Эконометрика (лабораторные)

Стьюдента), определяемым по таблице по заданному уровню значимости

и числу степеней свободы , получаем, что:

если t têð , то H 0 принимается, т.е. нет линейной корреляционной

связи между переменными;

если		t		têð , то	H 0 отвергается и принимается альтернативная
гипотеза	H1 .			Таким	образом, выборочный коэффициент корреляции

слишком далеко отклонился от нулевого значения, т.е. произошло событие, которое было бы маловероятным в случае равенства нулю коэффициента корреляции для генеральной совокупности. Имеется

линейная корреляционная связь между переменными X и											Y .
Задача 1.1. Имеются данные о среднедушевых расходах на питание															Y
и личном		доходе		X	жителей некоторой				страны за		11 лет		(данные
условные):
Год	1995		1996	1997		1998	1999	2000	2001	2002	2003		2004		2005
X	2		6	10		14	18	22	26	30	34		38		42
Y	9		10	12		19	20	23	27	33	36		42		50

Требуется:

а) рассчитать ковариацию и линейный коэффициент парной корреляции;

б) провести испытание гипотезы о линейности связи на основе оценки r коэффициента корреляции генеральной совокупности при уровне значимости 0,05.

Решение.

Заполним рабочий лист, как показано на рис. 1.1.

Рис. 1.1.

11

Вячейках D2, E2, F2 введем: x2 , xy, y2 . Чтобы набрать, например, x2 ,

вD2 нужно ввести x , в меню ГЛАВНАЯ/Формат выбрать пункт Формат ячеек/ШРИФТ, поставить галочку рядом со словосочетанием надстрочный, нажать ОК, после чего ввести 2. Аналогично набирается xy

вЕ2 и y2 в F2.

Далее следует ввести формулы согласно таблице:

Ячейка	Формула
D3	=B3*B3
E3	=B3*C3
F3	=C3*C3

Внимание! Сначала вводится знак «=». Затем, чтобы в формуле ввести, например, B3, достаточно щелкнуть по этой ячейке левой кнопкой мыши, после чего продолжить набор: ввести знак «*», затем снова щелкнуть по ячейке B3, нажать клавишу Enter. В ячейке появится число 4. Аналогично поступить и в двух других случаях.

Пользуясь автозаполнением, размножим формулу из ячейки D3 на диапазон D3–D13. Для этого нужно выделить ячейку D3, щелкнув по ней левой кнопкой мыши, затем поместить курсор в нижний правый угол ячейки, добиваясь получения значка в виде крестика. Добившись его появления, нужно нажать левую клавишу мыши, и, удерживая ее, протянуть выделенный диапазон вниз до ячейки D13, отпустить кнопку. Во всех клетках этого столбца должны появиться значения, равные квадрату значений x в столбце B.

Аналогично можно выделить диапазон ячеек E3:F3 (для этого необходимо щелкнуть левой клавишей мыши по ячейке E3 и, не отпуская ее, протянуть до ячейки F3, и отпустить). Далее, поместив курсор в правом нижнем углу выделенного диапазона, получить значок в виде крестика, и размножить формулы, как было описано выше, на диапазон

E3:F13.

В ячейке A14 введем «Итого»; объединим ячейки А15 и А16, для чего выделим их и щелкнем на Панели инструментов ГЛАВНАЯ/ Формат/

Формат ячеек/Выравнивание ячеек/Объединение ячеек. Введем в объединенную ячейку «Среднее». Чтобы в ячейке B14 получить сумму значений, находящихся в ячейках B3:B13, нужно выделить ячейку B14 и

щелкнуть по значку на Панели инструментов. При этом программа

12

выделяет предполагаемый диапазон ячеек, для которых нужно найти сумму. Если выделенный диапазон вас устраивает, то вы можете сразу нажать Enter либо выделить самостоятельно нужный диапазон (в нашем случае B3:B13) и нажать Enter. Чтобы в ячейке B15 получить среднее значение фактора X за 11 лет, нужно сумму значений за все годы разделить на количество лет, т.е. в ячейке B15 необходимо ввести формулу «=B14/11» и нажать Enter.

Далее следует выделить диапазон ячеек B14:B15 и, пользуясь авто– заполнением, размножить его на диапазон B14:F15.

Чтобы в ячейке B16 ввести обозначение x , нужно воспользоваться Редактором формул. Для этого щелкните по ячейке B16 и выполните команды меню Вставка Текст Объект Microsoft Equation 3.0 ОК. На месте, где находился курсор, появится поле для ввода формул-комментариев, а чуть в стороне – панель Microsoft Equation 3.0.

Просмотрите возможности Редактора формул и попробуйте набрать x . Если вы не смогли сделать этого сами, то помогаем: выбрать в раскрывающемся меню

значок, ввести х.

Чтобы выйти из Редактора формул, нужно щелкнуть мышкой в любом другом месте экрана.

Однако в Microsoft Excel формула оказывается заключенной в прямоугольник. Чтобы это изменить, нужно одним щелчком правой кнопки мыши выделить формулу, выбрать команду Объект в меню Формат объекта, выбрать закладку Цвета и линии, рядом со словом цвет: в пункте Линия выбрать тип линии Нет линий, нажать ОК, как показано на рис. 1.2.

Внимание! Если формула введена неверно, можно ее отредактировать. Для этого щелкните по ней дважды левой кнопкой мыши и редактируйте. Однако необходимо иметь в виду, что после выхода из поля ввода Excel

13

может самопроизвольно изменить размеры формулы. Поэтому иногда лучше выделить формулу и удалить ее (с помощью Delete), а потом ввести заново. Если формула находится не в нужном месте, ее можно легко перетащить (она не прикреплена к конкретной ячейке). Для этого ее сначала нужно, щелкнув по ней, выделить, а потом, нажав и не отпуская левую кнопку мыши, перетащить в нужное место, кнопку отпустить.

Аналогично, пользуясь Редактором формул, в ячейке С16 ввести y , в

ячейке D16 – x2 , в ячейке E16 –			xy , в ячейке F16 – y 2 .
В конечном итоге получаем			расчетную таблицу, представленную на
рис.1.3.

Рис. 1.2.

14

Рис..1.3

Пользуясь Редактором формул, введите формулы-комментарии, как показано ниже:

Для выполнения расчета введите формулы согласно таблице

Ячейка	Формула
D20	=D15-B15*B15
D22	=F15-C15*C15
D25	=E15-B15*С15
D28	=D25/КОРЕНЬ(D20*D22)

15

Внимание! Слово «КОРЕНЬ» в формуле можно набрать с клавиатуры, однако, во избежание ошибок, лучше нажать на панели инструментов кнопку (или выбрать команду меню Формулы), затем выбрать категорию Математические, функцию КОРЕНЬ, нажать ОК, в появившемся поле для ввода аргумента функции ввести D20*D22 и нажать

ОК.

Коэффициент корреляции в ячейке D28 равен 0,984806. Поскольку он по модулю близок к 1, это означает, что между переменными X и Y имеется сильная линейная зависимость. Однако необходимо проверить значимость этого коэффициента. Для этого выдвигаем основную гипотезу H0 : 0 (коэффициент корреляции незначимо отличается от 0), и

конкурирующую гипотезу H1 : 0 (коэффициент корреляции значимо

отличается от 0). Чтобы принять или отвергнуть гипотезу при уровне значимости 0,05, нужно рассчитать наблюдаемое значение t–критерия и сравнить с критическим значением.

На месте ячейки B31 введем формулу-комментарий для вычисления

наблюдаемого значения критерия:	t			r		n 2			. Для того чтобы его
		набл
					1 r 2

вычислить, в ячейке D32 введем формулу

«=D28*КОРЕНЬ(11–2)/КОРЕНЬ(1–D28*D28)».

В ячейке Е32 введем tкр . Щелкнув по ячейке F32, найдем в ней

значение функции СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х, взяв в качестве аргументов этой функции уровень значимости (вероятность) 0,05 и число степеней

свободы n 2 11 2 9 . Получим						tкр =2,26.
Поскольку		tнабл		tкр ,	то гипотезу	H 0 о равенстве нулю истинного
значения коэффициента					корреляции	отвергаем в пользу H1 , т.е.

статистически значим, и между переменными имеется линейная зависимость. Начиная от ячейки А34, запишем комментарий:

« tнабл tкр , то коэффициент корреляции статистически значим».

Тот способ, который был использован выше, демонстрирует, какие формулы используются для нахождения коэффициента корреляции. Однако в Excel имеются специальные инструменты, позволяющие легко получить величины ковариации и корреляции.

Это можно сделать двумя способами:

1.С помощью инструментов Корреляция и Ковариация из Пакета анализа.

16

Щелкните, например, по ячейке А37, затем в меню ДАННЫЕ выберите команду Анализ данных, из предложенных инструментов выберите Корреляция, нажмите ОК. Появится окно, в котором имеется поле для введения Входного интервала. Щелкните по этому полю и выделите диапазон ячеек B2:C13, поставьте галочку в пункте Метки в первой строке, из параметров вывода выберите Выходной интервал,

щелкните по полю ввода Выходного интервала, затем по ячейке А37, нажмите ОК. Сравните число в ячейке B39 со значением коэффициента корреляции, полученным ранее.

Алгоритм действий инструмента Ковариация:

1)Формируем таблицу исходных данных (рис. 1.1);

2)ДАННЫЕ Анализ данных Ковариация ОК;

3)Входной интервал В2:С13 Метки в первой строке;

4)Выходной интервал A42;

5)ОК.

Алгоритм действий инструмента Корреляция:

1)Формируем таблицу исходных данных (рис. 1.1);

2)ДАННЫЕ Анализ данных Корреляция ОК;

3)Входной интервал В2:С13 Метки в первой строке;

4)Выходной интервал A48;

5)ОК.

Внимание! Набор средств анализа данных, называемый Пакет анализа, предназначен для решения сложных статистических и инженерных задач. Для проведения анализа данных с помощью этих инструментов следует указать входные данные и выбрать параметры; анализ будет проведен с помощью подходящей статистической или инженерной макрофункции, а результат будет помещен в выходной диапазон.

Чтобы вывести список доступных инструментов анализа, необходимо выполнить следующий алгоритм действий: ДАННЫЕ Анализ данных. Если команда Анализ данных отсутствует, то необходимо выполнить действия: Разработчик Надстройки Пакет анализа(поставить галочку) ОК.

В окне диалога Анализ данных отображается список следующих инструментов:

1)Генерация случайных чисел.

2)Выборка.

3)Гистограмма.

17

4)Описательная статистика.

5)Скользящее среднее.

6)Экспоненциальное сглаживание.

7)Ковариационный анализ и др.

Вычисление выборочных числовых характеристик можно

осуществить и с помощью опции Описательная статистика из Пакета анализа.

Внимание! Подробное описание каждого инструмента из Пакета анализа вы найдете в справке, вызываемой клавишей F1, введя для поиска строку О средствах статистического анализа данных.

2. С использованием функции ЛИНЕЙН опции Мастер функций. Функция ЛИНЕЙН позволяет определить параметры линейной регрессии yˆ b0 b1 x . Аргументами функции являются: Известные_значения_y,

Известные_значения_х, Константа (логическое значение: 1 – при наличии свободного члена, 0 – при его отсутствии. Логическое значение

показывает, выводить	дополнительную информацию по регрессионному
анализу (соответствует 1) или нет (0)), Статистика.
Выполняйте действия в следующем порядке: щелкните по ячейке E37.
Далее выполняйте	команды меню: Формулы fx Вставить

функцию Статистические ЛИНЕЙН ОК. В соответствующие поля введите аргументы как показано на рис. 1.4:

Рис.1.4.

Нажмите ОК.

В ячейке Е37 появится элемент итоговой таблицы. Чтобы вывести всю таблицу, нужно выделить диапазон ячеек E37:F41. Затем следует нажать клавишу F2, после этого одновременно клавиши CTRL + SHIFT +ENTER . При этом в выделенном диапазоне выйдет вся регрессионная статистика в следующем порядке (слева направо):

18

Значение коэффициента b1	Значение коэффициента		b0
Стандартное значение ошибки	Стандартное значение ошибки
для b1	для b0
Коэффициент детерминации R2	Стандартная	ошибка	для
	оценки Y
F-статистика	Число степеней свободы
Регрессионная сумма квадратов	Остаточная сумма квадратов

Поскольку квадрат коэффициента корреляции для линейной модели регрессии равен коэффициенту детерминации R2, то чтобы найти модуль коэффициента корреляции, например, в ячейке E42 введите r , а в ячейке F42 «=КОРЕНЬ (Е39)». Знак же коэффициента корреляции будет совпадать со знаком коэффициента b1 .

В конце работы сохраните созданный файл под названием лаб1. Для этого выполните команду меню Файл Сохранить как, в диалоговом окне выберите нужную папку, в поле Имя файла введите «лаб1», нажмите

Сохранить.

Внимание! Чтобы облегчить ввод формул, можно воспользоваться функциями Excel. Функции – это встроенные в Excel формулы. Excel содержит множество формул. Они сгруппированы по различным типам: логические, математические, инженерные, статистические и др. Полный перечень функций можно просмотреть, нажав кнопку на Панели инструментов. Для активизации той или иной формулы следует выполнить команду меню Формулы fx Вставить функцию. В появившемся окне Мастер функций слева содержится перечень типов функций. После выбора типа справа будет помещен список самих функций. Выбор функции осуществляется щелчком клавиши мыши на соответствующем названии.

Вопросы для самопроверки

1.Что такое эконометрика?

2.Перечислите этапы построения эконометрической модели.

3.По каким признакам можно классифицировать эконометрические модели?

4.Что показывает коэффициент корреляции и каковы его основные свойства?

5.Почему при выборочном коэффициенте корреляции, отличном от нуля, нельзя говорить о наличии корреляции?

19

6. Какие гипотезы проверяются с помощью критерия Стьюдента?

Лабораторная работа № 2

Темы: 1. Модель парной линейной регрессии. Метод наименьших квадратов. Анализ вариации зависимой переменной.

2. Остаточная дисперсия и стандартные ошибки коэффициентов регрессии.

3. Оценка значимости коэффициентов регрессии. Доверительные оценки.

После проведения корреляционного анализа, с помощью которого выявляется наличие стохастически значимых связей между переменными и оценивается степень их тесноты, переходят к математическому описанию конкретного вида зависимостей с помощью регрессионного анализа (регрессионный анализ – статистический метод, изучающий зависимость между переменными). С этой целью подбирают вид функции,

связывающий результативный показатель				Y	и аргумент X , вычисляют
оценки	неизвестных значений		параметров		уравнения	регрессии	и
анализируют точность полученного уравнения.
Рассмотрим		корреляционную модель			Mx (Y) f (x) , где		f (x)
называется функцией регрессии			Y по (на) X		(или просто регрессией Y по
(на) X ), а ее график – линией регрессии.
В	настоящее	время под	регрессией	понимается		функциональная

зависимость между объясняющими переменными и условным математическим ожиданием зависимой переменной. С учетом (1.1) связь между зависимой переменной Y и объясняющей переменной X выражается соотношением Y M x (Y) , называемым регрессионной

моделью (уравнением).

Наиболее часто для описания стохастической связи признаков используется линейное уравнение регрессии. Внимание к линейной форме связи объясняется четкой экономической интерпретацией параметров линейного уравнения регрессии, ограниченной вариацией переменных и тем, что в большинстве случаев нелинейную форму связи для выполнения расчетов преобразуют в линейную форму.

Рассмотрим классическую модель простой линейной регрессии Y

по (на) X , заданную уравнением

yi 0 1 xi i .

20