Эконометрика (лабораторные)

В ячейке В19 появится только один элемент массива. Выведите весь массив по схеме, аналогичной случаю с функцией ЛИНЕЙН.

Получим уравнение вида yˆ 6,659385 (1,21964)t . От него нетрудно перейти к уравнению экспоненциального временного ряда. Для этого нужно найти b из соотношения eb 1,21964 , b ln1,21964 0,198556 , т.е. yˆ 6,659385 e0,198556 t , что было получено ранее.

Замечание. Лабораторные работы № 4 и 5 показывают, что параметры нелинейных регрессий в Excel можно устанавливать несколькими методами:

во–первых, регрессию можно привести к линейному виду, а затем установить параметры регрессии с помощью функций, перечисленных выше;

во–вторых, параметры нелинейной регрессии можно найти непосредственно. Основные возможности заложены в опции Линия тренда. В данной опции, кроме линейной функции, предусмотрены возможности установления параметров логарифмической, полиномиальной, степенной, экспоненциальной функций. Напомним еще раз: чтобы воспользоваться этой опцией, необходимо построить диаграмму, активизировать график функции, например смотри лабораторную работу 3, выбрать команду Линия тренда, выбрать вид функции, в меню Дополнительные параметры установить флажки

показывать уравнение на диаграмме и поместить на диаграмму величину достоверности аппроксимации R^2.

Вопросы для самопроверки

1.Каков смысл коэффициентов регрессии в логарифмических эконометрических моделях?

2.Изменятся ли свойства случайного отклонения при преобразовании уравнения регрессии?

3.Приведите примеры использования обратных и степенных моделей.

4.Какие из указанных моделей и каким образом могут быть сведены к линейной модели?

61

а) Y			0		ln2					X ,
					1
б) Y 0					1				1					,
										X
в) Y					1							,
		0 1 X
г) Y		0			x 7 3							,
					1 X
д) Y					X						.
				0		1	X 2

5. Назовите основные виды ошибок спецификации. Лабораторная работа № 6

Тема: Коэффициенты эластичности

Для изучения тесноты зависимости между результативной

переменной Y и факторными признаками Xj (j=1, p ) используются различные коэффициенты эластичности:

общий коэффициент эластичности;

средний коэффициент эластичности;

точечный коэффициент эластичности.

Пусть	зависимая переменная Y и факторы X1 , X 2 , , X p связаны
между собой аналитической зависимостью
	Y f (β, X ) ,
где f –	дифференцируемая	функция относительных независимых
(факторных) переменных, β		– вектор неизвестных параметров, X –

вектор объясняющих (факторных) переменных. Так как вектор параметров β неизвестен, то для исходной эконометрической модели определяется

эмпирическое уравнение регрессии yˆ f (b, x) для вычисления различных

коэффициентов эластичности.

Общий коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов приблизительно изменится результативный показатель Y при изменении величины факторного признака X j на 1% при неизменных

значениях остальных независимых переменных и рассчитывается как относительное изменение Y на единицу относительного изменения Xj:

ˆ

ˆ

ˆ

x

x

E

y

:

y

y

j

yˆ

'

j

,

j

x

x j

x j

x j

yˆ

j

yˆ

62

где yˆ x' j – первая производная зависимой переменной по факторному

признаку Xj. Иногда общий коэффициент эластичности называется перекрестной эластичностью относительно фактора Xj.

Если факторная переменная одна, то общий коэффициент эластичности запишется в виде

E ddxyˆ xyˆ yˆ x' xyˆ .

Средний коэффициент эластичности характеризует процентное изменение результативного признака Y относительно своего среднего

значения y при изменении факторного признака Xj на 1% относительно

x j . Такие коэффициенты рассчитываются по индивидуальным формулам для каждой разновидности функции. Для наиболее простой линейной зависимости вида Y 0 1 X средний коэффициент эластичности на практике вычисляется следующим образом:

E x

b1 x

(6.1)

.

yˆ x

Для

полинома второго

порядка

(параболической функции) вида

Y

0

X

2

X 2

средний

коэффициент эластичности

на

1

практике рассчитывается по формуле

E x

(2b2 x b1 ) x

.

yˆ x

Для показательной функции вида Y

0

X

средний коэффициент

1

эластичности на практике определяется как:

E x

ln b1.

(6.2)

x

Основное

достоинство

степенной функции

вида Y

0

X 1

заключается в том, что средний коэффициент эластичности равен оценке
коэффициента регрессии: E x b1.							(6.3)
Точечные коэффициенты эластичности рассчитываются для каждого
конкретного значения переменной X j					. Общая формула их расчета
E x0	ˆ				x0
	y
					j		.
	x				yˆ x0
j
		j			j

Точечный коэффициент эластичности характеризует процентное изменение результативной переменной Y относительно уровня функции

63

Y (x0 ) при изменении факторного признака X j на 1% относительно заданного уровня x0j .

Для линейной зависимости точечный коэффициент эластичности для практических целей будет рассчитываться по формуле

E x0				b1 x0				,
				b0 b1
						x0
для параболической функции – по формуле
E x		(2b2 x0 b1 ) x0								,
		b	b x				b		x2
0
		0	1		0		2		0
а для показательной функции – по формуле
E x0	ln b1 x0 .

Вслучае степенной функции точечный коэффициент эластичности

Еx0 будет равен точечной оценке коэффициента регрессии b1 .

Задача 6.1. Найти средний коэффициент эластичности для каждой из

трех моделей Y

X ,

Y

,

Y

1

из

0

0

1

X

0

1

X

лабораторной работы № 4.

Решение.

1. Для модели Y 0

1 X получено

эмпирическое уравнение

регрессии yˆ 6,4 0,872727 x .

Для расчета коэффициента эластичности для данной модели воспользуемся формулой (6.1).

Для расчета в Excel откройте файл «лаб4.хls» и сохраните его под названием «лаб6_часть1.xls». В этом файле перейдите на лист «вид1». В ячейке L4 введите формулу-комментарий для расчета коэффициента эластичности

E1 x b1		x				,
	b b
				x
0		1

а в ячейке N5 формулу для его вычисления «=D27*B14/(D31+D27*B14)». Значение E1 x 0,428571.

2. Для модели Y 0	1	X получено эмпирическое уравнение

регрессии yˆ 1,394713 4,364058 x .

64

Формула

для

расчета

коэффициента

эластичности:

dyˆ

x

x

x

b1

x

b1

x

E2

(b0

b1

x )

.

dx

yˆ

(x)

b0 b1 x

2(b0 b1 x)

b

b x

2 x

0

1

В файле перейдите на лист «вид2». В ячейке L4 введите формулукомментарий для расчета коэффициента эластичности

	E2	x	b1		x				,
			2(b0	b1 x)

а в ячейке N5 формулу для его вычисления

«=D27*КОРЕНЬ(СРЗНАЧ(A3:A12))/2/(D31+D27*СРЗНАЧ(A3:A12))».

Значение E2 x 0,201493 .

Для модели Y

0

1

получено

эмпирическое

уравнение

X

регрессии

yˆ 15,10192 13,3218

1

.

x

Формула для расчета коэффициента эластичности:

dyˆ

b1

b1

E3 x

x

1

)

x

x

(b0

b1

2

.

dx

yˆ(

x

1

b1

b

b

x

)

x

x

0

1

b0

b1

b0

x

x

В файле перейдите на лист «вид3». В ячейке L4 введите формулукомментарий для расчета коэффициента эластичности

	E3 x	b1			,
		b0 x b1

а в ячейке N5 формулу для его вычисления

«= – D27/(D31*СРЗНАЧ(A3:A12)+D27)».

Значение E3 x 0,191025 .

Для линейной зависимости Y 0 1 X ежегодного потребления

овощей и годового дохода средний показатель эластичности равен 0,49. Он показывает, что с увеличением годового дохода на 1% от своего среднего значения потребление овощей возрастает на 0,49% от своего среднего

	значения. В случае Y 0 1 X					средний показатель эластичности
	равен 0,46, а для зависимости Y							1	– 0,19. Следовательно,
				0		1		X

среди рассмотренных моделей наилучшей с точки зрения эластичности является линейная.

65

Задача 6.2. Найти средний коэффициент эластичности для каждой из

моделей Y	0	X 1	,	Y			0	e 1T ,	Y	0	T из лабораторной
											1
работы № 5.
Решение.
3. По модели			Y		0	X 1 получено					эмпирическое уравнение

регрессии yˆ 4,322789 x0,57688 .

Для расчета в Excel откройте файл «лаб5.хls» и сохраните его под именем «лаб6_часть2.xls». Перейдите в нем на «Лист1». В ячейке J17 введите формулу-комментарий для расчета коэффициента эластичности (6.3), а в ячейке К17 формулу для его вычисления: «=D17».

Значение E4 (x) 0,57688 .

4. По

модели

Y

0

e 1T

получено эмпирическое уравнение

регрессии

yˆ 6,659385 e0,198556 t .

Формула

для

расчета

коэффициента

эластичности:

ˆ

t

t

t

E5 t

dy

(b0

eb1t )

b0

b1 eb1 t

b1 t .

dt

b

eb1 t

b

eb1 t

yˆ(t)

0

0

Перейдите на «Лист2». В ячейке F12 введите формулу-комментарий

для расчета коэффициента эластичности

E5 (t) bt ,

а в ячейке G12–

формулу для его вычисления: «=B12*СРЗНАЧ(B3:B10)».

Значение E5 (t) 0,893502 .

6. По

модели

Y

0

T

получено эмпирическое уравнение

1

регрессии yˆ 6,659385 (1,21964)t .

Воспользуемся формулой (6.2). Перейдите на «Лист2».

В ячейке F19 введите формулу-комментарий для расчета коэффициента эластичности E6 (t) b1 t , а в ячейке Н19 формулу для его вычисления: «=LN(B19)*СРЗНАЧ(B3:B10)».

Значение E6 (t) 0,893502 .

Анализ коэффициентов эластичности показывает, что среди рассмотренных зависимостей наилучшей является экспоненциальная.

Вопросы для самопроверки

1.Какие коэффициенты эластичности используют на практике?

2.Определите коэффициенты эластичности для линейной, гиперболической, степенной и показательной функций одной переменных.

3.Укажите экономический смысл коэффициента эластичности.

66

Лабораторная работа №7

Тема: Производственные функции.

Производственными функциями называют соотношения между используемыми в производстве материальными благами и трудовыми ресурсами, а также выпускаемой продукцией.

Таким образом, производственная функция – это экономико– математическая модель, позволяющая аппроксимировать зависимость результатов производственной деятельности предприятия, отрасли или национальной экономики в целом от повлиявших на них факторов.

Выделяются основные виды производственных функций – функции выпуска, функции затрат и производственные способы.

Самой простой разновидностью функций являются однофакторные производственные функции: линейная, параболическая, степенная, показательная. Результативной переменной в них является объем производства Y, который зависит от единственной факторной переменной X. В качестве независимой переменной может быть взят показатель общих производственных затрат.

Двухфакторные производственные функции характеризуют зависимость объема производства от каких-либо двух факторов. Чаще всего к ним относятся объемы основного капитала и трудовых ресурсов. Наиболее известной двухфакторной производственной функцией является функция Кобба–Дугласа, которая имеет вид:

Y A K L e ,

(7.1)

где K – объем используемого основного капитала (объем основных используемых фондов); L – затраты живого труда (численность занятых или отработанное ими время); Y – ВНП, ВВП или национальный доход; A,, – положительные неизвестные параметры. Она принадлежит к классу мультипликативных производственных функций.

Функция (7.1) была применена в 1929 году американским экономистом Ч. Коббом и американским математиком П. Дугласом для экономики США. При оценке этой функции в качестве экспериментальных данных были использованы зафиксированные с 1899г. по 1922г. объемы затрачиваемого капитала, труда и производимой продукции в обрабатывающей промышленности США. По этим данным были получены следующие значения параметров функции: А=1,01; =0,25; =0,75.

При 0< <1, 0< <1, A>0 функция Кобба–Дугласа удовлетворяет следующим свойствам:

67

другого

YK <0,

без ресурса нет выпуска: Y(0,0)=0;

если один из факторов отсутствует, то Y=0: Y(0,L)=Y(K,0)=0;

с ростом затрат одного ресурса при неизменном количестве другого

ресурса Y растет: YK >0, YL >0;

с ростом затрат одного ресурса при неизменном количестве другого ресурса величина прироста выпуска на каждую дополнительную единицу этого ресурса не возрастает (закон убывающей эффективности):

YL <0;

при росте одного ресурса предельная эффективность

ресурса возрастает: Y 0;

KL

функция Кобба–Дугласа однородна со степенью однородности p =

+ :

f (tK,tL) t p f (K, L) .

При p= + =1 имеем линейную однородность, т.е. постоянную эф– фективность производства при росте его масштаба (или имеем независимость удельного выпуска от масштаба производства).

Если p > 1, то с ростом масштаба производства в t раз, объем выпуска возрастает в tp раз, т.е. имеется рост эффективности производства от роста масштаба производства. При p < 1 наблюдается падение эффективности от роста масштаба производства.

Эластичности выпуска по капиталу и труду имеют соответственно

вид:

Y

Y

Y

K

ln Y

EK

:

:

,

(7.2)

ln K

K

K

Y

K

Y Y

Y

L

ln Y

EL

:

:

ln L

.

(7.3)

L

L

Y

L

Сумма E EK EL называется эластичностью производства.

Поскольку при малых приращениях K и L имеем приближенные равенства

EK		Y		K		Y		L
			:	, EL			:	,
		Y		K		Y		L

то EK и EL показывают процентное изменение выпуска, вызванное

изменением затрат соответствующего фактора на один процент при неизменных объемах другого фактора.

В общем случае эластичности EK и EL зависят от K и L, но для

68

функции Кобба–Дугласа они постоянны и равны и соответственно. Действительно, прологарифмировав выражение (7.1) по основанию е и используя формулы (7.2) и (7.3), имеем:

	EK				ln A ln K ln L ,
			ln K
	EL			ln A ln K ln L .
		ln L
Тогда	E EK EL .
Через	производственные функции устанавливается связь между

экономическим ростом (ростом национального дохода) и научно– техническим прогрессом. В зависимости от того, как изменяются используемые ресурсы и соответственно производственная функция, различают следующие основные типы научно–технического прогресса: экзогенный (внешний), эндогенный (внутренний) и нейтральный.

Влияние экзогенного научно–технического прогресса на рост национального дохода проявляется прежде всего через повышение эффективности производственных фондов в результате создания новых видов оборудования и технологий. При этом влияние научно–технического прогресса на объем выпуска продукта определяется рядом таких показателей, как возрастная структура основных фондов производства, накопленный объем капиталовложений. Экзогенный научно–технический прогресс иногда называют общественным.

Эндогенный научно–технический прогресс определяется процессом роста национального дохода при неизменных затратах ресурсов. Это может происходить за счет повышения квалификации персонала, более рационального, интенсивного использования существующего оборудования и других ресурсов. Эндогенный научно–технический прогресс может быть назван автономным или независимым.

Научно–технический прогресс называется нейтральным, если он не меняет соотношения значений определенных параметров производственных факторов. При изменениях этих соотношений научно– технический прогресс не является нейтральным, так как в этом случае он будет материализован в одном из факторов производственной функции.

В зависимости от того, соотношение каких конкретно параметров не меняется, различают три вида нейтрального научно–технического прогресса: по Хиксу, Харроду и Солоу.

Ян Тинберген, голландский экономист, ввел в формулу (7.1) величину, отражающую влияние научно–технического прогресса в виде

69

экспоненциальной функции e t , где – относительный темп роста научно–технического прогресса, определяемый формулой

P(t 1) P(t) ;

P(t)

P(t) – производительность труда в t-м году; P(t 1) – производительность

труда в (t +1)-м году.
Тогда функция Кобба–Дугласа принимает вид:
	Y A K L e t .	(7.4)
Преобразуя эту функцию, Тинберген получил выражение для
ежегодных темпов роста объема производства (в процентах):
	Y0 K0 L0 0 ,
где Y0	– темп роста объема производства (национального дохода);
K0	– темп роста капитала;
L0	– темп роста трудовых затрат;
0	– темп роста, обусловленный научно–техническим прогрессом.
Функция Кобба–Дугласа (7.1) может быть оценена		с помощью

линейной или нелинейной регрессии. Для ее оценки с помощью модели множественной линейной регрессии необходимо прологарифмировать левую и правую части. По рядам данных K, L, Y рассчитываются ряды их логарифмов и для них оценивается уравнение линейной регрессии. При этом обычно предполагается, что ошибки i в первоначальной формуле

обладают такими свойствами, что и в преобразованном виде (после логарифмирования) они обладают свойствами, необходимыми для оценивания линейной регрессионной модели. Следует отметить, что результаты оценивания неизвестных параметров могут несколько различаться даже при использовании одних и тех же исходных данных, если функция оценена с помощью нелинейной регрессии и с помощью ее преобразования в линейную. Это вызвано спецификацией ошибок. Например, если производственная функция Кобба–Дугласа оценена как линейная lnY ln A ln K ln L , то она эквивалентна формуле

Y A K L e . Последняя формула отличается описанием случайного члена от формулы Y A K L , которая используется при оценивании нелинейной регрессии с помощью МНК. Случайный член может обладать необходимыми свойствами в одном из этих двух случаев и не обладать – в другом. Это означает, что один способ оценивания может принести хороший статистический результат, а другой – нет. Следовательно, лучше оценить обе эти формулы, и если по ним получены

70