Эконометрика (лабораторные)

осмыслить закономерности, лежащие в основе больших объемов данных. Один взгляд на диаграмму иной раз дает больше, чем скрупулезное изучение длинных колонок цифр.

Табличный редактор Excel позволяет строить графики различных видов, например:

график линии регрессии в системе координат хОу;

доверительные границы для среднего отклика в виде двух пунктирных линий, ближайших к линии регрессии. Область между этими линиями обычно называется доверительной трубкой. Пунктирные линии, более удаленные от линии регрессии, очерчивают доверительную границу для прогноза значений новых наблюдений;

график предсказанных значений Y в зависимости от наблюдаемых значений X. Эта процедура полезна для выявления случаев, в которых дисперсия зависимых переменных не постоянна. Предсказанные значения

переменной Y вычисляются по формуле yˆi b0 b1 xi для значений аргументов X, не входящих в область определения исходной выборки;

график остатков, график остатков в зависимости от предсказаний и график остатков в зависимости от номера наблюдения. Они полезны для представления о том, насколько подобранная модель соответствует исходным данным и насколько выполняются условия применения метода наименьших квадратов.

Диаграмму можно расположить рядом с таблицей или разместить ее на отдельном рабочем листе.

Задача 3.1. Известны показатели среднедушевых расходов на питание

– Y (усл. ед.) и личного дохода –						X (усл. ед.) граждан некоторой страны
за 8 лет:
	Год	1998	1999	2000		2001	2002	2003	2004	2005
	X	7	10	13		16	19	22	25	28
	Y	5	6	8		15	17	20	22	30

Построить графики линейных зависимостей (линейный тренд): а) расходов на питание и личного дохода; б) расходов на питание и времени.

Решение.

а) Загрузив Excel, на новом листе введите данные, как показано ниже:

41

Внимание! Попробуйте воспользоваться возможностями Excel, когда будете набирать значения в столбце «Год». В ячейке А3 введите 1998, в ячейке А4 – 1999. Далее проделайте следующее: выделите диапазон ячеек А3:А4, поместите курсор в нижний правый угол этого диапазона, добившись получения значка в виде крестика, как при размножении формулы, затем нажмите левую кнопку мыши, и, удерживая ее, протяните крестик вниз до ячейки А10, затем отпустите кнопку. Все остальные значения появятся автоматически. Программа Excel, ориентируясь на первое значение (1998) и на шаг между значениями (1999–1998=1), автоматически заполняет необходимый диапазон, прибавляя к предыдущему значению шаг, равный 1. Шаг может быть любым. Таким образом, программа как бы автоматически находит нужные члены арифметической прогрессии с заданным начальным членом и разностью. Закрепите полученный навык, когда будете заполнять столбец «t».

Для построения графика зависимости (в нашем случае линейной), нужно воспользоваться инструментом Мастер диаграмм, который является одним из наиболее мощных средств программы Excel.

Для создания диаграммы средствами Мастера диаграмм необходимо выделить данные, которые будут отображены на диаграмме (это необязательная операция, однако она позволит сэкономить время при работе Мастером диаграмм). Сюда следует включить как числовые данные, так и подписи к рисункам. Exсel автоматически распознает подписи и использует их при построении диаграммы.

Выделите ячейки В2:С10. Затем активизируйте Мастер диаграмм следующим способом:

выполните команду меню ВСТАВКА Диаграммы;

выберете на вкладке Вставить точечную (X,Y) или пузырьковую

диаграмму.

После вызова Мастера диаграмм открывается окно, в котором строится график.

Шаг 1. Выбор типа и варианта типа диаграммы.

42

Выберите в окне тип Точечная, чтобы ось Х отражала фактические данные и перейдем ко второму шагу.

Шаг 2. Исходные данные для диаграммы.

Справа от диаграммы находятся три контекстных меню. Меню “+” – Элементы диаграммы, содержит восемь категорий: Оси, Название осей, Название диаграммы, Подписи данных, Предел погрешностей, Сетка, Легенда, Линия тренда. Меню СТИЛЬ ЦВЕТ и меню ЗНАЧЕНИЯ ИМЕНА.

В меню “+” ставим “галочки” около: Оси, Название осей, Название диаграммы, Сетка, Легенда, Линия тренда. В категории Линия тренда – разделы: Линейный, Экспоненциальный, Линейный прогноз, Скользящее среднее и Дополнительные параметры. Выбираем ЛИНЕЙНЫЙ. В разделе Дополнительные параметры отмечаем “галочкой” - показывать уравнение на диаграмме и поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации (R^2) и отметить в ПАРАМЕТРЫ ЛИНИИ ТРЕНДА –Линейная.

Шаг 3. Параметры диаграммы.

Название диаграммы. В поле Название диаграммы введите

«Зависимость расходов на питание от личного дохода».

Название осей. В поле название осей «Основная горизонтальная» введите «Доход, х», в поле «Основная вертикальная» введите «Расходы на питание, у».

Оси. Здесь можно выбрать, будет ли показана оцифровка осей диаграмм.

Сетка. На этой вкладке предложены варианты показа сетки диаграммы, а именно – показывать для осей X и Y основные или промежуточные линии сетки или нет.

Легенда. Здесь можно выбрать, показывать или нет легенду и ее размещение.

Подписи данных. Здесь необходимо указывать, отображать или нет подписи значений на диаграмме.

Шаг 4. Размещение диаграммы.

Имеется возможность Поместить диаграмму на Листе: отдельном

(создается новый Лист) или имеющемся, т.е. на рабочем Листе с таблицей. Поскольку нас устраивает вариант на листе имеющемся, то полученный график можно переместить в любое место этого листа с помощью левой кнопки мышки (нажмите на поле диаграммы левой кнопкой мышки и не отпуская ее совершайте перемещение).

43

Внимание! Не пренебрегайте заполнением названия таблицы, подписями осей, легенд. Все это делает диаграмму более понятной и является «хорошим тоном» при построении диаграмм.

Помните:

Если при построении графика порядковые номера годов оказались расположенными между метками делений, то для устранения следует воспользоваться контекстным меню для оси категорий. Для этого выберите пункт Формат оси и снимите флажок Пересечение с осью Y

(значений) между категориями. График примет привычный вид.

Возможно, диаграмма появилась не в том месте, в котором вы бы желали. Ее легко перетащить на нужное место. Для этого выделите ее, щелкнув по ней левой клавишей мыши, затем, поместив курсор на диаграмму, нажмите левую клавишу, и, не отпуская ее, перемещайте выделенный штриховой линией диапазон на нужное место. Когда вы отпустите кнопку мыши, диаграмма переместится.

Для форматирования диаграмм существуют различные опции. Удобней всего выделить щелчком мыши необходимый элемент и правой кнопкой мыши вызвать контекстное меню. Так, щелчком на общем поле диаграммы выводится меню, в котором, выбрав формат области построения, можно задать необходимый тон заливки. Щелчком на области построения диаграммы правой кнопкой вызывается меню, выводится формат области построения, в котором можно убрать фон заливки или создать необходимый. После щелчка на графике функции тот выделяется с появлением маркеров, и, после нажатия правой кнопки мыши, вызывается

44

меню, в котором, выбирая формат рядов данных, можно задать толщину линии, тип маркеров или цвет. Аналогично форматируются оси.

Для получения четкой диаграммы следует воспользоваться пунктом меню Вид (Масштаб»).

Excel представляет дополнительные возможности при работе с диаграммами. Во многих случаях при решении практических задач пытаются по экспериментальным данным восстановить эмпирическую формулу (уравнение) для поиска решения, моделирования, оценки решений, прогнозов. Процесс подбора эмпирической формулы для опытной зависимости называется аппроксимацией (сглаживанием). На основе данных строится график, к нему подбирается линия тренда, т.е. аппроксимирующая функция, которая с максимальной степенью близости приближается к опытной зависимости. Excel представляет 5 видов аппроксимирующих функций, представленные в таблице (для всех пяти функций используется аппроксимация по методу наименьших квадратов):

Типы линий тренда и их математические уравнения

	Тип зависимости			Уравнение
	Линейная			yˆ b0 b1 X
	Полиномиальная		yˆ b0	b1 X1 b2 X 2	b6 X6
	Логарифмическая			yˆ b0 ln X b1
	Экспоненциальная			yˆ b0 eb1 X
	Степенная			yˆ b0 X b1
Степень близости		подбираемой		функции	для линеаризованного

уравнения оценивается коэффициентом детерминации R2. Отметим, что подбор формул с использованием линии тренда позволяет установить как вид эмпирической формулы, так и определить численные значения неизвестных параметров.

В разделе Название аппроксимирующей (сглаженной) кривой

установите переключатель Автоматическое или Другое, после чего введите название кривой. Оно появится в Легенде диаграммы.

В случае необходимости можно установить и остальные параметры: пересечение с осью Y, отображение на диаграмме уравнения регрессии, величину достоверности аппроксимации и др.

Щелкните по кнопке ОК для завершения процесса создания линии тренда.

45

В правильности полученного уравнения регрессии можно убедиться, например, воспользовавшись функцией ЛИНЕЙН, как было описано выше:

Для подтверждения правильности выбранной функции можно поступить и следующим образом: спрогнозировать расходы на питание на несколько периодов вперед. Для этого щелкнув по вкладке Параметры в поле Прогноз: вперед на: установите определенное значение, например, 10 (или щелкните правой кнопкой мыши по линии тренда – измените формат, после этого в поле Прогноз: вперед на: установите значение 10). После установки прогноза вы увидите изменение кривой графика на 10 периодов наблюдения вперед. Чтобы вернуться к состоянию, представленному на первоначальном рисунке, нажмите кнопку Отменить на Панели инструментов. (Попробуйте изменить формат линии тренда – установите полиномиальную линию тренда полиномом 2-й степени!)

Создайте шаблон для вывода уравнения регрессии:

В ячейки В38 и D38 введите формулы «=С32» и «=В32» соответственно для вывода коэффициентов регрессии.

Сравните уравнение регрессии и величину коэффициента детерминации, полученные с помощью линейного тренда и функции ЛИНЕЙН. Очевидно, результаты совпадают.

б) Описанным выше способом постройте диаграмму с линейным трендом для зависимости расходов на питание Y от времени t. В ячейках J32:K36 выведите матрицу функции ЛИНЕЙН. В ячейках I37:M38 создайте шаблон для вывода уравнения регрессии, как в предыдущем случае (не забудьте поменять переменную x на t), а в ячейках J38 и L38

получите значения коэффициентов регрессии. Результаты должны выглядеть, как на рис. 3.1:

46

Рис.3.1

Замечание. Построение графика можно выполнить, как указывалось выше, с помощью контекстного меню, выводимого с помощью нажатия правой кнопки мыши.

Замечание. Если в результате работы вы испортите диаграмму, то удалите ее и начните построение сначала. Для удаления следует один раз щелкнуть по диаграмме левой кнопкой мыши, а затем нажать Delete.

Вопросы для самопроверки

17.Назовите основные виды ошибок спецификации и способы их обнаружения.

47

18.Можно ли обнаружить ошибки спецификации с помощью исследования остаточного члена?

19.Как оценивается точность прогноза с помощью эконометрической модели?

20.Какие свойства имеют оценки параметров классической линейной регрессионной модели?

21.Каким образом осуществляется проверка полученной эконометрической модели?

Лабораторная работа № 4

Тема: Нелинейная регрессия по объясняющим переменным

Во многих случаях при проведении регрессионного анализа применение линейной модели к изучаемым данным может оказаться неэффективным. В этом случае для исследования зависимости между результативной и факторными переменными применяют нелинейные

функции.	В	этом случае корреляционное поле	данных имеет
криволинейные		контуры, а функция f в уравнении	Y f β, X

нелинейна ( – вектор параметров функции, который необходимо оценить).

Различают два основных класса нелинейных моделей:

1) нелинейные модели относительно факторных переменных, но линейные по оцениваемым параметрам;

2) нелинейные модели по оцениваемым параметрам. Рассмотрим первый класс нелинейных моделей. К таким моделям

относятся полиномиальные функции различных порядков (начиная со второго), гиперболическая, линейно–логарифмическая, полулогарифмическая и другие функции.

Общий вид полиномиальной функции р-го порядка или р-й степени можно представить в виде следующей формулы:

Y 0 1 X 2 X 2 p X p .

Полиномиальные функции характеризуют процессы с монотонным развитием и отсутствием пределов роста. Поставленному условию отвечает большинство экономических показателей, например, натуральные показатели промышленного производства. Наиболее часто из полиномиальных функций используется полином второго порядка или параболическая функция:

Y 0 1 X 2 X 2 .

Эта функция характеризует равноускоренное развитие процесса (равноускоренный рост или снижение уровней).

48

Полиномы высоких степеней (более четвертой) не используются при изучении социально-экономических связей между переменными. Это ограничение основано на том, что такие полиномы имеют больше изгибов и отразить реальную зависимость результативного признака от факторных переменных не способны.

Одной из характерных особенностей полиномиальных функций является отсутствие явной зависимости приростов факторных переменных от значений результативного признака Y.

Гиперболическая функция вида

Y 0 1 X1

применяется при изучении зависимости затрат на единицу продукции от объема производства.

Модели вида lnY 0 1 X и Y 0 1 ln X называются

полулогарифмическими. Такие модели обычно используют в тех случаях, когда необходимо определить темп роста или прироста каких–либо экономических показателей от различных факторов (например, при анализе банковского вклада по первоначальному вкладу и процентной ставке; при исследовании зависимости прироста объема выпуска от относительного (процентного) увеличения затрат ресурса; бюджетного дефицита – от темпа роста ВНП; темпа роста инфляции – от объема денежной массы и т.д.).

Рассмотренные и другие модели выделенного класса можно свести к модели линейной регрессии, что позволяет применять к преобразованной модели традиционные методы нахождения неизвестных параметров уравнения регрессии (например, классический метод наименьших квадратов) и стандартные методы проверки различных гипотез.

Для перехода к линейной модели и оценки параметров нелинейных моделей используется метод линеаризации, который заключается в том, что с помощью подходящих преобразований исходных переменных исследуемую зависимость представляют в виде линейного соотношения

между

преобразованными

переменными.

Например, если

в

модели

Y

0

X

2

X 2

заменить X2

на Z, то получим двухфакторное

1

уравнение

линейной

регрессии Y 0 1 X 2 Z .

В

модели

Y

1

замена

выражения

1

на Z позволяет

получить

0

1

X

X

линейную регрессионную модель Y 0

1

Z .

49

	Задача 4.1.						Имеются данные о зависимости между среднедушевым
показателем ежегодного потребления овощей Y и годовым доходом X
(усл. ед.):
	Год		1996			1997		1998	1999	2000	2001		2002		2003		2004	2005
	X		1			2		3	4	5	6		7		8		9		10
	Y		3			5		8	14	15	17		15		12		13		10
	Требуется:
	а) непосредственно и с помощью специальных встроенных функций
Excel получить уравнения регрессии в виде													yˆ b0		b1		ˆ	b0		b1				x ,
																x , y
yˆ b				b1	.	б)	из трех вариантов				эконометрической модели выбрать
0				x

наилучший.

Решение.

а) Рассмотрим уравнение линейной регрессии yˆ b0 b1 x .

Откройте файл лаб2.xls и сохраните его под новым именем – лаб4.xls. Далее остается внести небольшие коррективы. Очистим ячейки А3:С10. Далее щелкнем по ячейке, допустим, В8, и дважды выполним команду меню Главная Вставить Вставить строки на лист, при этом появятся 2 новые строки. Внесем в очищенный диапазон новые данные. При этом не требуется копировать формулы в ячейки D11:J11, так как программа их скопирует автоматически. Перерасчет значений во всех остальных ячейках, содержащих формулы, также произойдет автоматически. Информация, находящаяся ниже строки под номером 40, для нашей задачи является лишней, поэтому эти ячейки также желательно очистить.

Внимание! Число наблюдений в рассматриваемом примере равно 10, а в лабораторной работе 2 оно было равно 8. Поэтому результаты расчетов во всех ячейках, содержащих число наблюдений, оказались неверны. В этих ячейках число 8 следует заменить числом 10. Еще лучшим является вариант, когда число наблюдений как константа хранится в некоторой ячейке, например, А17, а названные ячейки содержат ссылки на нее.

Получилась следующая таблица:

Год	x	y	x2	xy	yˆ	y y 2	yˆ y 2	y yˆ 2
1996	1	3	1	3	7,272727	67,24	15,423471	18,256198
1997	2	5	4	10	8,145455	38,44	9,330248	9,893884
1998	3	8	9	24	9,018182	10,24	4,760331	1,036694
1999	4	14	16	56	9,890909	7,84	1,713719	16,884628

50