5.1.4.4.Методы проверки наличия и выделения тенденции.

Во временных рядах могут существовать тенденции трех видов - тенденция среднего уровня, тенденция дисперсии, тенденция автокорреляции. Под тенденцией среднего уровня понимают общее направление развития социально-экономических процессов, которое можно описать некоторой гладкой математической функцией F_T. Графически тенденция может быть представлена более или менее гладкой траекторией, вокруг которой варьируют фактические уровни ряда. Тенденция дисперсии представляет собой тенденцию изменения отклонений между фактическими и расчетными значениями, найденными по уравнению тренда. Тенденцией автокорреляции является тенденция изменения связи между отдельными уровнями временного ряда.

Прежде чем приступить к выделению тренда, необходимо выполнить проверку нуль-гипотезы об отсутствии тренда. Для проверки этой гипотезы используются различные методы.

Метод проверки существенности разности средних.

Исходный временной ряд разбивается на две равные (или почти равные) части, после чего проверяется гипотеза о существенности разности средних для этих частей: H₀:y₁ =y₂. Рассчитывается критерий Стьюдента:

где y₁, y₂ - средние для первой и второй половин временного ряда;

n₁, n₂ - число наблюдений в этих частях;

 - среднеквадратическое отклонение разности средних, определяется по формуле

где ₁, ₂ - оценка дисперсии для первой и второй частей ряда динамики.

Расчетное значение t_p сравнивается с критическим t_kp. При t_p  t_kp гипотеза об отсутствии тренда отвергается. Значение t_kp берется с числом степеней свободы n₁+n₂-2.

Недостаток метода - невозможно правильно определить наличие тренда в том случае, когда временной ряд содержит точку изменения тенденции в районе середины ряда.

Метод Фостера-Стюарта позволяет обнаружить как тенденцию среднего уровня, так и тенденцию дисперсии. Гипотеза об отсутствии тенденции проверяется с помощью вспомогательных функций:

_{, (5.18)}

_{где: ,}

_(5.19)

_{Показатель S применяется для обнаружения тенденции дисперсии, а показатель D - для обнаружения тенденции среднего уровня. Далее с помощью критерия Стьюдента проверяется гипотеза о том, что величины S- и D-0 случайны:}

_(5.20)

_{где:  - математическое ожидание величины S,}

_{S - среднеквадратическая ошибка величины S,}

_{D - среднеквадратическая ошибка величины D.}

_{Величины , S, D определяются по таблице 5.2.}

_Табл.5.2

_{Значения величин , S, D}

N		S	D
10 15 20 25 30 35 40 45 50 55	3,858 4,636 5,195 5,632 5,990 6,294 6,557 6,790 6,998 7,187	1,288 1,521 1,677 1,791 1,882 1,956 2,019 2,072 2,121 2,163	1,964 2,153 2,279 2,373 2,447 2,509 2,561 2,606 2,645 2,681

_{Расчетные значения tS и tD сравниваются с табличным tkp, взятым из таблицы при заданном уровне значимости  и числе степеней свободы =n-1. Если tStkp и tdtkp, то гипотеза об отсутствии тренда соответственно в дисперсии и в средней отвергается.}

Критерий серий заключается в следующем.

Определение серии. Допустим, имеется последовательность элементов 2-х видов: aaaa b aaaaa bbbbb aa. Серия - это последовательность элементов одного вида. Таким образом, в приведённой последовательности имеется 5 серии.

Исходный ряд Y_t ранжируется по возрастанию значений Y_i, i=1, 2,…,n. Определяется медиана ранжированного ряда Ме. Образуется последовательность из единиц и нулей по следующему правилу:

_(5.21)

_{Если значение yt равно медиане, то оно опускается.}

_{Подсчитывается общее число серий kC и протяженность самой длинной серии lmax. Для того чтобы гипотеза об отсутствии тренда не была отвергнута, необходимо выполнение следующих неравенств (для 5% уровня значимости).}

_(5.22)

_{Если хотя бы одно неравенство не выполняется, эта гипотеза об отсутствии тренда отвергается.}