5.1.8.3Линейные параметрические методы

Стационарные модели.

Если временной ряд стационарный, что означает наличие статистического равновесия относительно постоянной средней, он может представлен широким классом линейных моделей, называемых моделями авторегрессии-скользящего среднего (АРСС):

, (5.64)

где x_t = y_t - c;

₁,…,_р - параметры авторегрессии;

₁,…,_q - параметры скользящего среднего.

Нестационарные модели

При анализе нестационарных рядов используют такие классы моделей, которые представлены относительно конечных разностей порядка d. В начале модель формируется относительно конечных разностей первого порядка

¹y_t = y_t - y_t-1

Если замена y конечными разностями первого порядка не помогает избавиться от нестационарности, то применяют разности второго порядка

²y_t = ¹y_t - ¹y_t-1 и т.д. до тех пор, когда ряд станет стационарным:

^d-1y_t = ^d-2y_t - ^d-2y_t-1, ^dy_t = ^d-1y_t - ^d-1y_t-1

Если вместо y использовать разности ^dy то такая модель называется авторегрессионной интегрированной моделью скользящего среднего, или АРИСС(p, d, q);

где: p - порядок авторегрессии;

d - порядок разностей;

q - порядок скользящего среднего.

Представителями АРИСС - моделей является модель Бокса-Дженкинса, которая позволяет управлять процессом идентификации и оценивания модели.

Если выполнен прогноз первой разности , то переход к значению прогнозируемого уровня ряда производится следующим образом

.

Например, модель АРИСС(2, 1, 1) выглядит следующим образом

y_t = ₀ + y_t-1 + y_t-2 + _t + _t-1.

Идентификация модели АРИСС

Идентификация модели АРИСС заключается в выборе параметров p, d, q.

Выбор d. Если параметр d выбран правильно, то коэффициент парной автокорреляции незначительно отличается от нуля при любом лаге. Выбор параметра d заключается в следующем: вычисляется автокорреляционная функция (АКФ) между последовательностями ряда y_t и y_t-k, к = 1, 2, …, K. В качестве d можно выбрать максимальное значение k, для которого АКФ y_t и y_t-k значимо отличается от нуля.

Выбор параметров p и q заключается в выполнении следующих действий:

1. Задаются начальные значения параметров p и q;

2. Оцениваются коэффициенты уравнения (5.64), соответствующие заданным p и q (d - уже выбран);

3. Проверяются остатки полученной регрессии на наличие автокорреляции. Остатки правильно идентифицированной модели должны вести себя подобно "белому шуму". Если гипотеза о наличии автокорреляции не отвергается, то значения p, q увеличиваются на единицу и далее к п. 2.

Выбор начальных значений параметров p, q.

Начальное значение q выбирается таким образом:

1.Выполняется оценка параметров модели АРИСС(0,d,0). Вычисляется АКФ полученной регрессии (в данном случае АКФ остатков e_t и e_t-k) на равенство нулю и выбирается k, для которого АКФ остается значимо отличной от нуля (q = k).

2.Для модели АРИСС(0,d,0) ЧАКФ k-ого лага равна оценке коэффициента при e_t-k в регрессии e_t на e_t-1, e_t-2,…, e_t-k.

Начальное значение p выбирается следующим образом:

После оценки параметров модели АРИСС(0,d,0) вычисляется ЧАКФ полученных остатков (e_t и e_t-k) на равенство нулю и выбирается максимальная длина лага (k), для которого ЧАКФ остается значимо отличной от нуля (p = k).

3.Вычисляется и тестируется АКФ и ЧАКФ остатков полученной модели АРИСС(p,d,q). Если хотя бы одна из компонент АКФ или ЧАКФ значимо отличается от нуля, то значения параметров p и q увеличиваются на единицу. Иногда поступают таким образом - сравнивают дисперсию модели АРИСС(p,d,q) c дисперсиями моделей АРИСС(p+1,d,q) и АРИСС(p,d,q+1). Если первая значимо меньше двух последующих, то это означает, что модель идентифицирована.

Практически число параметров каждого вида невелико (обычно меньше 2), поэтому существуют такие предположения (альтернативные модели).

1.Один параметр (p): АКФ - экспоненциально убывает; ЧАКФ - имеет резко выделяющееся значение для лага 1, нет корреляций на других лагах.

2.Два параметра авторегрессии (p): АКФ имеет форму синусоиды или экспоненциально убывает; ЧАКФ имеет резко выделяющиеся значения на лагах 1, 2, нет корреляций на других лагах.

3.Один параметр скользящего среднего (q): АКФ имеет резко выделяющееся значение на лаге 1, нет корреляций на других лагах. ЧАКФ экспоненциально убывает.

4.Два параметра скользящего среднего (q): АКФ имеет резко выделяющиеся значения на лагах 1, 2, нет корреляций на других лагах. ЧАКФ имеет форму синусоиды или экспоненциально убывает.

5.Один параметр авторегрессии (p) и один параметр скользящего среднего (q): АКФ и ЧАКФ экспоненциально убываю с лага 1.