5.1.9.2. Адаптивные модели анализа сезонности

Для получения более точных прогнозных оценок необходимо не только правильно отобразить тренд, но и колебательную компоненту. Решение этой задачи возможно только при использовании специального класса методов и моделей:

Базовые сезонные модели, к ним относятся:

• Сезонные модели скользящего среднего

• Сезонные модели авторегрессии

• Cезонные модели АРИСС

Сезонные модели скользящего среднего

В основе сезонных моделей лежат их несезонные аналоги, которые дополнены средствами отражения сезонных колебаний. Сезонные модели способны отражать как относительно постоянную сезонную волну, так и динамически изменяющуюся, в зависимости от тренда. Первая форма относится к классу аддитивных, а вторая - к классу мультипликативных моделей. Большинство моделей имеет обе эти формы. Наибольшее распространение получили:

• Модель Хольта-Уинтерса

• Модель Тейла-Вейджа

Модель Хольта-Уинтерса

Модель для сезонных процессов существует в аддитивной форме и мультипликативной. Прогноз на  шагов вперед для аддитивной формы строится по формуле:

y_t() = a_1,t + a_2,t + g_t-s+, (5.74)

а модификация параметров производится по соотношениям:

a_1,t = ₁(y_t - g_t-s) + (1-₁)(a_1,t-1 + a_2,t-1); (5.75)

a_2,t = ₂(a_1,t - a_1,t-1) + (1-₂)a_2,t-1; (5.76)

;……………………(5.77)

где g - фактор сезонности,

s - период сезонного цикла.

Для несезонных временных рядов вычислительные формулы упрощаются за счет исключения сезонной компоненты. При построении модели производится численная оптимизация параметров адаптации, значение которых изменяется от нуля до единицы.

Модель Тейла-Вейджа

По форме она совпадает с моделью Хольта-Уинтерса и отличается от нее лишь способом определения оптимальных параметров адаптации. При построении модели производится численная оптимизация параметров адаптации, значение которых изменяется от нуля до единицы. Для сезонных процессов существует только аддитивная форма.

Сезонные модели авторегрессии

В сезонной модели авторегрессии AP(p) порядка p текущий уровень ряда представляется в виде взвешенной суммы p предыдущих наблюдений:

y_t = a₁y_t-1 + a₂y_t-2 + … + a_py_t-p + _t, (5.78)

Параметры модели могут быть оценены по МНК (простая авторегрессия) или иным методом (как в методе Бокса-Дженкинса). Порядок авторегрессии (величина p) выбирается равной периоду сезонности (колебаний). Во многих случаях сезонная АР(р) - модель с оценками по МНК оказывается "перегруженной" незначимыми коэффициентами и вследствие этого она обычно уступает аналогичной модели Бокса-Дженкинса.

Для повышения устойчивости модели в большинстве случаев целесообразно строить ее для стационарного процесса, т.е. ряда с исключенной тенденцией.

5.1.9.3. Cезонные модели арисс (сезонная модель Бокса-Дженкинса)

Мультипликативная сезонная АРИСС представляет естественное развитие и обобщение обычной модели АРИСС на ряды, в которых имеется периодическая сезонная компонента. В дополнении к несезонным параметрам, в модель вводятся сезонные параметры для определенного лага (устанавливаемого на этапе идентификации порядка модели). Аналогично параметрам простой модели АРИСС, эти параметры называются: сезонная авторегрессия (P), сезонная разность (D) и сезонное скользящее среднее (Q). Модель называется интегрированной сезонной моделью авторегрессии - скользящего среднего АРИСС(p,d,q)x(P,D,Q). Например, модель (0,1,2)(0,1,1) включает 0 регулярных параметров авторегрессии, 2 регулярных параметра скользящего среднего и 1 параметр сезонного скользящего среднего. Эти параметры вычисляются для рядов, получаемых после взятия одной разности с лагом 1 и далее сезонной разности. Сезонный лаг, используемый для сезонных параметров, определяется на этапе идентификации порядка модели.

Основные этапы разработки сезонной модели такие же, как и для несезонной модели. Общие рекомендации относительно выбора обычных параметров (с помощью АКФ и ЧАКФ) полностью применимы к сезонным моделям. Основное отличие состоит в том, что в сезонных рядах АКФ и ЧАКФ имеют существенные значения на лагах, кратных сезонному лагу (в дополнении к характерному поведению этих функций, описывающих регулярную (несезонную) компоненту АРИСС.