§4. Система m линейных уравнений с n переменными.

Ранее было установлено, что ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк (Гл.2§5). Поэтому, если строки расширенной матрицы А^*, т.е. уравнения системы (1.1), линейно независимы, то ранг матрицы А^*равен числу ее уравнений, т.е.r=m; если линейно зависимы - тоr < m.

Вопрос о разрешимости системы (1.1) в общем виде рассматривается в следующей теореме:

Теорема Кронекера – Капелли.

(условие совместности системы)

(Леопольд Кронекер (1823-1891) немецкий математик)

Теорема: Система линейных уравнений совместна (имеет хотя бы одно решение) тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы.

r(A) = r(A^*).

Очевидно, что система (1.1) может быть записана в виде:

x₁ + x₂ + … + x_n

Доказательство.

1) Если решение существует, то столбец свободных членов есть линейная комбинация столбцов матрицы А, а значит добавление этого столбца в матрицу, т.е. переход АА^*не изменяют ранга.

2) Если r(A) = r(A^*), то это означает, что они имеют один и тот жебазисный минор. Столбец свободных членов – линейная комбинация столбцов базисного минора, т.е. верна запись, приведенная выше.

Для совместных систем линейных уравнений верны следующие теоремы:

1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу переменных, т.е. r=n, то система (1.1) имеет единственное решение.

2. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа переменных, т.е. r  n,то система (1.1) неопределенная и имеет бесчисленное множество решений.

Результаты исследования системы (1.1) приведем в виде схемы:

Пример1.Определитьсовместностьсистемы линейных уравнений:

Пример2.Определитьсовместностьсистемы линейных уравнений.

Пример3. Определить совместность системы и в случае совместности, решить:

§5. Система линейных однородных уравнений. Фундаментальная система решений.

Система m линейных уравнений сn переменными называется системойоднородных уравнений, если все их свободные члены равны нулю. Такая система имеет вид:

(5.1)

Система линейных однородных уравнений всегда совместна, так как она всегда имеет, по крайней мере, нулевое (тривиальное) решение (0; 0; . . . 0).

Если в системе (5.1) m=nи0, то она имеет только одно нулевое решении (это следует из теоремы и формул Крамера).

Теорема.Система линейных однородных уравнений имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг этой системы меньше числа ее неизвестных, т.е. при r(А) n.

Следствие 1.Если число уравнений однородной системы меньше числа ее неизвестных, то эта система имеетненулевое решение.

Следствие 2.Если в однородной системе число уравнений равно числу неизвестных, то она имеетненулевое решениетогда и только тогда, когда определитель матрицы системы равен нулю.

Обозначим решение системы (5.1) x₁=k₁, x₂=k₂, . . . , x_n=k_n в виде вектораI=(k₁, k₂, . . . , k_n).

Решения системы линейных однородных уравнений обладают следующими свойствами:

1. Если вектор I=(k₁, k₂, . . . , k_n)– решение системы (5.1), то и векторI=(k₁, k₂, . . . , k_n)– также решение этой системы.

2. Если векторы I₁=(k₁, k₂, . . . , k_n)иI₂=(l₁, l₂, . . . , l_n)– решения системы (5.1), то при любыхс₁ ис₂их линейная комбинацияc₁I₁+c₂I₂=(c₁k₁+c₂l₁; c₁k₂+c₂l₂; . . . ; c₁k_n+c₂l_n) – также решение данной системы.

Из сформулированных свойств следует, что всякая линейная комбинация решений системы линейных однородных уравнений также является решением этой системы.Поэтому целесообразно найти такие линейно независимые решения системы (5.1) (F₁, F₂, . . .F_k), через которые линейно выражались бы все остальные ее решения.

Определение. Система линейно независимых решенийF₁, F₂, . . .F_kназываетсяфундаментальной, если каждое решение системы (5.1) является линейной комбинацией решенийF₁, F₂, . . .F_k.

Теорема. Если рангrматрицы однородной системы линейных уравнений (5.1) меньше числа неизвестныхn, то всякая ее фундаментальная система решений состоит изk = n – r решений.

Поэтому общее решениесистемы (5.1) линейных однородных уравнений имеет вид:

I = c₁F₁+c₂F₂+ . . . + c_kF_k,

где F₁, F₂, . . .F_k– любая фундаментальная система решений;c₁, c₂, . . . c_k –произвольные числа иk = n – r.

Для нахождения фундаментальной системы решений предположим, что ранг системы равен r n.Тогда базисные неизвестные этой системы (пусть, для определенности, это переменныеx₁, x₂, . . .x_r) линейно выражаются через свободные переменныеx_r+1, x_r+2, . . .x_n. Тогда векторF₁фундаментальной системы решений получим, если придадим значения свободным переменнымx_r+1 = 1, x_r+2= . . .=x_n=0.Затем находим второе решениеF₂, принимая x_r+2 = 1, x_r+1= . . .=x_n=0.Продолжаем аналогично находить все векторы фундаментальной системы, последовательно присваивая каждой свободной переменной единичное значение, положив остальные нулями.

Пример.Найти решение и фундаментальную систему решений системы линейных однородных уравнений: