5.1.5. Методы анализа основной тенденции во временных рядах.

Для выделения общей тенденции временного ряда применяют методы, которые можно представить двумя группами: методы механического выравнивания (сглаживания) и методы аналитического выравнивания.

5.1.5.1.Механическое сглаживание.

Сглаживание всегда включает некоторый способ локального усреднения данных, при котором несистематические компоненты взаимно погашают друг друга. Самый общий метод сглаживания - скользящее среднее, в котором каждый член ряда заменяется простым или взвешенным средним m соседних членов, где m - ширина "окна" или интервала сглаживания. Основой методов сглаживания трендовой составляющей является следующее: если разброс значений временного ряда Y_t около своего среднего значенияy характеризуется дисперсией ², то разброс среднего из m членов временного ряда около среднего значения y будет характеризоваться дисперсией . Вместо среднего можно использовать медиану значений, попавших в "окно". Основное преимущество медианного сглаживания, в сравнении со сглаживанием скользящим средним, состоит в том, что результаты становятся более устойчивыми к выбросам (имеющимся внутри окна). Таким образом, если в данных имеются выбросы (связанные, например, с ошибками измерений), то сглаживание медианой обычно приводит к более гладким или, по крайней мере, более "надежным" кривым, по сравнению со скользящим средним с тем же самым "окном". Основной недостаток медианного сглаживания в том, что при отсутствии явных выбросов, он приводит к более "зубчатым" кривым (чем сглаживание скользящим средним) и не позволяет использовать веса.

Сглаживание по простой скользящей средней производится следующим образом:

• Подбирается интервал сглаживания m, причем m < n/3;

• Рассчитываются средние арифметические из первых m уровней ряда, входящих в интервал сглаживания y₁, y₂,…, y_m;

• Рассчитываются средние арифметические из следующих m уровней ряда, входящих в интервал сглаживания y₂, y₃,…, y_m+1, затем для уровней y₃, y₄,…, y_m+2 и .т.д. Таким образом, интервал сглаживания как бы скользит по временному ряду;

• Заменяют фактические значения, стоящие в середине интервала сглаживания, на соответствующие средние значения;

• Если m - нечетное число (m=2k+1), то сглаженное значение относится к середине интервала и вычисляется по формуле

; (5.25)

• Если m - четное число, то среднее значение будет находится между двумя датами. Для исключения этого применяется центрирование, которое заключается в следующем: рассчитываются средние по двум соседним интервалам сглаживания, затем рассчитывается среднее из двух предыдущих средних.

При использовании метода скользящих средних последние и первые k значений теряются. Для восстановления потерянных значений в конце ряда, следует вычислить средний абсолютный прирост на последнем интервале сглаживания, используя который можно получить недостающие k значений в конце ряда. Аналогично можно выполнить оценивание первых уровней ряда.

Сглаживание взвешенной скользящей средней. Если для исследуемого процесса характерно нелинейной развитие или для исследователя желательно сохранить мелкие волны, предпочтительным методом сглаживания является метод взвешенной скользящей средней. При сглаживании с помощью взвешенной скользящей средней на каждом участке выравнивание производится по полиномам невысокого порядка (параболам 2-ой или 3-ей степени, полином 1-ой степени соответствует сглаживанию по простой скользящей средней). Для каждого участка подбирается полином вида:

y_t = a₀ + a₁i + a₂i² +…,

параметры которого оцениваются по методу наименьших квадратов; здесь i - порядковый номер уровня в пределах интервала сглаживания.

Если отсчет времени в пределах участка производить от его середины, т.е. (при m нечетном) i = -m/2 ,…, -2, -1, 0, 1, 2, …, m/2, то сглаженное значение будет равно параметру a₀ подобранного полинома. Весовые коэффициенты при уровнях ряда, входящих в интервал сглаживания, будут одинаковыми для всех участков.

Расчет взвешенных скользящих средних осуществляется по следующим формулам (полиномы имеют 2-ую или 3-ю степени, а m - нечетно):

m = 5 ; (5.26)

m = 7 ; (5.27)

m = 9 .

Все эти методы отфильтровывают шум и преобразуют данные в относительно гладкую кривую. Ряды с относительно небольшим количеством наблюдений и систематическим расположением точек могут быть сглажены с помощью бикубических сплайнов.