частота, которая показывает, сколько раз встречается i-oe значение в совокупности.

Средняя арифметическая применяется в тех случаях, когда общий объем варьирующегося при­знака для всей совокупности образуется как сум­ма значений признаков у отдельных ее единиц.

Часто при проведении статистических исследо­ваний приходится вычислять средние величины по данным вариационных рядов. Если ряд является дискретным, то для вычисления средней нужно значения вариантов умножить на соответствую­щие частоты и сумму этих произведений разде­лить на сумму частот.

Для интервального вариа­ционного ряда для каждой группы находится среднее значение интервала как полусуммы его верхней и нижней границ. Эти средние значения интервалов и будут новыми значениями вариан­тов, подлежащих усреднению.

Для моментного ряда с равными интервалами между датами (на­пример, когда известны уровни на начало каждого месяца или квартала, года) расчет среднего уров­ня ряда производится по формуле средней хронологической (модифицированная средняя арифме­тическая):

 Определение средней арифметической в ряде случаев сопряжено с большими затратами време­ни и труда. Однако процедуру расчета средней можно упростить, если воспользоваться некото­рыми ее свойствами:

1) средняя постоянной величины равна ей самой:

А=А

2) произведение средней на сумму частот равно сумме произведений вариантов на частоты;

3) изменение каждого варианта на одну и ту же величину изменяет среднюю на ту же величину;

4) изменение каждого варианта в одно и то же чис­ло раз изменяет среднюю во столько же раз;

5) изменение каждого из весов в одно и то же количество раз не изменяет величины средней;

6) алгебраическая сумма отклонений всех ва­риантов от средней равна 0;

7) средняя суммы равна сумме средник.

1. Средняя занимает серединное положение в вариационном ряду. В строго симметричном ряду: М = М₀=М_е.

2. Средняя является обобщающей величиной и за средней не видны случайные колебания, различия в индивидуальных данных, она вскрывает то типичное, что характерно для всей совокуп­ности. К средней обращаются всякий раз, когда надо исклю­чить случайное влияние от­дельных факторов, выявить об­щие черты, существующие за­кономерности, получить полное и глубокое представление о наиболее общих и характерных особенностях всей группы.

3. Сумма отклоне­ний всех вариант от средней равна нулю: S (V-M)= 0. Это происходит потому, что средняя величина превышает размеры одних вариант и мень­ше размеров других вариант.

Иначе говоря, истинное отклонение вариант от истинной средней(d=v-М) может быть положительной и отрицательной величи­ной, поэтому сумма S всех "+"d и "—"d равна нулю.

Данное свойство средней используется при проверке правильности расчетов М. Если сумма отклонений вариант от средней равна нулю, то можно сделать вывод, что средняя вычислена правильно. На этом свойстве основан способ моментов для определения М. Ведь если условная средняя А будет равна истинной М, то сумма отклонений вариант от условной средней будет равна нулю.

Роль средних величин в биологии чрезвычайно велика. С одной стороны их используют для характеристики явлений в целом, с другой - они необходимы для оценки отдельных величин. При сравнении отдельных величин со средними получают ценные харак­теристики для каждой из них. Использование средних величин требует строгого соблюдения принципа однородности совокупности. Нарушение этого принципа искажает представление о реальных процессах.

Вычисление средних из неоднородной в социально-экономическом отношении совокупности делает их фик­тивными, искаженными. Следовательно, для того чтобы правильно использовать средние величины, надо быть уверенным в том, что они характеризуют однородные статистические совокупности.