5.1.5.2.Аналитическое выравнивание временных рядов.

Для аналитического выравнивания временных рядов используются различные функции (кривые роста). Расчет кривых роста рассматривается как построение парной регрессии, в которой объясняющей переменной является время. Для перечисленных выше кривых роста реализованы те же вычислительные процедуры, что и в парной регрессии. Наиболее часто используются следующие 7 функции (табл. 5.3).

Табл.5.3

Система нормальных уравнений для уравнения регрессии

Форма связи	Уравнение регрессии	Система нормальных уравнений
Линейная
Парабола
Экспонента
Гипербола
Полулогарифмическая
Показательная
Степенная

Оценка параметров уравнений регрессии осуществляется методом наименьших квадратов, в результате чего получаем систему нормальных уравнений, неизвестными в которых являются параметры уравнения регрессии. В табл. 5.3 для каждого типа уравнения регрессии в третьем столбце приведена система нормальных уравнений. Для решения их относительно параметров уравнений регрессии можно использовать матричные методы (метод обратной матрицы, метод Крамера, метод Гаусса, метод Жордана и т.д.).

Оценка качества выравнивания производится по критерию минимума средней квадратической ошибки и результатам анализа отклонений (случайной компоненты) на независимость, нормальность и случайность.

Применяются две функции, которые не сводятся к модели линейной регрессии. Это функции:

Гомперца:

Логистическая

Для поиска их параметров используется метод многомерной численной оптимизации.

5.1.6.Гармонический анализ

Когда в рядах динамики содержаться заметные периодические колебания, которые нельзя описать с помощью кривых роста и если в остатках наблюдается автокорреляция, то сглаживание с помощью кривых роста не всегда приводит к удовлетворительным результатам. В таких случаях на практике можно прибегнуть к гармоническому анализу, который заключается в том, что исходный ряд Y_t преобразуется в новый ряд Y_t^*:

(5.28)

где: a₀, a_k, b_k - параметры ряда Фурье;

k - гармоника ряда;

T - период колебаний.

Коэффициенты вычисляются по соотношениям:

a₀ -y - среднее значение;

; (5.29)

. (5.30)

Таким образом, временной ряд представлен в виде суммы гармоник

Мощность каждой гармоники равна:

(5.31)

k-я гармоника считается статистически значимой, если она вносит существенный вклад в дисперсию временного ряда, то есть если отвергается статистическая гипотеза о том, что . Для проверки гипотезы вычисляется критерий:

, (5.32)

где ² - оценка дисперсии отклонения вычисляемых значений от фактических:

. (5.33)

Вычисляемая величина имеет F-распределение с v₁ = 2 и v₂ = T - k степенями свободы.

Гипотеза отвергается, то есть гармоника считается значимой, если вычисленная величина больше чем % точка F распределения с соответствующими степенями свободы ( = 0.95).

Наиболее подходящей считается та функция Y_k(t), при которой средняя квадратическая ошибка

(5.34)

имеет наименьшее значение.